PROPUESTA A. c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.
|
|
- Patricia Vázquez Ríos
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) 2A. Calcula las siguientes integrales: 3A. Sabiendo que Calcula el valor de los determinantes Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1 25 puntos por determinante) 4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ): a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) (sigue a la vuelta)
2 PROPUESTA B 1B. Dada la función calcula los parámetros a, b R sabiendo que: f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos) 2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos) 3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R. (1,5 puntos) b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) 4B. Dado el punto P(1, 0, 0) y la recta a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) 2
3 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) Solución. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) Teorema de Bolzano. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de variable real f :[ a, b] R continua sobre un intervalo cerrado y acotado con f(a) f(b) < 0 entonces existe al menos un valor c ( a, b ) con f(c) = 0. Teorema de Rolle. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de variable real f :[ a, b] R continua sobre un intervalo cerrado y acotado, derivable en (a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un valor real c ( a, b ) con f (c) = 0. b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x + 3 = 0 (1 punto) Solución. Sea la función f(x) = x 5 5x + 3 que es una función continua, al ser un polinomio, y consideramos los siguientes valores de abcisa, los cuales sustituimos en la función: f( 2) = ( 2) 5 5 ( 2) + 3 = = 19 < 0 f( 1) = ( 1) 5 5 ( 1) + 3 = = 7 > 0 f(1) = = = 1 < 0 f(2) = = = 25 > 0 Por tanto, aplicando el Teorema de Bolzano a los intervalos [ 2, 1], [ 1, 1] y [1, 2] obtenemos que al menos existe una raíz en cada intervalo abierto ( 2, 1), ( 1, 1) y (1, 2) para la ecuación x 5 5x + 3 = 0 y como son intervalos abiertos disjuntos serán raíces distintas. Concluimos por el Teorema de Bolzano que hay al menos tres raíces reales distintas de la ecuación x 3 5x + 3 = 0. Además, al menos una está en el intervalo ( 2, 1), hay al menos otra en el intervalo ( 1, 1) y hay al menos otra más en el intervalo (1, 2). 3
4 c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. (0 5 puntos) Solución. Sea la función f(x) = x 5 5x + 3 que es una función continua y sea su función derivada f (x) = 3x 4 5 que es continua en R. La función f(x) está en las condiciones descritas por el Teorema de Rolle en cualquier intervalo cerrado y acotado que deseemos. Supongamos que f(x) tiene n raíces reales distintas con n > 3. Sean las raíces reales distintas, que llamamos ordenadas de menor a mayor, x 1, x 2, x 3,, x n R En tal caso, f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = f(x n ). Por el Teorema de Rolle existe al menos un valor en el intervalo (x 1, x 2 ) donde f (x) = 0; al menos un valor en el intervalo (x 2, x 3 ) donde f (x) = 0; al menos un valor en el intervalo (x n 1, x n ) donde f (x) = 0. Acabamos de demostrar de un modo correcto la existencia de al menos n 1 raíces de f (x) con n > 3. Es decir, existen al menos 3 raíces de la ecuación 3x 4 5 = 0. Por otra parte, sabemos resolver algebraicamente dicha ecuación que, resulta tener únicamente dos soluciones reales distintas: cosa absurda según lo que hemos encontrado anteriormente. Por tanto, el absurdo proviene de considerar que f(x) tiene más de tres raíces reales distintas. Concluimos que el número de raíces de f(x) no puede superar el número de tres. 2A. Calcula las siguientes integrales: Solución.. Se trata de una integral inmediata de tipo potencial 4
5 Se trata de una integral inmediata de tipo exponencial Observar que la derivada de g(x) = es: Por lo tanto, 3A. Sabiendo que Calcula el valor de los determinantes Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (1 25 puntos por determinante) Solución. Comenzamos por el primero de los determinantes y vamos aplicando sucesivas propiedades que explicamos a continuación según la reseña: Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes: (1) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede descomponer en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos sumandos/restandos de cada una de las sumas/restas. 5
