ESTADÍSTICA I. A continuación se presentan los Modelos Probabilísticos Continuos más importantes.

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1 1 ESTADÍSTICA I Capítulo 6: MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS. Contenido: Distribución Uniforme Continua. Distribución Triangular. Distribución Normal. Distribuciones Gamma, Exponencial, Erlang y Chi Cuadrado. Distribución Beta. Distribución Weibull. Distribución Trapezoidal. Distribuciones LogNormal, de Cauchy y Laplace. Se entienden como Modelos Probabilísticos Continuos a aquellas variables aleatorias que por su uso común en muchas aplicaciones han adquirido un nombre propio en la literatura de las Probabilidades. A continuación se presentan los Modelos Probabilísticos Continuos más importantes. 1) DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA. X es una variable aleatoria uniforme si la probabilidad de un evento de tamaño dado es independiente de la ubicación del mismo dentro del dominio. ~,, 1 ; 0; El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente F X (x) E(X) V(X) m X (t) 0; ; ; Las gráficas de las funciones de densidad y de distribución se muestran a continuación. 1/(b a) f X (x) a b X F X (x)

2 2 1 F X (x) a b X Nótese que para un intervalo (c, d) totalmente contenido en (a, b) se tiene que De allí que para una variable uniformemente distribuida se puede escribir que: La probabilidad de un intervalo de ancho constante es proporcional al ancho del intervalo e independiente de su ubicación dentro del dominio. Intervalos de igual ancho son equiprobables. Por otro lado, también se puede demostrar que En particular, ~, 0 ~, ~, 0 ~0,1 La variable Uniforme en el intervalo (0, 1) es la base del modelaje de fenómenos aleatorios en el computador. Ejemplo 6.1) Se escoge al azar un número real en el intervalo (0, 1). Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea por lo menos 0,3? Sea X la variable que se define como la escogencia al azar de un número en el intervalo (0, 1). La escogencia al azar implica que todos los elementos son igualmente probables por lo que estamos hablando de que X es uniforme continua en (0, 1). Si el número escogido debe ser mayor que 0,3 entonces está en el intervalo (0,3, 1), por tanto, 0,3 10,3 1 0,7

3 3 Ejemplo 6.2) Una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo (0, b), donde b es un número real positivo. Si se sabe que 2 Ya que X es uniforme, entonces,, determinar el valor de b Ejemplo 6.3) Un aparato está formado por dos componentes instaladas en paralelo. La vida de cada componente es independiente de la vida de la otra y ambas tienen una distribución uniforme con media de 1,5 años. Se sabe que el 25% de dichas componentes dura más de 2 años. Los parámetros, a y b, de la distribución uniforme de la variable V, vida útil de un componente, se desconocen y se deben calcular primero: 2 1, ,25 2 0,25. 2 Con las ecuaciones 1 y 2 se tiene que a = 0,5 y b = 2,5 (ambas cantidades en años) A) Cuál es la probabilidad de que el aparato dure más de 15 meses? Sea X la vida útil (en años) del aparato, entonces En consecuencia, ,25 1, ,25 1,25 1,25 1,25 2,5 1,25 1,25 1,25 0,625 2,5 0, ,625 0,625 0,8594

4 4 2) DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR. Esta distribución debe su nombre a la forma de su función de densidad de probabilidades. Se usa, al igual que la uniforme, en aquellas aplicaciones donde el intervalo de definición de la variable es finito; pero difiere de aquel modelo en que las probabilidades de eventos de igual ancho no son constantes. 2 ; ~,,,, 2 ; 0; Observe que los parámetros de una Triangular coinciden con el valor mínimo, moda y máximo, respectivamente. El lector debe verificar los datos en las tablas siguientes F X (x) 0; ; 1 ; 1; E(X) 3 V(X) 18 m X (t) 2 Las gráficas de las funciones de densidad y de distribución se muestran a continuación. f X (x) 2/(c a) a b c X

5 5 a = 1; b=3; c=6 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Nótese que para un intervalo (a, c) dado, la altura de TODOS los triángulos con a < b < c es SIEMPRE la misma. Por supuesto, el área de todos esos triángulos siempre es 1. Un caso muy particular y de mucha aplicación es cuando el valor de b es el punto medio entre a y c. En este caso se dice que la triangular es SIMÉTRICA. Para la Triangular Simétrica se tiene que Por otro lado, también se puede demostrar que ~, ~, 2, ; 2 24 ~,, 0 ~,, ~,, 0 Ejemplo 6.4) La duración D de una actividad en una fábrica es una variable aleatoria con distribución triangular con parámetros (1, 3, 8). Calcular la probabilidad de que la actividad dure más que su valor esperado

6 6 f D (d) 2/7 8/ D La probabilidad que se solicita es el área rayada del dibujo. Aprovechando las características geométricas de las figuras se tiene Ejemplo 6.5) Considere una variable distribuida en forma triangular en el intervalo (0, 10) y con moda igual a 5. Calcular la probabilidad de que la variable esté en el intervalo (7, 9). Calcular, además, la probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo de ancho dos desviaciones estándar alrededor de su valor esperado. Nótese que la variable bajo consideración es simétrica en el intervalo (0, 10). La primera probabilidad solicitada es ,16 Para el cálculo de la segunda probabilidad es necesario conocer el valor esperado y la desviación estándar, por tanto 2 5; La segunda probabilidad solicitada es , , , , , ,966

