ÍNDICE SISTEMÁTICO. Sumario... 5 Prólogo Unidad didáctica 1. Conjuntos Objetivos de la Unidad... 13

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1 ÍNDICE SISTEMÁTICO PÁGINA Sumario... 5 Prólogo... 7 Unidad didáctica 1. Conjuntos Objetivos de la Unidad Introducción Definiciones Conjunto Conjuntos bien definidos: comprensión y extensión Elementos: pertenencia Referencial, conjunto vacío Ø, unitario y pares Igualdad de conjuntos Subconjuntos Definición Conjuntos anidados Partes de un conjunto y conjunto de las partes Partición de un conjunto Propiedades de la inclusión Diagramas de Venn

2 MATEMÁTICA DISCRETA 5. Operaciones con conjuntos Implicaciones y equivalencias. Cuantificadores Implicaciones y equivalencias Cuantificadores Leyes de operaciones con conjuntos. Álgebra de conjuntos Principio de inclusión-exclusión Conjunto producto Axiomática de Zermelo-Fraenkel para teoría de conjuntos Fundamentación de la matemática a partir del conjunto vacío: definición de números naturales por Von Neumann Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 2. Relaciones, aplicaciones y funciones (RAF) Objetivos de la Unidad Introducción Relaciones Definición Tipos de relaciones Relaciones unarias o monarias Binarias N-arias Dominio, recorrido y campo de una relación Operaciones entre relaciones: restricción; conversa o inversa; producto relativo Representación de relaciones Propiedades de las relaciones Composición de relaciones Relación de equivalencia Relaciones de orden: mayorantes, minorantes. Límites. Cardinales y ordinales Aplicaciones Definición Restricción de una aplicación Grafo de una aplicación Tipos de aplicaciones Composición de aplicaciones

3 J. J. Moreno y J. Pazos Índice sistemático 4. Funciones Generalidades Descripción de conjuntos Ejemplo del uso de funciones: el calendario universal Funciones de dispersión: funciones «Hash» Morfismos Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 3. Combinatoria Objetivos de la Unidad Introducción Principios básicos de conteo Principio de Dirichlet ( ) o «principio del palomar» o, aun, «principio de las sillas» Principios de cardinalidad Variaciones Formación y número de variaciones simples Determinación de la variación que ocupa un lugar determinado Recíproco Con repetición El problema de Ramsey Permutaciones Formación ordenada de las permutaciones Determinación de la permutación que ocupa un lugar determinado Con repetición Desórdenes Combinaciones Formación de las combinaciones Determinación de la combinación que ocupa un lugar determinado Combinaciones con repetición Números combinatorios «Principio de la criba» o de «inclusión-exclusión» Definiciones y ejemplos Combinaciones con repetición limitada Cuadro-resumen

4 MATEMÁTICA DISCRETA Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 4. Inducción Objetivos de la Unidad Introducción La axiomática de Peano y la inducción matemática Axiomática de Peano Inducción matemática Inducción matemática o completa Definición formal Ejemplos de inducción matemática Generalización de la inducción Inducciones estructurales Inducciones mutuas Sumas y construcciones relacionadas Definiciones Identidades que implican sumas Sumas dobles y matrices Recursividad Demostraciones por recursividad Definiciones recursivas Sucesiones descendentes El principio de demostración por recursividad Relaciones de recurrencia Introducción Tipos de relaciones de recurrencia Relaciones de recurrencia homogéneas Ecuaciones de recurrencia no homogéneas Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 5. Aritmética modular Objetivos de la Unidad

5 J. J. Moreno y J. Pazos Índice sistemático 1. Estructuras algebraicas básicas Semigrupos y monoides Grupo Isomorfismo entre grupos Grupos finitos Anillo Aritmética entera Definición Axioma de buena ordenación Divisibilidad Teorema de la división entera Sistemas de numeración Representación de números enteros en el computador Algoritmo de Euclides Definición El algoritmo Teoremas de Lamé y Bézout y lema de Euclides Teorema de Lamé ( ) Teorema de Bézout Lema de Euclides Criterios de divisibilidad: pruebas del 9 y del Criterios de divisibilidad Pruebas del 9 y del Congruencias enteras La calculadora de reloj Definición Aplicaciones de las congruencias Ecuaciones diofánticas Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 6. Teoría de números Objetivos de la Unidad Reseña histórica

