TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 Alonso Fernández Galián TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Aunque el concepto de función está implícito en los trabajos de Newton, Leibniz, Euler, no fue hasta el glo XIX en que se definió de manera precisa. El estudio riguroso de funciones se inicia con los trabajos de Cauchy y el uso que hace éste de la noción de límite... FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Una función real de variable real f es una regla cálculo, de manera que a cada número real de cierto conjunto D, llamado dominio de la función, le corresponde un único número real y: D f R R y f ) Una función real de variable real tiene asociada una gráfica, formada por los puntos, y) del plano cuyas coordenadas satisfacen la epreón analítica de la función. Dominio e imagen. El dominio de una función es el conjunto de números reales en los que está definida la función; es decir, el conjunto de números reales que puede tomar la variable. Gráficamente, el dominio de una función es el conjunto de valores de sobre los que está representada la gráfica de la función: D f R D f, D f, Análogamente, la imagen o recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que alcanza la variable y. Gráficamente: y Im f Eiste un número D f ) tal que y f ) Dominio: Imagen: f a b D, Im f c, d - -

2 Matemáticas II. CÁLCULO DE LÍMITES Intuitivamente, el límite de la función f cuando es el valor al que se aproima la función a medida que tomamos valores de cada vez más próimos a en el aneo se puede ver la definición formal de límite). Ejemplo: Calcular el límite de 9 f cuando. Podemos tratar de estimar el límite dando valores:,99,999, f ),,,...,,,... f ),,,... Parece que el límite es. Comprobémoslo: 9 ind ) ) De manera milar, el límite de la función f cuando es el valor al que se aproima la función a medida que tomamos valores de cada vez más grandes. Cálculo de límites: evaluación de la función. Para calcular el límite de una función cuando a se sustituye por a y se opera. Para operaciones con y con el infinito tenemos: / k k k / k / k k, k k k / k, k k Ejemplo: Calcular los guientes límites en un punto: a) b) c) ) d) 7 e) f) - -

3 Tema : Funciones. Límites y continuidad - - Indeterminaciones. Una indeterminación es una operación con ó que no está definida de antemano, no que depende de cada límite concreto. Las indeterminaciones son: Veamos cómo se resuelven los casos más frecuentes. Indeterminación del tipo / cuando. Se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre la mayor potencia de. Ejemplo: Calcula los guientes límites: a) [ ] Ejemplo: Calcula el límite cuando de la guiente función:, ) f Como se trata de una función definida a trozos, calculamos los límites laterales. ) ind f ) f Como los límites laterales son iguales, concluimos que: f Ejemplo: Calcular los guientes límites en el infinito: a) d) b) e) c) f)

4 Matemáticas II - - Muchos otros casos de indeterminación pueden reducirse al tipo / mediante algún cálculo. Indeterminación del tipo / cuando tiende a un punto. Se resuelven factorizando el numerador y el denominador para mplificar el factor que los anula. [ ] b) c) Nota: En la práctica basta con comparar el grado del numerador y del denominador. Ejemplo: Calcula los guientes límites: a) ) ) ) ) 9 b) ) ) Si está afectada por una raíz se multiplican el numerador y el denominador por la epreón conjugada para que aparezca eplícitamente el factor que los anula. c). Otras indeterminaciones cuando tiende a un punto pueden reducirse a este caso: c) ) ) ) ) ) ) Ejemplo: Calcula el guiente límite:

5 Tema : Funciones. Límites y continuidad. CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES Intuitivamente decimos que una función es continua su gráfica no está rota; es decir, podemos dibujarla n levantar el lápiz del papel. Definición de continuidad en un punto. Se dice que una función f es continua en el punto el límite de la función cuando coincide con el propio valor de la función: f es continua en f ) f ) Si una función no es continua en el punto se dice que es discontinua en dicho punto. Tipos de discontinuidad. Si una función es discontinua en el punto puede ser que la discontinuidad sea no evitable o que sea evitable. A su vez, una discontinuidad no evitable puede ser una discontinuidad de salto finito o una discontinuidad de salto infinito: Discontinuidad no evitable de salto finito: Una función presenta una discontinuidad no evitable de salto finito en el punto los límites laterales cuando son distintos: f ) f ) Discontinuidad no evitable de salto infinito: Una función presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito en el punto el límite cuando es infinito: f ) Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto el límite cuando eiste y es finito, pero no coincide con el valor de la función: f ) f ) Nota: Si L es el límite cuando, podemos construir la función: f ) f ˆ ) L que es igual que f cuando, pero que es continua en el punto. - -

