IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS MÉTODOS POR SUB-ESPACIOS

Transcripción

1 IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS MÉTODOS POR SUB-ESPACIOS Ing. Fredy Ruiz Ph.D. Maestría en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad Javeriana 2013

2 Introduccion La teoría de sistemas lineales (realizaciones de sistemas en el espacio de estados) nace en los años 60 con Markov, Kalman, Akaike... En álgebra lineal Los algoritmos de singular value decomposition (SVD) son eficientes y bien conocidos. En los años 90, ingenieros como De Moor, Willems,... desarrollaron una teoría para la identificación de sistemas lineales basada en el espacio de estados y en álgebra lineal. Esta presentación se basa en el libro: Subspace identification for linear systems Van Overschee- de Moor Kluwer, 1996.

3 FUNDAMENTOS En los métodos por subespacios se usa una sola estructura de modelos: espacio de estados (SS). El único parámetro que el usuario debe ajustar es el orden del modelo n. Un modelo en SS se describe como: con hipotizando: observable y controlable

4 FUNDAMENTOS Gráficamente:

5 Motivación Los métodos de identificación PEM usan una parametrización complicada, sobretodo en el caso de sistemas multivariable. En SS toda la dinámica del sistema esta concentrada en la matriz A, (polos del sistema, modelo de ruido,... ). las técnicas modernas de diseño de sistemas de control (robusto, predictivo, etc.) consideran modelos en SS para resolver los problemas de manera eficiente.

6 Principios Los métodos por subespacios no usan los datos para encontrar una relación entrada-salida Usando herramientas de: Sistemas lineares Álgebra linea Geometría El problema es estimar la relación entrada-estado-salida

7 Principios

8 Herramientas Proyección ortogonal Se define la proyección ortogonal de un conjunto de vectores, agrupados en la matriz A, sobre el espacio fila de una matriz B como: Gráficamente: La matriz A se puede descomponer como con

9 Herramientas Proyección oblicua Es posible descomponer una matriz, no como combinación lineal de dos bases ortogonales, sino como combinación lineal de dos bases NO ortogonales B y C y de su complemento ortogonal:

10 Herramientas Proyección oblicua El termino LCC se define como la proyección oblicua del espacio fila de A, a través del espacio fila de B, sobre el espacio fila de C.

11 Herramientas Propiedades: La proyección oblicua del espacio fila de A, a lo largo del espacio fila de B, sobre el espacio fila de C se puede definir como:

12 Matrices del sistema Matrices de Hankel a bloques de la entrada:

13 Matrices del sistema Las Matrices de Hankel a bloques de la salida se definen de la misma manera. Las Matrices de Hankel a bloques de entrada y salida se definen como: La secuencia de estados Xi se define como:

14 Matrices del sistema Matriz de observabilidad extendida Matriz de controlabilidad extendida revertida

15 Matrices del sistema Matriz de parametros de Markov Toeplitz a bloques de la respuesta pulso)

16 Problema de identificación determinístico

17 Problema de identificación deterministico Resultado 1: Relaciones matriciales entre los datos

18 Problema de identificación deterministico Definición: Una señal de entrada es persistentemente excitante de orden 2i si la matriz de covarianza de la entrada: es de rango completo (2mi)

19 Problema de identificación deterministico Resultado 2: Suposiciones u es persistentemente excitante La intersección entre el espacio fila de y el espacio fila de es vacío. Qué significa esto?

20 Problema de identificación deterministico Resultado 2: Definiciones Para adecuadas matrices T, W1 y W2, la matriz tiene la siguiente descomposición:

21 Problema de identificación deterministico La matriz es el producto de la matriz de observabilidad extendida y los estados futuros. El orden del sistema es igual al numero de valores singulares diferentes de cero en S 1.

22 Problema de identificación deterministico La matriz de observabilidad extendida es: La parte de la secuencia de estados que cae sobre el espacio columna de W2 se puede recuperar de:

23 Problema de identificación deterministico La secuencia de estados es igual a: IMPORTANTE: Es posible recuperar la secuencia de estados usando solamente datos de entrada-salida.

24 Problema de identificación deterministico Las matrices del sistema A, B, C y D se obtienen del sistema de ecuaciones: Este es un sistema sobre-determinado que se resuelve por mínimos cuadrados.

25 Problema de identificación deterministico Interpretación geométrica:

26 Problema de identificación deterministico Las matrices del sistema A, B, C y D se obtienen del sistema de ecuaciones: Este es un sistema sobre-determinado que se resuelve por mínimos cuadrados.

27 Problema de identificación deterministico

28 Problema de identificación deterministico

29 Problema de identificación deterministico La matriz A también se puede obtener a partir de la relación como O

30 Problema de identificación deterministico En este caso C se toma como las primeras l filas de Y las matrices B y D se obtiene como:

31 Problema de identificación deterministico

32

33 Problema de identificación estocástica

34 Problema de identificación estocástica Se presenta un problema en el caso de identificación estocástica, existen infinitas realizaciones de sistemas LTI en SS equivalentes, es decir con las mismas propiedades estadísticas de primer y segundo orden. Forward Backward Innovación hacia adelante (Kalman) Innovación hacia atrás Todas estas y otras realizaciones producen la misma función de auto-correlación para y.

35 Problema de identificación estocástica

36 Propiedades de los sistemas estocásticos

37 Definiciones Matriz de observabilidad extendida Matriz de Controlabilidad revertida y extendida

38 Definiciones Matrices Toeplitz de correlación:

39 Definiciones Matrices Toeplitz de correlación Teniendo en cuenta que: Resulta

40 Problema de identificación estocástica

41 Filtros de Kalman no estacionarios La evolución del filtro de kalman variante con el tiempo: Se puede expresar como:

42 Filtros de Kalman no estacionarios La evolución del filtro de kalman variante con el tiempo: Se puede expresar como:

43 Existen dos tipos de aproximaciones al problema de identificación estocástica:

44 Solución 1. No polarizada pero no garantiza una función de auto-correlación definida positiva.

45 Problema de identificación estocástica

46 Solucion alternativa que genera una funcion de autocorrelacion definida positiva, pero da una estima polarizada

47 Problema de identificación general

48 Problema de identificación general Combinando los resultados de identificación deterministica y estocástica, es posible resolver el problema general. La complejidad de los algoritmos es similar a la de los casos anteriores. Los algoritmos

49 Problema de identificación general

50 Problema de identificación general

51 Problema de identificación general

52 Problema de identificación general

53 Conclusiones Los métodos por subespacios son particularmente útiles en la identificación de sistemas multivariable, evitando la parametrización No requieren la solución de problemas de optimización no lineales-no convexos La literatura muestra que funcionan en la práctica.

54 Conclusiones No es claro que función de costo se minimiza (tipo maximum likelihook) Aun existen huecos en la teoría estocástica para demostrar eficiencia, consistencia y obtener expresiones de la varianza de la estima. Actualmente el toolbox de Matlab utiliza estos métodos para estimar un punto inicial necesario en la optimización no convexa de la rutina PEM.