FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS LA HIPÉRBOLA

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO 10 TALLER Nº 8 SEMESTRE LA HIPÉRBOLA RESEÑA HISTÓRICA Apolonio de Perge (c a. C.), geómetra griego nacido en Perga (hoy Murtina en Turquía), no se sabe exactamente las fechas de su nacimiento y muerte y se calculan a partir de datos biográficos, tampoco se sabe mucho de su vida. Apolonio es conocido por su obra sobre las secciones cónicas. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes. Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Apolonio también propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como el problema de Apolonio. Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual.. OBJETIVO GENERAL Plantear la ecuación para la hipérbola y resolver problemas relacionados con la hipérbola cuyo centro está en h, k, es decir fuera del origen OBJETIVOS ESPECÍFICOS Afianzar el concepto de ecuación de la hipérbola. Determinar el centro y los elementos de la hipérbola. Practicar el paso de la ecuación general a la ecuación reducida. PALABRAS CALVES Punto en el plano, vértice de la hipérbola, foco de la hipérbola, centro de la hipérbola, ecuación de una recta, distancia entre dos puntos.

2 MARCO TEORICO DEFINICIÓN DE HIPERBOLA Sea F 1 y F dos puntos fijos en el plano. Se denomina hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F 1 y F, llamados focos, es una constante (se representa por a), es decir, F P F 1 P = a. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA 1. La recta que une los dos puntos F 1 y F (llamados focos) se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.. El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola, en este caso es el origen del sistema de referencia. 3. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola y se denotan por v 1 y v respectivamente. 4. La distancia entre cualquiera de sus vértices y el centro de la hipérbola es a. 5. La distancia entre uno de los focos y el centro de la hipérbola es c y su distancia focal es c. 6. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se le llama radios vectores del punto. 7. A diferencia de la elipse, aquí se tiene c > a (por tanto c > a) y se puede considerar b = c a. 8. El cociente e = c / a, que es un número mayor que 1, se llama excentricidad de la hipérbola.

3 Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas. Observaciones I. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (ver fig.). II. Si F P F 1 P = a se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que F 1 P F 1 P = a así se obtiene la otra rama de la hipérbola. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA HIPÉRBOLA Caso 1. Hipérbola con focos F 1 ( c, 0) y F (c, 0) ; c > 0. La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F 1 ( c, 0) y F (c, 0) viene dada por x Demostración: y a b = 1, (1) Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (ver fig.), se tiene de acuerdo a la definición que: F P F 1 P = a ó F 1 P F P = a, es decir, F P = a + F 1 P ó F P = a F 1 P, de donde se tiene que ±F P = a ± F 1 P. Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir: ± x + c + y = a ± x c + y. Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene que cx a = ±a x c + y. Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir de la siguiente manera: c a x a y = a (c a ) y recordando que c a = b se tiene que b x a y = a b y dividiendo esta ecuación por a b se obtiene finalmente corresponde a la ecuación pedida. x y = 1 a b que 3

4 Caso. Hipérbola con focos en F (0, c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F (0, c) y F(0, c) viene dada por y x = 1, b (). a La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación en: I. II. x h y k a (y k ) x h b a b = 1, (3) = 1, (4) Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente. Observaciones: i. En la siguiente figura, se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F 1 (c, 0) y F ( c, 0). Los puntos V 1 y V son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V 1 (a, 0) y V ( a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N( a, b), P( a, b) y Q(a, b). El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola. 4

5 ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje X y con respecto al eje Y. iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por: y = b x y y = b x, una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas a a de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero). factorizando se tiene x y a b x x a + y b = 1, así, en este caso particular se tiene que x a y b = 0, de donde x a + y b = 0 ó y a x a y b despejando a y se tiene y = b x ó y = b. Estas son las ecuaciones de las asíntotas a a = 0 b = 0 y EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Escribe la ecuación y dibuja la grafica de una hipérbola con centro el origen y eje principal sobre el de abscisas, si además cumple, en cada caso: a) Su distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más cercano es. b) El eje real mide 18 y la hipérbola pasa por el punto ( 15,4). c) Pasa por los puntos (4, 6) y ( 3, ). d) Pasa por el punto (, 3) y su excentricidad es 3.. Determine los focos y vértices de la hipérbolas dadas a continuación y trace su gráfica: a) x b) y 9 y 16 = 1 9 x 16 = 1 c) (x 1) 5 (y 3) 16 = 1 5

6 3. Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas, el centro C, los Focos y los vértices. Realiza un diagrama de cada una, donde se observen centro y orientación. a) C 0,0, F 0,5, A 0,3 b) C 3,, F 7,, A(5,) c) C, 5, F 0, 5, A( 1, 5) 4. Halla las ecuaciones de las asíntotas a las hipérbolas: a) 4x 8y = 1 b) 4y x = 8 5. Reconoce en cada caso el tipo de cónica y reduce la ecuación a la forma canónica. Calcula sus elementos y realiza un diagrama significativo. a) 4x + 9y 11 = 0 b) 5x 4y 50 = 0 c) y 6y = 8x 1 d) x + y = Encuentre la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, vértices V ±,0 y asíntota y = x. 7. Encuentre la ecuación de la hipérbola ilustrada en cada una de las figuras siguientes. 6