SEGUNDA PARTE RENTAS FINANCIERAS

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1 SEGUNDA PARTE RENTAS FINANCIERAS 5 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS 5.1 CONCEPTO: Renta fnancera: conjunto de captales fnanceros cuyos vencmentos regulares están dstrbudos sucesvamente a lo largo de un ntervalo temporal (sueldo mensual, mensualdades de préstamo hpotecaro, recbos de alquler, etc.). Dado un ntervalo general [t 0,t n ] que dvdmos en subntervalos o perodos de maduracón (perodos en los que se generan o producen los captales de renta): {[t 0,t 1 ], (t 1,t 2 ], (t 2,t 3 ] *t n-1,t n ]}, y un conjunto de captales {[C 1,t 1 ], (C 2,t 2 ], *C n,t n ]} defnmos renta como la aplcacón byectva que se establece entre dos conjuntos, de tal forma que a cada captal le corresponderá un perodo de maduracón y vceversa. Térmnos de la renta: son los captales asocados a cada período de maduracón. Períodos de maduracón: sub-ntervalos de la renta. En estos períodos se generan los captales de la renta. Orgen de la renta: momento t 0 Fnal de la renta: momento t n Duracón de la renta: tempo que meda entre el orgen t 0 y el fnal t n de la renta. Lo habtual es que cada captal se asoce o con el extremo nferor (renta prepagable) o con el extremo superor (renta pospagable) de cada sub-perodo. Págna 1/20

2 5.2 CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS: 5.3 VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA: Valor captal o fnancero de una renta: es la suma fnancera de sus captales o térmnos. Se puede calcular en cualquer momento del tempo, pero lo habtual es que se calcule en el orgen de la renta: valor actual, o en el fnal de la renta: valor fnal. Dado que lo normal es que las rentas tengan una duracón bastante ampla, se suele utlzar en su valoracón la ley de captalzacón / descuento compuesta. Págna 2/20

3 En el supuesto de una renta varable, temporal, nmedata y pospagable, el valor actual y el valor fnal adoptan la sguente forma: El valor actual de la renta se obtene sumando el valor de cada uno de los térmnos de la renta en el orgen: El valor fnal lo calculamos como la suma de cada uno de los térmnos en el fnal de la renta: 5.4 PROPIEDADES DE LAS RENTAS: Tres propedades muy útles de cara a la valoracón fnancera de las rentas: a) El valor fnancero es lnealmente proporconal a las cuantías: Esta propedad se aplca cuando se valoran rentas varables en progresón artmétca y supone que el valor fnancero de una renta es una combnacón del valor fnancero de otras rentas s se cumple que las cuantías de los térmnos de la renta son una combnacón de las cuantías de los térmnos de otras rentas. S C S = k C S + k C S V 0 = k V 0 + k V 0 b) Adtvdad respecto al tempo: El valor fnancero de una renta se puede obtener como suma de los valores fnanceros de los tramos en los que convenga descomponer el ntervalo temporal. Esta propedad es muy útl cuando la renta se valora con más de un tpo de nterés o cuando la renta tene tramos con cuantías que sguen reglas dstntas de formacón. c) Susttucón de una renta por otra equvalente de menor número de térmnos: El caso más frecuente en que se aplca esta propedad es cuando los térmnos tenen unos períodos de maduracón de ampltud menor que el año y se desea operar con una perodcdad anual. Es el caso de las rentas fracconadas. Págna 3/20

4 6 VALORACIÓN DE RENTAS CONSTANTES 6.1 RENTAS TEMPORALES E INMEDIATAS: Rentas pospagables: La representacón gráfca de una renta constante, untara, temporal, nmedata y pospagable: El valor actual de la renta, representado por:, se obtene sumando las cuantías equvalentes en el momento 0 de cada una de las undades monetaras que componen la renta: Esta es la expresón de una suma de n térmnos que varían en progresón geométrca de razón decrecente (1+) -1, por lo que: De gual forma, el valor fnal se calcula a partr de las cuantías equvalentes en el momento n: En este caso, la expresón es una suma de n térmnos en progresón geométrca de razón crecente (1+): Págna 4/20

5 Dado que el valor actual y el fnal son el msmo concepto (suma fnancera) obtendo en momentos dstntos, ambos conceptos son fnanceramente equvalentes, por lo que se puede obtener uno respecto a otro. En el caso que la renta sea de cuantía C (en vez de 1), basta con multplcar cada térmno por C Rentas prepagables: La representacón gráfca de la renta prepagables será: Utlzando una metodología smlar a la anteror obtenemos la expresón de la renta prepagable En cuanto al valor fnal De la comparacón de las expresones obtendas, se deduce que el valor actual y fnal de la renta prepagable es gual al valor actual y fnal de la renta pospagable multplcadas por (1+): Págna 5/20

