UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

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1 UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Siempre que ls rzones resulten definids: 1. Producto extremos = Producto medios Si entonces d=c Al numerdor se le llm ntecedente y l denomindor consecuente.. Rzones inverss Si entonces d c PROPORCIÓN: Es l iguldd entre dos rzones: c. Se lee: es como c es d. Tmién se escrie: /=c/d, :=c:d. y d son los extremos; y c son los medios. 3. Intercmio de extremos Si entonces 4. Intercmio de medios Si entonces d c c d CUARTA PROPORCIONAL: Si, es x decir :=c:x entonces x es lurt proporcionl entre, y c, en ese orden. x MEDIA PROPORCIONAL: Si, es x decir :x=x: entonces x es l medi proporcionl entre y. Tmién se llm medi geométric. TERCEROS PROPORCIONALES: Si x es l medi proporcionl entre y. Entonces y son ls tercers proporcionles de x. RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS: L rzón entre dos segmentos es l rzón entre sus medids, en l mism unidd de medid. SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos segmentos son proporcionles otros dos si l rzón entre los dos primeros es igul l rzón entre los dos segundos. 5. Sumr (restr) d ntecedente su respectivo consecuente c d Si entonces 6. Sumr (restr) donsecuente su respectivo ntecedente Si entonces d c 7. Rzones entre l sum y l diferenci del ntecedente y el respectivo consecuente c d Si entonces c d 8. L sum de los ntecedentes es l sum de los consecuentes como cd ntecedente es su consecuente, c Si entonces d

2 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS Est propiedd es plicle ulquier serie de dos o más rzones igules, es decir: 1 n 1... n n 1 9. El cudrdo de l medi proporcionl es igul l producto entre ls tercers proporcionles, es decir: x Si entonces x. x Luego l l medi geométric entre y es x. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN SEGMENTOS CONGRUENTES TEOREMA: Si tres o más prlels determinn segmentos congruentes sore un trnsversl entonces dichs prlels tmién determinn segmentos congruentes sore culquier otr trnsversl. CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento ddo en n segmentos congruentes, (nz, n) TEOREMA DE THALES TEOREMA: Si dos rects son cortds por tres prlels entonces los segmentos que dichs prlels determinn sore un de ls rects son proporcionles los segmentos que determinn sore l otr. COROLARIO: Tod prlel un ldo de un triángulo determin segmentos proporcionles sore los otros dos ldos, (o sore sus prolongciones), n TEOREMA (6 o criterio de prlelismo): Si en un triángulo un rect determin segmentos proporcionles sore dos ldos (o sore sus prolongciones) entonces dich rect es prlel l tercer ldo. TEOREMA: Si tres rects concurrentes son trnsversles dos rects prlels entonces sore ls prlels se determinn segmentos proporcionles y recíprocmente. PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS BISECTRICES TEOREMA: En todo triángulo, l isectriz de un ángulo interior divide l ldo opuesto en dos segmentos proporcionles los ldos que formn el ángulo y recíprocmente. En un ABC, si AD es l isectriz del A interior, entonces: DB/DC=AB/AC y demás DB=c/(+c) ; DC=/(+c) TEOREMA: En todo triángulo, l isectriz de un ángulo exterior (*) divide exteriormente l ldo opuesto en segmentos proporcionles los ldos del ángulo interior dycente y recíprocmente. En un ABC, si AE es l isectriz del A exterior, con E sore l prolongción de BC, entonces EB/EC=AB/AC y demás EB=c/c; EC=/c (*) Excepto pr el ángulo exterior del ángulo opuesto l se de un triángulo isósceles. CONSTRUCCIÓN: Construir lurt proporcionl de tres segmentos ddos.

3 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS 3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejntes si sus tres ángulos son respectivmente congruentes y sus tres ldos son respectivmente proporcionles. Se denot ABC A'B'C': ABC A'B'C' A A 1. B B C C AB BC CA. k A B B C C A Los ángulos respectivmente congruentes, y los ldos respectivmente proporcionles se llmn elementos homólogos (en semejnz). El número k es l rzón de semejnz del ABC con respecto l A'B'C' y signific que l medid de un ldo del ABC es k veces l de su ldo homólogo en el A'B'C'. Ovimente dos triángulos congruentes son semejntes y su rzón de semejnz es k=1. TEOREMA: L relción de semejnz de triángulos es un relción de equivlenci: 1. Reflexiv: ABCABC.. Simétric: Si ABCA'B'C' entonces A'B'C'ABC. 3. Trnsitiv: Si ABCA'B'C' y A'B'C'A"B"C" entonces ABCA"B"C". CRITERIOS DE SEMEJANZA TEOREMA FUNDAMENTAL: Tod prlel un ldo de un triángulo ddo determin un triángulo semejnte éste. TEOREMA: ( SLAL) Si dos triángulos tienen un ángulo congruente formdo por ldos proporcionles entonces son semejntes. TEOREMA: (SAA) Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivmente congruentes entonces son semejntes. TEOREMA: (SLLL) Si dos triángulos tienen sus tres ldos respectivmente proporcionles entonces son semejntes. TEOREMA: Si dos triángulos rectángulos cumplen lgun de ls siguientes propieddes entonces son semejntes: 1. Si tienen un ángulo gudo congruente.. Si tienen los ctetos proporcionles. 3. Si tienen proporcionles ls hipotenuss y uno de sus ctetos. TEOREMA: Si dos triángulos son semejntes entonces l rzón entre dos elementos (rectilíneos) homólogos: lturs, medins, isectrices, es igul l rzón de semejnz entre los triángulos. L trnsitividd es un método muy utilizdo pr pror que dos triángulos son semejntes.

