1.-Algunas desigualdades básicas.

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1 Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd tringulr) Si, y R entones L iguldd se umple si, y sólo si, y 0. +y + y. 3) (Medi ritméti y medi geométri) Si,y > 0, +y y. 4) (Reordenmiento) Si y y, entones +y y +. Ejeriio. ) Demuestr l desiguldd tringulr y que y y pr,y R. ) Demuestr l desiguldd entre ls medis ritméti y geométri. Interpret geométrimente l desiguldd en términos de áres. Cuándo se verifi l iguldd? ) Demuestr e interpret l desiguldd del reordenmiento. Ejeriio. (Completndo udrdos) Demuestr ls siguientes desigulddes: ) +y +y 0. ) y +y 0. ) Si > 0 entones +. Demuestr que l sum +y on y =, > 0, es mínim undo = y =. Interpret geométrimente el resultdo. d) Si 0 < < entones ( ). Demuestr que el produto y on +y =,,y > 0, es máimo undo = y =. Intepret geométrimente el resultdo. Ejeriio 3. Demuestr ls siguientes desigulddes: ) Si 0 y entones 0 y y. 4 ) Si,y > 0 entones y y + + y.

2 .-L desiguldd de Cuhy-Shwrz. L desiguldd de reordenmiento. ) (C-S) (+y) ( + )( +y ) pr,,,y R. ) (C-S) Sen,..., n ;y,...,y n R. Se verifi que y + y + + n y n ( + + n L iguldd se umple si y sólo si eiste α R tl que ) ( y + +yn ). y k = α k, k =,...,n ó k = αy k, k =,...,n. ) A prtir de l desiguldd del reordenmiento pr dos sumndos se puede justifir que si se tienen: n n entones pr ulquier permutón (y,...,y n ) de (,..., n ) se tiene que n n y + y + + n y n n + + n Ests desigulddes se pueden interpretr en términos oloquiles de l siguiente form: Se tienen illetes on distintos vlores,,..., n y de d tipo de illete se puede oger un iert ntidd de entre ntiddes prefijds,,..., n. Si onsidermos los vlores ordendos de los illetes y de ls ntiddes, Cuál es l form de otener l myor ntidd posile ogiendo illetes de un tipo, illetes de otro tipo, y sí suesivmente hst gotr ls ntiddes? El myor vlor totl posile se otendrá tomndo el myor número posile n de illetes on el myor vlor posile n, y on lo que vy quedndo ir hiendo lo mismo. El menor vlor totl posile se otendrá tomndo el myor número posile de illetes lo más pequeños posile, y ontinur on el mismo esquem hst gotr ls ntiddes tomr. Ejeriio 4. (OME, 97) Si 0 < p,0 < q y p+q <, demostrr que (p+qy) p +qy. Ejeriio 5. Demostrr que si,,,y son números reles y, > 0 entones (+y) + + y. Ejeriio 6. Deduir de l desiguldd de Cuhy-Shwrz l desiguldd entre l medi ritméti y l llmd medi udráti: Si,,..., n son números reles positivos se verifi que n + + n. n n Considerr en primer lugr el so de n = términos.

3 Ejeriio 7. ) Si,, 0 entones ) Si,, > 0 entones ) Demuestr que si, y son los ldos de un triángulo entones

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5 Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl. Soluiones. Ejeriio. ) Demuestr l desiguldd tringulr y que y y pr,y R. ) Demuestr l desiguldd entre ls medis ritméti y geométri. Interpret geométrimente l desiguldd en términos de áres. Cuándo se verifi l iguldd? ) Demuestr e interpret l desiguldd del reordenmiento. ) Bst plir l desiguldd tringulr = ( y)+y y y = (y )+. ) Interpretión geométri en términos de áres: Si se onsider el udrdo de ldo + y, dentro de él se pueden olor, sin que se solpen, 4 retángulos de ldos e y. ) L demostrión es inmedit: Deir que + y y + es equivlente deir que (y ) (y ). Esto último es ierto puesto que y 0 y. Ejeriio. (Completndo udrdos) Demuestr ls siguientes desigulddes: ) +y +y 0. ) y +y 0. ) Si > 0 entones +. Demuestr que l sum +y on y =, > 0, es mínim undo = y =. Interpret geométrimente el resultdo. d) Si 0 < < entones ( ). Demuestr que el produto y on +y =,,y > 0, es máimo undo = y =. Intepret geométrimente el resultdo. ) Aunque l desiguldd se podrí reduir un desiguldd on el polinomio en un vrile p(t) = t +t+ lo hemos diretmente en dos vriles +y +y = Ovimente l iguldd sólo se d pr = y = 0. ( + ) y ( 4 y +y = + ) y y 0. ) Se puede her de form nálog l prtdo nterior.

6 ) Puesto que > 0 tnto omo / pueden tomrse omo udrdos (de números reles), + = ( ) + y l iguldd sĺo se lnz pr = =. Interpretión geométri: De entre todos los retángulos on áre igul el que tiene menor perímetro es el udrdo. d) Si 0 < < entones ( ) = ( ) = ( ( ) ) = ( ). Intepretión geométri: De entre todos los retángulos on perímetro ddo, el que tiene myor áre es el udrdo. Ejeriio 3. Demuestr ls siguientes desigulddes: ) Si 0 y entones 0 y y. 4 ) Si,y > 0 entones y y + + y. ) L primer desiguldd es lr, y y = y(y ) 0. Pr l segund desiguldd, puesto que 0 y se tiene que 0 y y y por tnto ( [ y y y y = ( )y ( ) = ( ) = ] ) 4 4. ) Si,y > 0, st plir l desiguldd del reordenmiento on ( ) (,y) y y,. Ejeriio 4. (OME, 97) Si 0 < p,0 < q y p+q <, demostrr que (p+qy) p +qy. L desiguldd puede otenerse medinte lo siguiente p +q y +pqy p +qy = p+q pq( y) p +qy p+q < Sin emrgo puede otenerse de mner más nturl usndo plir l desiguldd de Cuhy-Shwrz (p+qy) = ( p p+y q q) ( p+y q ) (p+q) <.

7 Ejeriio 5. Demostrr que si,,,y son números reles y, > 0 entones (+y) + + y. Est desiguldd se puede reduir l desiguldd de Cuhy-Shwrz sin más que onsiderr lo siguiente: ( ) ( ) + y y = +. Aplindo l desiguldd de C-S tenemos ( ) (+y) y = + [ ( ) ( ) ] y ( + + ). Ejeriio 6. Deduir de l desiguldd de Cuhy-Shwrz l desiguldd entre l medi ritméti y l llmd medi udráti: Si,,..., n son números reles positivos se verifi que n + + n. n n Considerr en primer lugr el so de n = términos. Ejeriio 7. ) Si,, 0 entones ) Si,, > 0 entones ) Demuestr que si, y son los ldos de un triángulo entones ) Bst plir l desiguldd del reordenmiento on (,, ) y (,,) ) Bst plir l desiguldd del reordenmiento on dos terns igules (,, ). ) Pr que, y sen los ldos de un triángulo d uno tiene que ser menor que l sum de los otros dos. Suponiendo 0 < tenemos que

8 Aplindo l desiguldd del reordenmiento ls terns ( ) (,,), +, +, + tenemos que + siendo (,y,z) ulquier reordenión de (,,). Tomndo (,y,z) = (,,) tenemos S = Tomndo (,y,z) = (,,) tenemos S + Sumndo ls dos desigulddes tenemos y +. S +± +± +± + = 3+S. z

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