SERIES NUMÉRICAS. Estudiar el carácter de las series de término general a n. n n n n n = 3. Solución: Converge. 1.- a

Transcripción

1 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd EIE NUMÉICA Estudir el crácter de ls series de térmio geerl :.-! Es u serie de térmios positivos. Podemos hcerlo de dos mers: ) Aplicdo el criterio de l ríz: olució: Coverge e e lim lim lim /! πe π <. Por lo tto covergete b) Aplicdo el criterio del cociete: + ( + ) ( )!! ( + )! ( + )! ( + ) ( + ) lim lim lim lim e lim <. Por lo tto es covergete es.- olució: Diverge 5 ( ) ( ) Es u serie de térmios positivos. Aplicdo el criterio del cociete: + + ( + ) ( + ) 5 ( ) ( )(( + ) ) 5 ( ) ( )( + ) 5 ( )( ) 5 ( )( ) + lim lim lim + ( + ) ( + ) ( + ) e lim lim >. Por lo tto es divergete

2 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd.- + ( L) Es u serie de térmios positivos. olució: Diverge + (L ) + 5, que es el térmio geerl de u serie rmóic de expoete, es decir, divergete. Por lo tto es divergete..- + olució: Diverge + 5 Es u serie de térmios positivos. + que o tiede 0. Es decir, o cumple l codició ecesri de + 5 covergeci. Como es, demás, u serie de térmios positivos, l serie diverge. 5.- L NM O QP ( ) ( ) olució: Diverge Es u serie de térmios positivos. ( ) ( ) A lim LA Llim [ ] lim L[ ] ( ) ( ) + + lim L lim lim + 0 lim 0 A e. Es decir, el térmio geerl de l serie o cumple l codició ecesri de covergeci. Como demás es u serie de térmios positivos, se puede firmr que l serie es divergete, se ( ) Es u serie de térmios positivos. olució: > Coverge Diverge 8

3 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd + se ( ). Pero coverge si > y diverge si. Por lo + se ( ) tto, coverge si > y diverge si. 7.- ( + ) p ( p > 0 ) olució: p > Coverge p Diverge Es u serie de térmios positivos. que es el térmio geerl de u serie rmóic geerlizd p p p ( + ) de expoete p. Etoces, si p p l serie diverge y si p > coverge ( L) olució: Coverge Es u serie de térmios positivos. (L ) lo tto, coverge. que es u serie geométric de rzó r <, y por 9.- e olució: Coverge Es u serie de térmios positivos. (L ) L serie cumple l codició ecesri de covergeci. Lo más decudo es plicr el criterio de l ríz: lim lim x x <. Por lo tto es coverge. e e e 9

4 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd 0.- (!) ( )! Es u serie de térmios positivos. + (( + )!) (!) (!) ( )! ( )! + ( + )! (( + )!) ( )! lim lim lim + olució: Diverge ( + ) lim. Por lo tto, teemos dud. Podemos plicr el criterio de (+ )(+ ) be-duhmel: ( ) 8 lim lim lim ( )( ) lim lim <, por tto, l serie es divergete.!.- olució: Coverge 57 ( ) Es u serie de térmios positivos. Aplicmos el criterio del cociete: ( + )! 57 ( )(+ ) ( + )! + + lim lim lim lim < x!!( ) ( ) Por lo tto, l serie es covergete..- ( + ) + olució: Coverge Es u serie de térmios positivos * e + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) rmóic geerlizd de expoete >, que es covergete por ser u 0

5 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd lim A LA Llim lim L lim L lim lim lim A e (!) ( )! olució: Coverge Es u serie de térmios positivos Es evidete que el térmio geerl cumple l codició ecesri de covergeci. Es u serie de térmios positivos. Aplicmos el criterio del cociete: (( + )!) + ( + )! ( + ) lim lim lim < (!) (+ )(+ ) covergete. ( )!. Por lo tto, l serie es ( + ) olució: Diverge Es u serie de térmios positivos Es evidete que el térmio geerl cumple l codició ecesri de covergeci. Es u serie de térmios positivos. Aplicmos el criterio del cociete: 6 (+ ) + 57 (+ )(+ ) + lim lim lim ( + ) Por lo tto, plicmos el criterio de be-duhmel lim lim lim lim < Por lo tto, l serie es divergete.