6 (2) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo. (3) Al multiplicar un escalar cualquiera por un determinante se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos cualquier fila o columna del determinante por dicho escalar y efectuamos el determinante resultante. (4) Al intercambiar dos filas o dos columnas de un determinante, el valor del determinante cambia de signo. Calculamos ahora el segundo de los determinantes aplicando de nuevo las sucesivas propiedades que volvemos a explicar a continuación según la reseña: Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes: (1) y (3) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede descomponer en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos sumandos/restandos de cada una de las sumas/restas. (2) y (4) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ): a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) Solución. a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos) Calculamos la recta r perpendicular a que pasa por el punto P. El vector normal al plano es. Este vector es un vector director de la recta r. unas ecuaciones vectoriales de r serán: Para calcular las coordenadas del punto Q, calculamos la intersección de la recta r con el plano, sustituyendo las paramétricas de la recta r en el plano : ( 1 + t ) + ( 0 + t ) + 2 ( 0 + 2t ) = t + t + 4t = 7 6t = 6 t = 1 6
7 Por tanto, las coordenadas del punto Q del plano con menor distancia al punto P son: b) Calcula el punto simétrico P de P respecto del plano. (1,25 puntos) El punto simétrico P = (x, y, z) respecto del plano debe cumplir que En tal caso, 7
8 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B 1B. Dada la función calcula los parámetros a, b R sabiendo que: f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos) Solución. La pendiente de la asíntota oblicua a la función f(x) se calcula mediante: Lo aplicamos al caso de la función f(x), Por lo tanto, si la pendiente de la asíntota oblicua es m = 2 entonces, Por otra parte, si f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0, entonces f (0) = 0. Calculamos f (x), Sustituyendo en x = 0 tendremos que, De donde, si f (0) = 0 entonces b = 0. Concluimos que para que se den las condiciones impuestas, a = 4 y b = 0. 8
9 2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x 3 3x 2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos) Solución. Calculamos las abcisas de los puntos de corte de las dos gráficas funcionales a través de la ecuación: Resolvemos la ecuación, f(x) = g(x) x 3 3x 2 + 2x + 1 = 1 x 3 3x 2 + 2x = 0 Resolvemos la ecuación Observamos que las funciones se cortan en tres puntos de abcisas x = 0, x = 1 y x = 2 de donde habrá dos regiones delimitadas. Una primera región cerrada y acotada estará entre 0 y 1 y la segunda entre 1 y 2. En la región entre 0 y 1, observamos que la función f(0 5) = = = > 1 = g(0 5) y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) > g(x) en (0,1) En la región entre 1 y 2 observamos que la función f(1 5) = = < 1 = g(1 5) y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) < g(x) en (1,2) Por tanto, la suma de las áreas de las regiones que delimitan las funciones f(x) y g(x) vendrán definidas por la siguiente expresión integral: 9
10 Calculamos dicho área: Por tanto, el área de los dos recintos limitados por las funciones f(x) y g(x) suman un área de 0 5 u 2. 3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m R. (1,5 puntos) b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) Solución. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R. (1,5 puntos) La matriz de coeficientes del sistema es: 10
11 Estudiamos su rango. Para ello calculamos su determinante: A =0 + 2a a + a = 2a 2 +4a 6 Igualamos a cero el determinante y resolvemos la ecuación para ver qué valores anulan al determinante. Para ello, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: Por lo tanto, hacemos las siguientes consideraciones: Si a 1 y a 3 entonces A 0 y entonces Rg(A) = 3. Como Rg(A) Rg(A * ) = 3 entonces también ocurre que Rg(A * ) = 3 y por lo tanto, Rg(A) = Rg(A * ) = 3 = nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Determinado y tiene una sola solución. Si a = 1, el sistema queda de la forma, donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo, Mientras, en la matriz ampliada. Por tanto, Rg(A) = 2. Observamos que la matriz ampliada añade una columna pero se conserva la combinación lineal según la cual F 3 = F 1 + F 2 que ya se daba en la matriz de coeficientes. Por lo tanto, Rg(A * ) < 3. Como 2 = Rg(A) Rg(A * ) < 3 entonces también ocurre que Rg(A * ) = 2 y por lo tanto, Rg(A) = Rg(A * ) = 2 < nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Indeterminado y tiene una sola solución. 11
12 Si a = 3, el sistema queda de la forma, donde se observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo, Mientras, en la matriz ampliada. Por tanto, Rg(A) = 2. Observamos que existe un menor de orden tres en la matriz ampliada cuyo determinante es no nulo: Por lo tanto, Rg(A * ) = 3. Como 2 = Rg(A) Rg(A * ) = 3 entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema es Incompatible y NO tiene soluciones. En resumen: Si a 1 y a 3 entonces el Sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución. Si a = 1 el sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones. Si a = 3 el sistema es Incompatible y no tiene soluciones. b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto) En el apartado anterior hemos concluido que para a = 1 el sistema es Compatible Indeterminado y, por tanto, tiene infinitas soluciones. El sistema para este caso es de la forma: 12