4 4 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE UNA RECTA PROYECCIÓN DE UN PUNTO: L proyección ortogonl de un punto P sore un rect L es el punto P de intersección entre l rect L y l rect perpendiculr L que ps por P; es decir P es el pie de dich perpendiculr. PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO: L proyección ortogonl de un segmento AB sore un rect L es el segmento A B formdo por los puntos proyecciones ortogonles de todos los puntos del segmento AB sore l rect L. NOTA: En delnte nos referiremos un proyección ortogonl simplemente como proyección. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA: En todo triángulo rectángulo l ltur reltiv l hipotenus determin dos triángulos rectángulos semejntes él. En un ABC rectángulo en A, sen m y n ls proyecciones de los ctetos c y sore l hipotenus y se h l ltur sore ell: CATETO MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: Cdteto es medi proporcionl entre l hipotenus y su proyección sore ell: = n ; c = m. TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA: El cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos: = + c. ALTURA MEDIA PROPORCIONAL TEOREMA: L ltur sore l hipotenus es medi proporcionl entre ls proyecciones de los ctetos sore l hipotenus: h = m n. ALTURA 4 PROPORCIONAL TEOREMA: L ltur reltiv l hipotenus es curt proporcionl entre l hipotenus y los ctetos: h = c. CONSTRUCCIÓN: Ddos dos segmentos construir su medi proporcionl. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS LEY DEL COSENO TEOREMA: En un triángulo, el cudrdo del ldo opuesto un ángulo A gudo (otuso) es igul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos, menos (más) el dole producto de uno de ellos por l proyección del otro sore él, es decir: A gudo: = + c Proy (c /) A otuso: = + c + Proy (c /) NOTA: Este teorem es un generlizción del teorem de Pitágors. TEOREMA: Ddo un triángulo ABC de ldos, y c entonces: 1. A es gudo < + c. A es recto = + c 3. A es otuso > + c

5 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS 5 CÁLCULO DE ALTURAS TEOREMA: L ltur h, reltiv l ldo, de un triángulo ABC está dd por: h p(p )(p )(p c) c donde p es el semiperímetro: p CÁLCULO DE MEDIANAS TEOREMA: L medin m, reltiv l ldo, de un triángulo ABC está dd por: m c 4 CÁLCULO DE BISECTRICES TEOREMA: Si l isectriz v =AD, del ángulo A int de un triángulo ABC determin los segmentos DB y DC sore el ldo, entonces: v c DB.DC TEOREMA: Si l isectriz w =AE, del ángulo A ext de un triángulo ABC determin los segmentos EB y EC sore el ldo y su prolongción, entonces: w EB.EC c RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA TEOREMA: En un ABC, el producto entre el diámetro r de su circunferenciircunscrit y l ltur h, es igul l producto entre los ldos y c del triángulo, es decir rh c, luego: c c r h 4 p(p )(p )(p c) donde p es el semiperímetro: CUERDAS SECANTES TEOREMA: p c Si en un punto P interior l circunferenci se cortn dos cuerds AB y A B entonces el producto entre los dos segmentos de l primer es igul l producto entre los dos segmentos de l segund, es decir PA x PB PA x PB. RECTAS SECANTES TEOREMA: Si desde un punto P exterior unircunferenci se trzn dos rects AB y A B secntes ell, (P-A-B, P -A -B ), entonces el producto entre el segmento externo de l primer y l secnte complet es igul l producto entre el segmento externo de l segund y l secnte complet, es decir PA x PB PA x PB. SECANTE Y TANGENTE TEOREMA: Si desde un punto P exterior unircunferenci se trzn un tngente PT, y un secnte PAB, entonces el segmento tngente es medi proporcionl entre l secnte complet y su segmento externo, es decir: PA x PB PT

6 6 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS POTENCIA POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA: Dd un C(O; r) y ddo un punto P en su plno, se llm Potenci p del punto P con respecto l C(O; r), l producto entre ls medids de los segmentos orientdos determindos, por él y por l circunferenci, sore culquier rect secnte ell que pse por P. TEOREMA: Dd un C(O; r ) y ddo un punto P en su plno, si d = OP, entonces l potenci p del punto P con respecto l C(O; r ) está dd por: p = d r. TEOREMA: L potenci de un punto exterior unircunferenci es el cudrdo del segmento de tngente trzdo desde él. TEOREMA: El lugr geométrico de los puntos de igul potencion respecto dos circunferencis no concéntrics es un rect perpendiculr l rect de sus centros. EJE RADICAL TEOREMA: Dds dos circunferencis no concéntrics, según su posición, el eje rdicl se otiene como sigue: 1. Exteriores: L rect que une los puntos medios de sus segmentos tngentes exteriores comunes.. Secntes: L rect secnte común 3. Tngentes: L rect tngente común. 4. Interiores: L rect perpendiculr l líne de sus centros que ps por el punto donde concurren los ejes rdicles entre cd un de ells y unircunferenci secnte ms. TEOREMA: Dds tres circunferencis, de centros no colineles, entonces sus ejes rdicles concurren en un punto. CENTRO RADICAL Dds tres circunferencis, de centros no colineles, se llm Centro Rdicl de ells l punto donde sus ejes rdicles concurren. Dds dos circunferencis no concéntrics se llm Eje Rdicl de ells l lugr geométrico de los puntos del plno que tienen igul potencion respecto ells. TEOREMA: Ls tngentes dos circunferencis no concéntrics trzds desde un punto de su eje rdicl, exterior ells, son congruentes y recíprocmente.