6 Matemáticas II Estudio de la continuidad de una función. Según todo lo anterior, para estudiar una función es continua en un punto hay que comprobar las tres condiciones guientes: i) f ) los límites laterales en son finitos y coinciden). ii) f ) la función está definida en ). iii) f ) f ) los dos valores obtenidos anteriormente son iguales). Nota: Las funciones elementales son continuas en todo su dominio. Por ejemplo, la función D R f ) es continua en f, mientras que en los puntos y la función no puede ser continua porque no está definida en ellos. Ejemplo: Estudia la continuidad de la guiente función: f ) La función es continua en R. Veamos qué ocurre en. Estudiemos primero los límites laterales: ) ) ) f ) Como también f ) /, concluimos que la función es continua en. Por tanto: La función es continua en todo R Ejemplo: Calcular el valor de k para que la guiente función sea continua en todo R. k, f ), El único punto donde la función podría no ser continua es en. Calculamos k de manera que los límites laterales en sean iguales. f ) k f ) k k Para este valor de k, se cumple entonces que f ). Como también f ), concluimos que para k la función es continua en toda la recta real. - -

7 Tema : Funciones. Límites y continuidad. EL TEOREMA DE BOLZANO Presentamos ahora un importante teorema sobre continuidad con múltiples aplicaciones. Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en el intervalo cerrado a, b y toma valores de gno contrario en los etremos, entonces eiste punto c del interior del intervalo, a, b, en el que la función se anula. Brevemente: i) ii) f continua en a, b f a) c a, b tal que f c) f b) o al revés) Gráficamente, el teorema de Bolzano gnifica que una función continua pasa de estar por encima del eje OX a estar por debajo, o al revés, entonces debe cortar a dicho eje. Ejemplo: Demostrar que la función f ) 7 corta al eje de abscisas al menos una vez en el intervalo,. La función es continua en toda la recta real, luego en particular lo es en el intervalo,. Además: f ) y f ) 8 Por lo tanto, por el teorema de Bolzano podemos afirmar que eiste un c, tal que: f c) Aplicaciones del teorema de Bolzano El teorema de Bolzano permite asegurar la eistencia de la solución de muchas ecuaciones, así como acotar dichas soluciones. Ejemplo: Demostrar que la guiente ecuación tiene alguna solución en el intervalo, e. ln Conderemos la función f ) ln. Estamos bajo las hipótes del teorema de Bolzano, pues: i) La función es continua en,e ii) f ) f e) e Por tanto, eiste un c, e tal que c) f. Es decir, un c, e ln c c tal que: - 7 -

8 Matemáticas II Ejemplo: Demostrar que la ecuación intervalo donde encontrarla. En primer lugar, notemos que la ecuación es equivalente a: log tiene alguna solución, indicando un log Así, conderemos la función f ) log, que es continua. Busquemos por tanteo un intervalo en el que la función cambie de gno: f ), f ), f ). Según esto, aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo,, podemos afirmar que c, tal que f c). Tal c es solución de la ecuación: eiste un f c) c log c c log c El teorema de Bolzano también nos permite asegurar la intersección de dos gráficas. Ejemplo: Demostrar que las gráficas de las funciones en algún punto. f ) e y g ) sen se cortan Notemos que el problema equivale a resolver la ecuación e sen, o equivalentemente: e sen Conderemos la función h ) e sen. La función es continua, busquemos un intervalo en el que se satisfaga el teorema de Bolzano. Probemos con, / : h ) y h / e Ahora, por el teorema de Bolzano, eiste un c en nuestro intervalo tal que h c). c c h c) e sen c e sen c f y g se cortan en c. Nota: Con más generalidad, el teorema de Bolzano permite demostrar que una función continua en un intervalo a, b toma todos los valores comprendidos entre f a) y f b). Ejemplo: Demuestra que la función f ) toma el valor y en intervalo,. Buscamos un valor de para el que se cumpla que, o equivalentemente, que: Conderemos la función g ) f ). Dicha función es continua en el intervalo,. Además, g ) y g ). Por tanto, por el teorema de c, tal que g c). Es decir: Bolzano podemos afirmar que eiste un f c) - 8 -

9 Tema : Funciones. Límites y continuidad. EL TEOREMA DE WEIERSTRASS Veamos finalmente un resultado de carácter teórico que necetaremos en más adelante. Teorema de Weierstrass: Toda función continua f en un intervalo cerrado a, b alcanza sus valores máimo y mínimo en dicho intervalo. Es decir: -Eistencia del máimo absoluto: a, b tal que f ) f ), a, b. -Eistencia del mínimo absoluto: a, b tal que f ) f ), a, b. dichos valores máimo y mínimo se pueden alcanzar en a o b). Gráficamente, Notas: -La eistencia de los valores máimo y mínimo no está asegurada la función no es continua. Por ejemplo, la guiente función no alcanza su valor máimo. -Tampoco tienen por qué alcanzarse los valores máimo o mínimo el intervalo no es cerrado. Por ejemplo: - 9 -