13 Donde un menor de orden dos que tiene determinante no nulo es. Como el determinante podemos eliminar la tercera ecuación y convertir en parámetro a la incógnita z de tal modo que el nuevo sistema lineal a resolver es de la forma: Por lo tanto, sustituyendo el valor de x de la segunda ecuación en la primera y despejando y en la primera ecuación en función del parámetro z tendremos unas paramétricas de las infinitas soluciones del sistema: Por tanto, las soluciones quedan determinadas por las paramétricas: x = 1 + 3z y = 1 5z z = z con z R 4B. Dado el punto P( 1, 0, 0 ) y la recta a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) Solución. a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r. (1,25 puntos) Calculamos el plano perpendicular a la recta r que contiene al punto P. Como el vector director de la recta r es tendremos que un vector normal al plano será igualmente Por lo que una ecuación general del plano vendrá dada por la expresión: 13
14 Como queremos que P entonces sus coordenadas deben verificar la ecuación del plano: = d d = 2 Luego la ecuación general del plano es: que contiene al punto P y es perpendicular a la recta r El punto de corte de este plano con la recta r viene dado por la intersección de los lugares y se calcula sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano: Luego las coordenadas del punto Q en que se cortan la recta r y el plano es: La recta s que es perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P viene descrita por ecuaciones paramétricas que definen dos de sus puntos, y en concreto, P y el punto Q y son: b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos) La distancia entre P y r viene definida por la distancia entre el punto P y el punto Q. Esta distancia se calcula mediante el módulo del vector Por lo tanto, la distancia entre P y r es de 14
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
Opción A. Ejercicio. Valor: 2 puntos. Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = a) ( punto) Determinar sus máximos y mínimos relativos x x 2 + b) ( punto) Calcular el valor de
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.
Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x ay = 2 se pide: ax y = a + 1 a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la
Más detallesEjercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 [2 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm 2 de texto Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A Reserva
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)
IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detalles1. Examen de matrices y determinantes
1 EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES 1 1. Examen de matrices y determinantes Ejercicio 1. Halla todas las matrices X no nulas de la forma [ ] a 1 X = 0 b tales que X = X. Puesto que: X = [ ] [ ] a 1 a
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesTEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 001 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Junio, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesSistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro
Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesSistema de ecuaciones Parte II
Regla de Cramer Sistema de ecuaciones Parte II La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 010 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Junio Específico 010 [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesPrimer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución
Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS 1.- DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: se llama sistema de ecuaciones lineales al
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 3, Opción A Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A Reserva,
Más detallesSistemas lineales con parámetros
4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detallesIES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesINSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una y sólo una de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite
Más detalles02. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
3.6 Criterios específicos de evaluación. 01. Conocer lo que significa que un sistema sea incompatible o compatible, determinado o indeterminado, y aplicar este conocimiento para formar un sistema de un
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales 1. Estudiar el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro a. ax + y + z = a x y + z = a 1 x + (a 1)y + az = a + 3 Resolverlo (si es posible) para a = 1. (Junio
Más detallesMatemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes
Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso 0-03. Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD o F. Límites y continuidad o F Ejercicio. Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: f(x) = 4 x h(x)
Más detallesModelo 4 de Sobrantes de 2004