6 La relacón de equvalenca es la msma que en las rentas pospagables: En el caso que la renta sea de cuantía C, basta con multplcar cada termno por C. 6.2 RENTAS PERPETUAS E INMEDIATAS: Rentas pospagables: La renta perpetua se caracterza porque la duracón es ndefnda, conocemos el orgen de la renta pero no su fnal. Por eso sólo tene sentdo calcular su valor actual. La forma más senclla de calcularlo en renta perpetua y pospagable es el límte de la correspondente renta temporal cuando la duracón tende a nfnto: En el caso que la renta sea de cuantía C, basta con multplcar cada termno por C Rentas prepagables: El valor actual y fnal de la renta prepagable es gual al valor actual y fnal de la renta pospagable multplcadas por (1+). Y para una renta C, Págna 6/20

7 6.3 RENTAS TEMPORALES Y DIFERIDAS: Rentas pospagables: Decmos que una renta es dferda, cuando la valoramos en un momento anteror a su orgen. Obvamente, solo se modfca el valor actual, el fnal es gual al de las rentas nmedatas. La renta tene su orgen en el momento h y al ser pospagable, el prmer vencmento se stúa en h+1 y el últmo en h+n. La duracón de la renta tene n perodos y se valora en el momento 0 (h perodos antes del orgen). El valor actual puede calcularse por dos procedmentos: a) Obtenendo a n en el orgen h y trasladando el resultado obtendo hasta el momento 0, medante el factor de actualzacón 1 h. b) Calculando la suma fnancera de todos los térmnos de la renta en el momento 0. A pror se utlza más el prmer método. En el caso de cuantía C: Págna 7/20

8 6.3.2 Rentas prepagables: El esquema gráfco de la renta prepagable es: Al gual que en la anteror tenemos dos métodos, calculando la suma fnancera de todos los térmnos en el momento 0 o calcularlos en el momento h y trasladándolos luego a 0. En este segundo caso: Y para una renta de cuantía C: 6.4 RENTAS PERPETUAS Y DIFERIDAS: Rentas pospagables: Para calcular el valor actual de una renta constante untara, pospagable, perpetua y dferda tomaremos el límte cuando la duracón tende a nfnto de la correspondente renta temporal Y para renta C: Rentas prepagables: 6.5 RENTAS TEMPORALES Y ANTICIPADAS: Rentas pospagables: Una renta es antcpada cuando la valoramos en un momento posteror al valor fnal de la renta. Sólo se camba el valor fnal, el actual es el msmo que en las nmedatas. Págna 8/20

9 La duracón de la renta es de n perodos puesto q su orgen es el momento 0 y el fnal n. La valoracón de la renta se realza en el momento n+t, es decr t perodos después del fnal. Para calcular el valor fnal se pueden utlzar dos métodos: a) Obtenendo el valor fnal de la renta en el momento n y luego trasladando el resultado hasta n t con el factor de captalzacón 1 t b) Calculando drectamente la suma fnancera en el momento n t de todos los térmnos de la renta. El segundo procedmento es más laboroso por lo que se suele utlzar: Y para una renta C Rentas prepagables: El valor fnal de la renta constante untara, temporal, prepagable y antcpada se puede obtener calculando la suma fnancera de todas las cuantías untaras en el momento de valoracón o a partr de la renta nmedata correspondente. En este últmo supuesto, el valor se calcula a partr de: Y para una renta C 6.6 RENTAS PERPETUAS Y ANTICIPADAS: No tene sentdo hablar de rentas perpetuas y antcpadas, ya que las perpetuas no tenen valor fnal, y el antcpamento solo afecta a este valor fnal. 6.7 RENTAS FRACCIONADAS: Una renta constante untara es fracconada cuando las cuantías de los térmnos y los perodos de maduracón se dvden en m partes guales. Establecéndose una relacón byectva entre cada subcuantía y cada subperodo de ampltud. Págna 9/20

10 La valoracón se puede hacer a través de dos procedmentos: a) Como una renta no fracconada, tomando como undad de tempo el m-ésmo de año. b) Como una renta fracconada, tomando como undad de tempo el año. (propedad de condensacón). Sea cual sea la opcón por la que opte a la hora de valorar la renta fracconada el resultado debe ser el msmo ya que se trata de rentas equvalentes. En cualquer caso, es muy mportante guardar la debda concordanca entre las tres varables que se manejan al calcular el valor fnancero de una renta fracconada: Cuantía del térmno de la renta. Undad de tempo con la que se trabaja. Tpo de nterés aplcable Rentas pospagables, temporales e nmedatas: El esquema gráfco: Usemos los dos procedmentos: 1. Valoracón como renta fracconada (condensacón en un número menor de perodos): Dado que en todos los perodos se realza el msmo fracconamento, analzamos uno y extrapolamos. En un año cualquera s, la dstrbucón de subcuantía y subperodos es: Podemos susttur la subcuantía 1/m por su equvalente a fnal de perodo. Por lo que calculamos el valor fnal (X) utlzando el tpo de nterés del subperodo (tema 3): I m = (1+) 1/m -1 Con lo que el valor fnal del perodo será: Tenendo en cuenta la relacón entre tpo de nterés fracconado y anual: Así pues podemos susttur la renta fracconada por otra equvalente sn fracconar de cuantía /J m El valor actual y fnal de la renta constante untara, fracconada será: Págna 10/20

11 Y en caso de que las cantdades sean : 2. Valoracón como renta no fracconada: Se toma como undad de medda del tempo el subperodo en que se ha fracconado el año. Lo que oblga a guardar la concordanca temporal entre undad de tempo y undad de nterés ( m ). Sumando los valores equvalentes en el momento 0: El valor actual es gual a la suma de n m térmnos de cuantía 1/m que varían en progresón geométrca decrecente de razón (1+ m ) -1 El valor fnal es gual a la suma de n m térmnos de cuantía 1/m que varían en progresón geométrca crecente de razón (1+ m ) Sendo la cuantía Págna 11/20

12 6.7.2 Rentas prepagables, temporales e nmedatas: La representacón gráfca será: Al gual que ocurre con las rentas anuales, es posble defnr la renta prepagable en funcón de la pospagable. Aunque se debe tener en cuenta que ahora no hay un desplazamento de un año a la zquerda sno un subperodo (1/m) a la zquerda. Así pues el valor actual y fnal de una renta constante untara, fracconada, prepagable, temporal e nmedata será: Y suponendo la cuantía constante en cada subperodo : Rentas pospagables, perpetuas e nmedatas: El cálculo del valor actual se realza tomando el límte cuando el tempo tende a nfnto de la correspondente renta temporal. Y suponendo la cuantía constante en cada subperodo : Rentas prepagables, perpetuas e nmedatas: Tambén tomamos límtes. Págna 12/20

13 Y suponendo la cuantía constante en cada subperodo : Rentas dferdas y antcpadas: Para obtener el valor actual de una renta dferda y fracconada podemos utlzar el factor utlzado en la no fracconada: S la renta fracconada está antcpada, podemos calcular su valor fnal multplcando por el factor de antcpamento (1+) t. (el antcpamento no afecta al valor actual) 6.8 RENTAS CONSTANTES QUE SE VALORAN CON MÁS DE UN TIPO DE INTERÉS: Puede que cada tramo de renta tenga un tpo de nterés. (Propedad de adtvdad respecto al tempo). Descomponemos la renta en dos sub-rentas: - Una de s perodos de duracón, pospagable, temporal e nmedata, se valora a tpo de nterés 1 - Otra de n s períodos, pospagable, temporal y dferda s períodos respecto al momento de valoracón, se valora a tpo de nterés 2 El valor actual de esta renta se obtene a partr de la propedad de adtvdad respecto al tempo: Obsérvese que la valoracón de la segunda renta se realza a un nterés 2 para la duracón n-s perodos y un nterés 1 para el dfermento. Págna 13/20

14 El valor fnal sería: En este caso, - El tramo de los s prmeros perodos es una renta pospagable, temporal y antcpada n-s perodos respecto al momento de valoracón. El nterés 1 se aplca para los s perodos prmeros y el 2 para el antcpamento. - La segunda renta es pospagable, temporal e nmedata de n-s perodos valorada al nterés 2. 7 VALORACIÓN DE RENTAS VARIABLES 7.1 INTRODUCCIÓN: Las rentas varables se caracterzan por que las cuantías de los térmnos no son todas guales; pueden varar según: - Según nnguna ley de varacón conocda. No exste una expresón abrevada que permta obtener valor actual o fnal. Se procede descontando cada uno de los térmnos al orgen (valor actual) o captalzándolos hasta el fnal (valor fnal). En el caso de una renta varable pospagable: En caso de ser prepagables: S están dferdas, basta con multplcar por S están antcpadas, basta con multplcar por h 1 t - Según alguna ley de varacón conocda (artmétca y geométrca) RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Renta pospagable, temporal e nmedata: Cada térmno es gual al anteror más (o menos s la razón es negatva) una cuantía constante d. Para calcular el valor actual: se descompone en n rentas constantes y se suma el valor actual de cada una. Págna 14/20