6 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd 5.- olució: Coverge ( )! Es u serie de térmios positivos 0 porque <<! (desigulddes fudmetles) y por lo tto se ( )! cumple l codició ecesri de covergeci. i plicmos el criterio del cociete: + ( + )! + lim lim lim 0 < (+ )( )( )( ) covergete. ( )!, por lo tto 6.- ( + ) olució: Coverge Es u serie de térmios positivos 0 e cumple l codició ecesri de (+ ) + covergeci. Aplicremos el criterio de l ríz. lim lim < (+ ) + por lo tto es covergete. 7.- L F I HG K J + NM + O QP Es u serie de térmios positivos olució: Coverge + + ( e+ ) 0. e cumple l codició ecesri de covergeci. Aplicremos el criterio de l ríz. + lim + lim < + + e+ + lim + lim

7 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd por lo tto es covergete ( ) 69 olució: Coverge Es u serie de térmios positivos Ver si se cumple l codició ecesri o es imedito. Por eso, vmos estudir el criterio del cociete, que prece que es el más decudo e este cso: 5 7 ( )(+ ) 69 (+ ) + + lim lim lim < 57 ( ) + covergete 69 por lo tto es olució: Coverge + Es u serie de térmios positivos + 0. e cumple l codició ecesri de / 8/ + covergeci. + Como b 8/ +, etoces, y porque b. Pero b 8/ l otto covergete. b tiee el mismo crácter es u serie rmóic de expoete 8 >, por ( ) + ( ) Es u serie de térmios positivos olució: Coverge / ( ) + ( ) + / 9/ 8/ /6, que es el térmio geerl de u serie rmóic de expoete > y por lo tto, covergete. Como ést 6 coverge, l origil tmbié por ser sus térmios geerles equivletes.

8 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd.- olució: Diverge + / Es u serie de térmios positivos. 0 (codició ecesri) / + / que es el térmio geerl de u sewrie rmóic de + / expoete, por lo tto divergete. Como est serie es divergete, tmbié lo será l origil..- + L( ) Es u serie de térmios positivos olució: Diverge, que diverge porque es l rmóic de expoete. + L( ).- L sum de los primeros térmios de u serie es + + : ) Estudir su crácter. b) Hllr el térmio 0. olució: ) Coverge b) 0 / ) lim lim lim lim. Al ser fiit este límite, l serie es covergete b) Estudir el crácter y e cso de ser covergete hllr l sum de l serie: F + F F,. I HG K J I + HG K J I + + HG K J +

9 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd olució:) Coverge (bsolutmete) b) / L serie tiee ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egtivos. i l estudimos e vlor bsoluto, result u serie sum de dos series geométrics de rzoes -/ y -/, que so meores que l uidd e vlor bsoluto y por lo tto covergetes. Por lo tto, l sum es covergete y l serie result bsolutmete covergete. Por este motivo, se puede reorder l serie origil como se desee: / / / / Estudir el crácter de ls series cuyos térmios geerles viee ddos por ls expresioes siguietes, segú los distitos vlores de los prámetros: 5.-! > 0 ( + )( + )( + ) ( )( )( + ) olució: Es u serie de térmios positivos. + ( + )! ( + )( + )( + ) (+ )(+ )(+ ) + lim lim! ( + ) ( + )( + )( + ) ( )( )(+ ) (+ )(+ ) ( + ) lim lim lim x (+ )(+ ) ( + ) coverge si diverge si < > ( > ) diverge Etoces, si < ( > ) coverge ( )? 5

10 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd Pr, plicmos el criterio de be Duhmel: ( ) lim lim lim < ( )( ) divergete pr. E resume: diverge < coverge, por lo tto, F HG 6.- L+ I K J olució: coverge Es u serie de térmios positivos L + 0. Aplicdo el criterio de l ríz: lim <, por lo tto, covergete pr culquier vlor del prámetro 7.- > 0 olució: e coverge si diverge si < e e Es u serie de térmios positivos lim i lim e e e < ( < e) es covergete e > ( > e) es divergete e ( e)? e E este último cso, l serie qued: ecesri de covergeci., que diverge porque o cumple l codició 6

11 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd 8.-! ( + b)( + b)( + b) ( + b) b, > 0 olució: si b > coverge si b < diverge si b y si > coverge si diverge Es u serie de térmios positivos ( + )! ( + b)( + b)( + b) ( + b)( + ( + ) b) + + b+ b b ( + b)( + b)( + b) ( + b) + lim lim lim! Etoces, si < ( b > ) coverge b > ( b < ) diverge b ( b )? b E este último cso, sustituyedo l serie quedrí:! + + y. Aplicdo el criterio de be- ( + )( + )( + ) ( + ) + + Duhmel, tedremos: lim lim lim lim Etoces, si siedo b es > coverge < diverge?! E el cso de que b y que es divergete... ( + ) + y que es l serie rmóic de expoete uidd. 9.- b > 0, b Z 7