Ejercicio n de la opción A del modelo 4 de 24 9 Considera la integral definida I d + [ 5 puntos] Epresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables + t. [ punto] Calcula I. I d + Cambio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A Reserva
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 3º ESO. (2ª parte) 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.-) Dados los polinomios: P(x) = 3x 2 + 3x - 1, Q(x) = 3x 2 + 2x + 1 y R(x) = -x 3 + 2x 2 +1. Calcular: a) P - Q R
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detallesMATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales
Más detallesMATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x
Más detallesLABORATORIO DE CÁLCULO-2016 GUÍA DE REVISIÓN
LABORATORIO DE CÁLCULO-2016 GUÍA DE REVISIÓN Unidad I 1. Indique los distintos subconjuntos numéricos en R. 2. A qué se denomina recta real?. 3. Qué es un intervalo real?. Cómo se lo simboliza?. 4. Defina
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesDPTO. DE AMTEMÁTICAS I.E.S. GALLICUM CURSO 2012/13
DESARROLLO DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS MATEMÁTICAS II Según REAL DECRETO 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas, estas son
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesAquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal principal. Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Álgebra lineal Matrices Rango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo. Matriz regular det A Diagonal principal Elementos a ii de la matriz. Si la matriz es cuadrado son los elementos
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 013 (Modelo 4 Especifico ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 013 específico [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un
Más detallesJUNIO Bloque A
Selectividad Junio 009 JUNIO 009 Bloque A 1.- Estudia el siguiente sistema en función del parámetro a. Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario.
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detalles1 Sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sea S el siguiente sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas: 9 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 >=
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas
Más detallesLECCIÓN Nº SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. x y. y 3
www.mundogeinal.com JRC Observa las dos ecuaciones siguientes: LECCIÓN Nº SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES + = = Este sistema formado por las ecuaciones I II se llama sistema de dos ecuaciones lineales con
Más detallesTema 7: Derivada de una función
Tema 7: Derivada de una función Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detallesEJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN
MATRICES Y DETERMINANTES 1.) Sean las matrices: EJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN a) Encuentre el valor o valores de x de forma que b) Igualmente para que c) Determine x para que 2.) Dadas las matrices:
Más detalles1. Operaciones con vectores
1. OPERACIONES CON VECTORES Academia Nakis (Lugones)684-61-61-03. 1 Resumen Geometría en 3D 1. Operaciones con vectores Sean los vectores W 1 = (a 1, b 1, c 1 ),W 2 = (a 2, b 2, c 2 ),W 3 = (a 3, b 3,
Más detallesEjercicios resueltos de geometría analítica
Ejercicios resueltos de geometría analítica 1) Calcula el volumen del prisma determinado por los vectores v (0,-2,3), w (1,3,-4) y z (-2,1,0). 2) Calcula a para que los vectores (1,a,-1), (-4,2,0) y (a,2,-1)
Más detallesTEMA 7: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO
TEMA 7 Ejercicios / TEMA 7: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO. Calcula el ángulo que forman las rectas x y 4 z 5 y x y 4 z 5 Como los vectores directores u,4,5 y v,4,5 son perpendiculares, las rectas son
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detallesDESIGUALDADES. AXIOMA 1.- Tricotomía de los números reales. Si a y b son números reales entonces se cumple una y solo una de las relaciones
DESIGUALDADES 4.1.- AXIOMAS DE ORDEN. Cualquier conjunto o Campo de números que satisface los siguientes 4 Axiomas se dice que es un conjunto de números ORDENADO. El conjunto o Campo de los números reales
Más detallesTeoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss
página 1/9 Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss Índice de contenido Método de Gauss...2 Discusión de sistemas por el método de Gauss...4 Sistemas que dependen de parámetros desconocidos...6
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesentonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
Más detallesUnidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
Unidad 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 1.1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación lineal Las ecuaciones siguientes son lineales: 2x 3 = 0; 5x + 4y = 20; 3x + 2y + 6z = 6; 5x 3y + z 5t =
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detalles