10 Matemáticas II ANEXO: DEFINICIÓN - DE LÍMITE Veamos la definición formal de límite. Límite en un punto. La función f tiene límite L cuando, para todo, eiste un tal que para cualquier que esté a una distancia de menor que, entonces f ) está a una distancia de L menor que. Brevemente: f ) L, tal que,, entonces f ) L Es decir, podemos obtener valores de f ) tan próimos a L como queramos con una diferencia menor que el margen de error que deseemos) n más que tomar valores de suficientemente próimos a en concreto, a distancia menor que cierto ). Límite en el infinito. La función f tiene límite L cuando, para todo, eiste un K tal que para cualquier mayor que K, entonces f ) está a una distancia de L menor que. Brevemente: f ) L, K tal que, K, entonces f ) L Es decir, podemos obtener valores de f ) tan próimos a L como queramos con una diferencia menor que el margen de error que deseemos) n más que tomar valores de suficientemente grandes en concreto, mayores que cierto K). - -

11 Tema : Funciones. Límites y continuidad EJERCICIOS DEL TEMA Funciones reales de variable real. Calcula el dominio de las guientes funciones. a) f ) b) c) ) ln u d) g ) v ). Calcula razonadamente el dominio de las guientes funciones. a) f ) 7 cos b) f ) c) ln ) f ) d) f ) e. Representa de manera aproimada las guientes funciones indicando su dominio y su recorrido. a) f ) ) b) g ) c) h ) Cálculo de límites. Calcula los guientes límites: a) d) b) e) c) f). Calcula razonadamente los guientes límites. a) b) 7 c). Calcula los guientes límites: a) b) b) 7 c) d) d) 9 7. Calcula los guientes límites: a) b) - -

12 Matemáticas II 8. Calcula los guientes límites en un punto. a) b) ) c) d) e) f) g) 9 h) 9 i) 7 9. Calcula razonadamente los guientes límites. a) b) 7 Continuidad. Estudia la continuidad de las guientes funciones. a) f ) b), f ),. Condera la guiente función: f ) Estudia su continuidad en el punto y, presenta algún tipo de discontinuidad, indicando de qué tipo es.. La función f ) no está definida en, por lo que no es continua en dicho punto. Averigua K de modo que la guiente función sí sea continua: ~, f ) K,. Calcula el valor de a para que la guiente función sea continua., f ) a,. Calcula el valor de a y b para que la guiente función sea continua en toda la recta real. a b, f ) a b, b, - -

13 Tema : Funciones. Límites y continuidad. Dada la función f ), a) Indica el tipo de discontinuidad que presenta en. b) Cómo deberíamos definir f ) para que la función resultante fuera continua?. Determina el valor del parámetro a R para que la función sea continua en. f ) a 7. Calcula a y b de modo que la guiente función sea continua. a ), g ) sen b ),, 8. Se condera la función ln, f ) a b, Determinar los valores de a y b para que f sea continua y cumpla que f ). El teorema de Bolzano 9. Dada la función: f ) a) Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que corta al eje OX en el intervalo,. b) Encuentra dicha raíz por métodos algebraicos.. Demostrar que la ecuación cos tiene al menos una solución, indicando un intervalo donde encontrarla.. Conderemos la función f ), corta al eje de abscisas en el intervalo,? y en el intervalo,?. Comprobar que la ecuación posee alguna solución real en,. sen cos. Utilizar el teorema de Bolzano para demostrar que la guiente ecuación tiene alguna solución real, indicando un intervalo donde encontrarla. e - -

14 Matemáticas II. Probar que las gráficas de f ) ln y g ) e se cortan en algún punto.. Probar que la función ) f toma el valor en el intervalo,.. La función f ) / cumple que f ) y f ). Sin embargo, no corta al eje de abscisas en ningún punto. Contradice este hecho el teorema de Bolzano? 7. Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicación de este teorema, demuestra que las gráficas de las funciones f ) e y ) cos g se cortan en, al menos, un punto. 8. Condera la función f ). Demuestra que la función toma todos los valores comprendidos entre y 7. Selección de Ejercicios de PAEG Junio 9- Junio - Reserva) Septiembre - Nota: Para calcular el límite del apartado hay que recordar de primero de bachillerato cómo se resuelven indeterminaciones del tipo, o bien esperar a que lo veamos en el tema guiente. - -