12 Escuel de Igeieros de Bilbo Es u serie de térmios positivos Deprtmeto Mtemátic Aplicd olució: si > coverge si < diverge si y si b < coverge si b diverge < ( > ) es covergete b lim lim ( ) es divergete > < ( )? b E este último cso, l serie qued: que -b 0.- x > 0 olució: + x coverge si -b> b< diverge si -b b coverge si x > diverge si x Es u serie de térmios positivos 0 < x < x 0 que o tiede 0: diverge + x x x que o tiede 0: diverge + x x > x que es u serie geométric de r < que coverge + x x x.- (!) > 0 olució: ( + )! Es u serie de térmios positivos + ( ( + )!) ( + )! ( + )( + ) (!) (+ )(+ ) ( + )! + lim lim lim coverge si diverge si < 8

13 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd < < < Etoces, si > > > ( ) es covergete ( ) es divergete ( )? E este último cso, l serie es: + ( + )( + ) + 8+ (+ )(+ ) (!) ( + )! Etoces, plicdo el criterio de be-duhmel: y quedrí: ( )( ) lim lim lim ( )( ) lim < Divergete Es u serie de térmios positivos olució: coverge si diverge si > / / + + ( ) lim lim lim lim ( + + ) ( + + ) / lim lim lim + / / serie rmóic de expoete.- > 0 +. i Es u serie de térmios positivos 9 9 lim lim lim que es el térmio geerl de u + > ( > ) Coverge + ( ) Diverge olució: coverge si < / 9 diverge si / 9 9

14 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd 9 < ( < ) Coverge 9 9 i > ( > ) Diverge 9 9 ( )? 9 E este último cso, l serie iicil qued: que diverge porque el 9 térmio geerl o cumple l codició ecesri de covergeci F I.- + HG K J > 0 olució: Es u serie de térmios positivos. 0 si 0 < < A lim lim + si > si coverge si diverge si < ) i A 0(0< < ) lim lim + lim + <, y l serie coverge. b) i A ( > ), o se cumple l codició ecesri de covergeci y por lo tto l serie o coverge. c) E este cso, y el térmio geerl de l serie qued: lim lim + e. Como o se cumple l codició ecesri de covergeci, l serie diverge (porque es u serie de térmios positivos). 5.- e el térmio geerl de u serie de térmios positivos. ) i l serie coverge qué se puede decir de l serie? + b) i l serie diverge qué se puede decir de l serie? + olució: ) Coverge b) Coverge Es u serie de térmios positivos 0

15 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd ) i l serie coverge, se cumple l codició ecesri de covergeci, es decir, 0 +. Por lo tto Dd l serie codiciolmete covergete. 7.- se ( π / ) > 0 olució: Estudir el crácter de ls serie de térmio geerl : +, demostrr que es coverge si diverge > π si π ( ) ( + ) ( ) ( )/ F HG F HG ( + ) + ( ) L( + ) I KJ I K J olució: Coverge (bsolutmete) olució: Coverge (bsolutmete) olució: Coverge olució: Coverge (codiciolmete) ( ) olució: Coverge (codiciolmete) ( + ) olució: + b ( + ) x ( x ) 7.- Dd l serie de térmio geerl olució: olució: olució: si - coverge (bsolutmete) si < ó > o coverge si - coverge (bsolutmete) si < ó > o coverge si - < b < coverge (bsolutmete) si b ó b o coverge si x (, ) (, +) coverge (bsol.) si x [,) (,] o coverge se( π / ) : ) Estudir el crácter de dich serie pr y. b) Obteer pr el vlor de su sum co error meor que

16 Escuel de Igeieros de Bilbo Deprtmeto Mtemátic Aplicd olució: ) coverge (codiciolmete) coverge (bsolutmete) b) 6/7 8.- Cuátos térmios de l serie de térmio geerl + ( ) se debe tomr pr + obteer su sum co u exctitud hst ε 0 6? Estudir el crácter de ls siguietes series: F I 9.- L K J 50.- HG 6 olució: N 0 olució: Coverge + olució: Coverge L N M F HG I KJ 5.- L+ ( + ) ( + ) O Q P F I HG K J olució: Coverge Clculr l sum de l serie olució: -9/5 5.- ) Clculr l logitud totl L de l curv formd por u sucesió ifiit de semicircuferecis de rdios, /, /9, /7,.... b) Clculr l logitud de ls primers semicircuferecis L. c) Clculr el vlor míimo de que hce que el error cometido l tomr L por L se iferior l 5% del totl. olució: ) π/ π b) L F HG I K J c) Clculr se(6º) co u error ε < 0 x, sbiedo que se( x) ( ) 0 ( + )! es u serie lterd que verific ls codicioes del teorem de Leibiz. olució: