UNIVERSIDAD TECNICA LUIS VARGAS TORRES Esmeraldas - Ecuador MATRICES Y VECTORES

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1 UNIVERSIDAD TECNICA LUIS VARGAS TORRES Esmeraldas - Ecuador MATRICES Y VECTORES Facultad de Ingenierías y Tecnologías Ing. Paúl Viscaino Valencia DOCENTE

2 OBJETIVO Interpretar y resolver los problemas básicos de matrices y vectores, mediante la aplicación de métodos y procedimientos lineales para la modelación y resolución de problemas. ESTRATEGIAS DIDACTICAS Se realizará la explicación por parte del docente y los estudiantes abarcará las inquietudes y resolverán problemas. RESULTADOS DE APRENDIZAJE Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y matrices mediante métodos algebraicos, para obtener resultados sobre posibles soluciones a problemas de carácter teórico.

3 Una matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn números reales o complejos ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales: Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada de orden n. Los números a11, a22,..., amn forman la diagonal principal de A. Para simplificar el estudio de matrices, nos restringiremos nuestra atención al análisis de las matrices cuyas entradas son números reales.

4 Ejemplo de matrices A = B = C = D = E = 3 F = A es una matriz de 2 x 3 B es una matriz de 2 x 2 C es una matriz de 3 x 1 D es una matriz de 3 x 3 E es una matriz de 1 x 1 F es una matriz de 1 x 3 Otras forma de expresar: 4*2 2/3 M = 1/ (9+4)/3 π e P = (3+1) p 0 (3/5) i -2+6i H = 1+i 6-3i H es una matriz de números complejos

5 Son matrices de 1 n o n 1 también se denominan un n-vectores, y se representan mediante letras minúsculas en negritas. Cuando se sobreentienda el valor de n, nos referiremos a los n-vectores sólo como vectores. u = es un 4-vector v = es un 3-vector El conjunto de todos los n-vectores con entradas reales se denota con R n. De manera similar, el conjunto de todos los n vectores con entradas complejas se denota mediante C n.

6 MATRIZ DE COEFICIENTES Es aquella matriz de m x n que está compuesta por los coeficientes de las variables de un sistema de ecuación lineal. MATRIZ AUMENTADA Es aquella matriz de coeficientes añadidos adicionalmente los términos independientes del sistema de ecuación lineal separados con pequeñas líneas vertical. Sistema de Ecuación Lineal Matriz de coeficientes Matriz Aumentada

7 Ejemplo de aplicación de matrices Las siguientes matrices proporciona información desplegada de números en forma de tabla. Modo de expresar un sistema de ecuación lineal a forma matricial: A * x = b A es la matriz de coeficientes del sistema lineal. x es la matriz de las variables. b es la matriz de los términos independientes.

8 MATRIZ DIAGONAL Es una matriz cuadrada, en donde cada termino fuera de la diagonal principal es igual a cero. MATRIZ ESCALAR Es una matriz diagonal en donde todos los términos de la diagonal principal son iguales. MATRIZ BINARIA (Booleanas) Una matriz binaria de m n, es una matriz en que todas las entradas son bits. Un bit es un dígito binario; esto es, un 0 o un 1.

9 MATRIZ CERO O NULA Es aquella matriz de m x n en donde todos los elementos son iguales a cero. MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal en donde todos los términos de la diagonal principal son igual a 1. Se representa con la letra I n. Igualdad de matrices Dos matrices A y B son iguales, si tienen el mismo tamaño, y sus elementos correspondientes son iguales.

10 Son iguales las siguientes matrices?

11 Suma de matrices Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m n, la suma de A y B da por resultado la matriz C = [cij] de m n, definida por: Ejemplo: cij = aij + bij la suma de las matrices sólo se define cuando tienen el mismo número de filas (renglones) y el mismo número de columnas; es decir, sólo cuando A y B son del mismo tamaño.

12 Multiplicación por un escalar Si A = (aij) es una matriz de m x n y si α es un escalar, entonces la matriz m x n esta dada por αa. Es decir, αa se obtiene multiplicando cada elemento de A por el valor que tenga α.

13 Si A1, A2,..., Ak son matrices de m x n y c1, c2,..., ck son números reales, entonces una expresión de la forma: c1a1 + c2a2 + + ckak Combinación Lineal Entonces C=3A1 ½ A2 es una combinación lineal de A1 y A2. Por medio de la multiplicación por un escalar y la diferencia de matrices, podemos calcular C: Facultad de Ingenierías y Tecnologías Carrera de Ingeniería Mecánica 2016

14 Sea una matriz dada (A) de m n, la transpuesta de ésta matriz resulta del tamaño de n x m. Se simboliza por la letra A T. En consecuencia, las entradas en cada fila de A T son las entradas correspondientes en la columna de A. Facultad de Ingenierías y Tecnologías Carrera de Ingeniería Mecánica 2016

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