Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados

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1 Apéndice A Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados En este apéndice se detallará el cálculo de los parámetros de la recta de mejor ajuste (o de regresión) a un conjunto de puntos por el método de los mínimos cuadrados [9] [10], que se ha usado varias veces a lo largo de este proyecto. La ecuación explícita de la recta buscada tendrá la siguiente forma: y = mx + a (A.1) Lo que se necesita para determinarla son dos parámetros: la pendiente m y la ordenada en el origen a. Ambos parámetros se determinarán por el método de los mínimos cuadrados ya mencionado. En primer lugar se procederá a calcular la media de los puntos de cada coordenada por separado, empleando las siguientes ecuaciones: x = 1 N y = 1 N x i y i (A.2) (A.3) En las ecuaciones anteriores, N es el número de puntos que forman el conjunto para el cual se quiere ajustar la recta, y x i e y i son los valores de las coordenadas cartesianas (x e y) de un punto i del conjunto. 114

2 Antes de proseguir, se definirán algunas nuevas variables, útiles para el cálculo de los parámetros buscados: = (x i x) 2 (A.4) S y 2 = (y i y) 2 (A.5) = (x i x)(y i y) (A.6) La ecuación de la recta de regresión empleando el método de los mínimos cuadrados es la siguiente: Desarrollando la ecuación, se llega a que, y = (x x) + y (A.7) y = x (A.8) Comparando con la ecuación explícita de la recta vista anteriormente (A.1), es inmediato obtener la pendiente, m = (A.9) y la ordenada en el origen. a = (A.10) Con esos dos parámetros, queda perfectamente definida la ecuación de la recta de mejor ajuste al conjunto de puntos dado. Si se transforma la ecuación de la recta de la forma explícita a la forma punto-pendiente, puede verse como siempre pasará por el punto (x, y), que no es más que el centroide de la nube de puntos. y y = m(x x) (A.11) Las figuras A.1, A.2 y A.3 muestran como a partir de un conjunto de puntos, y, aplicando las ecuaciones anteriormente mencionadas, se obtienen rectas que se aproximan con mucha exactitud a dichos puntos. A. Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados 115

3 Figura A.1: Recta de regresión de un conjunto de puntos Figura A.2: Recta de regresión de un conjunto de puntos A. Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados 116

4 Figura A.3: Recta de regresión de un conjunto de puntos Sin embargo, la figura A.4 muestra cómo aplicando las mismas ecuaciones, la recta obtenida no se ajusta nada bien al conjunto de puntos dado. Esto ocurre así en conjuntos de puntos distribuidos de forma vertical que no estén perfectamente alineados, ya que su pendiente se acerca al infinito y aparecen problemas numéricos. El caso es que en realidad, existen dos rectas de mejor ajuste para un conjunto de puntos dado: una sería la recta de X sobre Y, que es la que se ha calculado ya, y la otra sería la recta de regresión de Y sobre X, que se obtendrá a continuación. La ecuación de la recta de regresión de Y sobre X viene dada por: x = (y y) + x (A.12) S y 2 Desarrollando la ecuación, se llega a que, x = S y 2 y y + x S y 2 (A.13) A. Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados 117

5 Figura A.4: Recta de regresión de un conjunto de puntos Operando para llegar a una ecuación con la misma forma que A.1, se tiene finalmente que, y = S y 2 x S y2 (A.14) La pendiente y la ordenada en el origen vendrán dadas por: m = S y 2 a = S y 2 (A.15) (A.16) Si se aplican estas últimas ecuaciones a la nube de puntos que se vio en la figura A.4, se obtiene la recta que se puede observar en la figura A.5. En este caso, claramente el resultado es mucho mejor que en el anterior, ya que la recta se ajusta con mucha exactitud a los puntos, cosa que no ocurría antes. Ahora puede surgir el problema de cuándo calcular una u otra recta. Experimentalmente se puede comprobar que para puntos que tengan una tendencia a una recta horizontal, se debe usar A. Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados 118

6 la fórmula de la recta de regresión de X sobre Y. En caso contrario, en el que los puntos se alineen de forma vertical, se debe usar la recta de regresión de Y sobre X. Figura A.5: Recta de regresión de un conjunto de puntos A. Recta de mejor ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados 119

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