15 Calculamos el valor actual de la renta varable en progresón artmétca sumando el valor actual de las n rentas: Al resolver la suma, nos queda que el valor actual es: O podemos deducr otra expresón s se suma y resta por d n : Para obtener el valor fnal se captalza el valor actual, multplcamos por 1 n : Cuando el térmno de la progresón artmétca es negatvo, se camban los sgnos de las fórmulas Renta prepagable, temporal e nmedata: El valor actual y fnal se obtene multplcando por 1 la correspondente renta pospagable Renta pospagable, perpetua e nmedata: Págna 15/20

16 Se calcula tomando el límte cuando la duracón tende a del valor de la correspondente renta temporal. d d n n d 1 A C; d lm A C; d n C lm a lm 1 C n n n n Ya que, lm a n n 1 (tema 6.2.1) d n lm 1 n n d n lm n 1 n d Renta prepagable, perpetua e nmedata: Renta pospagable, temporal y dferda: Dferda h perodos: Se multplca la A C; d n por 1 h Renta prepagable, temporal y dferda: Renta pospagable, perpetua y dferda: Renta prepagable, perpetua y dferda: Renta pospagable, temporal y antcpada: Renta prepagable, temporal y antcpada: Págna 16/20

17 Rentas fracconadas: Para todos los posbles supuestos que hemos vsto puede consderarse que la renta sea fracconada. Basta con multplcar por el operador de transformacón J m el valor actual o el valor fnal. m S además la renta es prepagable hay que multplcar por 1 el valor de la pospagable. 7.3 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Renta pospagable, temporal e nmedata: La razón de crecmento tene que ser sempre postva (a dferenca de las rentas en progresón artmétca): S q 1 la renta es crecente. S 0 q 1los térmnos de la renta son decrecentes. Sumando los térmnos en el orgen: Para el valor fnal: Al msmo resultado se hubera llegado s al 0 V se le multplca 1 n Estas dos fórmulas son váldas s el valor de q 1 y cuando q 1. En caso de que q 1 tendríamos una ndetermnacón 0 0. Se resuelve aplcando unas fórmulas alternatvas: Págna 17/20

18 Resumen: Renta prepagable, temporal e nmedata: Multplcando la pospagable por el factor Renta pospagable, perpetua e nmedata: Tomamos el límte cuando la duracón tende a nfnto de la correspondente renta temporal. A C q A C; q ; lm n Solo tene sentdo calcular el valor actual s n q 1, en el resto de casos el resultado es nfnto Renta prepagable, perpetua e nmedata: S q Renta pospagable, temporal y dferda: Solo afecta al valor actual, se multplca por 1 h el valor actual de la renta nmedata. Págna 18/20

19 7.3.6 Renta prepagable, temporal y dferda: Multplcamos por Renta pospagable, perpetua y dferda: Multplcamos por 1 h el valor actual de la renta perpetua e nmedata para convertrla en dferda Renta prepagable, perpetua y dferda: Multplcamos la anteror por el factor (1+) Renta pospagable, temporal y antcpada: El antcpamento solo afecta al valor fnal, se multplca por 1 t Renta prepagable, temporal y antcpada: Multplcamos la anteror por el factor (1+) Rentas fracconadas: En todos los casos anterores puede que la renta sea fracconada, solo hay que multplcar por m es prepagable hay que multplcar por 1 el valor de la pospagable. J m. S además la renta 7.4 RENTAS VARIABLES QUE SE VALORAN CON MÁS DE UN TIPO DE INTERÉS: Puede que cada tramo de renta tenga un tpo de nterés. (Propedad de adtvdad respecto al tempo). Págna 19/20

20 Para calcular el valor actual: Descomponemos la renta en dos sub-rentas: 1º. De s perodos de duracón, pospagable, temporal e nmedata, se valora a tpo de nterés 1 2º. De n s períodos, pospagable, temporal y dferda s períodos respecto al momento de valoracón, se valora a tpo de nterés 2 para la duracón de n s y 1 para el perodo de dfermento. Para calcular el valor fnal: Descomponemos la renta en dos sub-rentas: 1. De s perodos de duracón, antcpada en n-s perodos, 1 para los s prmeros perodos y 2 para el perodo de antcpamento. 2. De n s períodos, nmedata, tpo 2. Págna 20/20