6 MATEMÁTICA DISCRETA 2. Cardinalidad y ordinalidad Bases y sistemas de numeración Bases de numeración: criterios formales y materiales de adecuación Principio del valor relativo Principio de Haenkel Teorema fundamental Cálculos en cualquier base Criterios formales de adecuación Criterios materiales de adecuación Sistema binario Ventajas e inconvenientes del sistema binario Inconvenientes Ventajas Tipos de números Números con «apellido» Números figurados: números poligonales Números primos y primos Mersenne Introducción Teorema fundamental de la aritmética Teorema fundamental Existen infinitos números primos Primos Mersenne Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 7. Ampliación de teoría de números Introducción Más sobre los números primos La criba de Eratóstenes Ampliación de aritmética modular El conjunto cociente Z m Sistemas de congruencias lineales Aritmética en Z m La función de Euler El teorema «pequeño» de Fermat Más propiedades de la función ϕ(n)

7 J. J. Moreno y J. Pazos Índice sistemático 3.7. El teorema de Wilson Demostración Algunos problemas abiertos Cifrado Tipos de criptografía Cifrado de Julio César Cifrado de Julio César: formulación matemática Cifrado de Julio César generalizado Cifrado de Julio César mejorado Cifrado con clave de un único uso Procedimiento Cifrado usando el teorema pequeño de Fermat Ventajas e inconvenientes del cifrado usando el teorema pequeño de Fermat Cifrado RSA Metodología Por qué funciona esta codificación? Seguridad del cifrado RSA de clave pública RSA en el mundo real Una historieta sobre RSA Otros sistemas Apéndice: lista de los primeros 1000 primos Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 8. Grafos Objetivos de la Unidad Definición de «grafo» Clasificación de grafos: orientados y no orientados Representación de grafos orientados Diagramática Matemática o computacional Matriz asociada a un grafo Reflexividad, simetría y transitividad en grafos Grafo y cierre reflexivo Grafos simétricos y antisimétricos Grafo y cierre transitivo

8 MATEMÁTICA DISCRETA 5. Equivalencia asociada a un grafo Equivalencia Tipos de grafos Simple, parcial y subgrafo Grafo completo Cortes, cociclo y cocircuito de un grafo Definiciones Grafo sin circuitos: test de verificación de la existencia y localización de circuitos Conexidad: simple y fuerte Grafo reducido, orientación en grafos. Conexidad casi y semi-fuerte Operaciones con grafos Morfismos en grafos Isomorfismo Homomorfismo Grafos homeomorfos Árboles Definición Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas Unidad didáctica 9. Ampliación de teoría de grafos Introducción Árboles recubridores Procedimiento para hacer crecer un árbol Algoritmo de Prim Kruskal Coloraciones Algoritmo voraz para colorear un grafo Algunos resultados Grafos planos Grafos planares y grafos duales El teorema de los cuatro colores

9 J. J. Moreno y J. Pazos Índice sistemático 5. Caminos mínimos Dijkstra Eulerianos y hamiltonianos Algoritmo de Fleury Grafos hamiltonianos Problema del viajante Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 10. Teoría de lenguajes, gramáticas y autómatas. 369 Objetivos de la Unidad Introducción Lenguajes Definiciones básicas Operaciones con palabras Operaciones con lenguajes Otras definiciones Gramáticas formales Introducción Definiciones Tipos de gramáticas Árboles de derivación Ambigüedad Recursividad Autómatas y lenguajes Introducción Autómatas finitos Máquinas secuenciales Generalidades Tipos de máquinas secuenciales Representación de máquinas secuenciales Equivalencia y minimización de máquinas secuenciales Máquina Turing Conceptos básicos a retener Ejercicios voluntarios Referencias bibliográficas

10 032015