7 7 3) DISTRIBUCIÓN NORMAL. X es una variable aleatoria normal si la probabilidad de un evento de tamaño dado es igual para aquellos eventos que guarden ciertas simetrías respecto al centro de la variable. ~,, El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente 1 2, F X (x) E(X) V(X) m X (t) Nótese muy especialmente que la integral que define a la función de distribución normal NO TIENE PRIMITIVA y por consiguiente esta función solo puede ser expresada de esta forma integral. Las gráficas de las funciones de densidad y de distribución para el caso μ = 0 y σ = 1, se muestran a continuación. Densidad y Distribución Normal Estándar fx Fx 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Nótese de las gráficas anteriores que la función de densidad es simétrica respecto al valor de μ (en este caso, tiene simetría par). Por otro lado, también se puede demostrar que ~, ~, En particular, ~0,1

8 8 La variable Normal con parámetros (0, 1) se conoce como NORMAL ESTÁNDAR y para ella se ha destinado la letra Z en forma exclusiva. Es decir, de ahora en adelante cuando nos refiramos a una variable Z, estaremos hablando de la normal estándar. Para una normal estándar se pueden verificar los datos de la tabla siguiente. Nótese que a la función de distribución de la normal estándar se le denotará de ahora en adelante con la letra Φ. F Z (z) E(Z) V(Z) m Z (t) Por otro lado, los momentos de una normal estándar vienen dados por 0; ; La dificultad presentada previamente respecto a que la función de distribución de una normal solo se puede expresar en forma integral crea un inconveniente a la hora de calcular probabilidades de eventos definidos en términos de una variable normal. Para ello se considera la siguiente ecuación de estandarización que logra expresar una normal con parámetros cualesquiera en términos de una normal estándar. ~, ~0,1 De esta manera, para calcular áreas bajo una normal con parámetros cualesquiera solo se debe conocer el área equivalente bajo la normal estándar. Como ejemplo, para conocer el área a la izquierda de un valor x (valor de la función de distribución para ese x) se procede de esta manera: Φ Entonces el problema se reduce a calcular áreas bajo la normal estándar. Para ello se resuelve la integral en forma aproximada por métodos numéricos y tabulando los resultados. Estas tablas se consiguen en todos los textos de probabilidades. A la hora de calcular áreas parciales entre dos puntos cualesquiera se pueden aprovechar las características de simetría par que tiene la curva de densidad de una normal estándar. En la curva siguiente se destacan las áreas denominadas A, B, C y D. Entre estas áreas existen las siguientes relaciones: i. A + B + C + D = 1 ii. A = D iii. B = C iv. A + B = C + D v. A + D = 1 2C

9 Apuntes de Estadística I. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo De igual manera, el cálculo de percentiles para una normal con parámetros cualesquiera se realiza con los mismos percentiles en la normal estándar y la fórmula de estandarización. Sea X α el percentil 100α de una normal con parámetros (μ, σ 2 ) y sea Z α el percentil 100α de la normal estándar, entonces Ejemplo 6.6) Calcule la probabilidad de que la normal estándar tome valores en el intervalo ( 2, 2). De una tabla de áreas bajo la normal estándar se tiene que Φ2 0,97725, entonces 2 2 2Φ21 0,9545 Ejemplo 6.7) Sea X una normal con parámetros (1, 1). Calcule la probabilidad de que X tome valores en el intervalo ( 2, 2) Φ1Φ3 Φ11Φ3 De una tabla de áreas bajo la normal estándar se tiene que Φ1 0,84134 Φ3 0,99865, entonces 2 2 0, , ,83999

10 10 Ejemplo 6.8) La altura de los estudiantes de una universidad sigue una distribución normal con valor esperado de 175 cm y desviación estándar de 10 cm. Calcule la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (μ σ, μ + σ). 1 1 Φ1 Φ1 2Φ1 1 De una tabla de áreas bajo la normal estándar se tiene que Φ1 0,84134, entonces 2 0, ,68268

11 11 3) DISTRIBUCIONES GAMMA, EXPONENCIAL, ERLANG Y CHI CUADRADO. X es una variable aleatoria Gamma con parámetros α y r, ambos reales positivos, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,, ; 0 Γ 0; Donde la función Γ(r) es la función gamma, definida como Γ ; 0 La función gamma tiene una serie de propiedades interesantes que se deben conocer a la hora de realizar operaciones que involucren esta función. Estas propiedades son (en todas ellas r > 0) i) Γ1 1 ii) Γ 1 Γ iii) Si r es un entero n, entonces, Γ 1! iv) Γ v) Sea α > 0, entonces, vi) Si r es un entero positivo, entonces vii) Sea α > 0, entonces, Γ Γ Γ viii) Sea α > 0 y r es un entero positivo, entonces, Γ!

12 12 El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente F X (x) (en caso de que r sea entero) E(X) V(X) m X (t) E(X k ) 1 ; 0! 0; Γ Γ Gráficas de la función de densidad para distintos valores de los parámetros se muestran a continuación. Por otro lado, se puede demostrar que ~, ~, En particular, ~1, á~ Si se evalúan los parámetros en algunos valores particulares se consiguen unas funciones de densidad que por su uso común en la literatura se les conoce con un nombre propio. La tabla siguiente nos resume esos modelos Gamma particulares que, en definitiva, nos llevan a decir que la Gamma no es un modelo probabilístico sino toda una familia de variables aleatorias.

13 Apuntes de Estadística I. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo Nombre de la Variable Gamma General Gamma Estándar Exponencial Chi Cuadrado con n grados de libertad Erlang Función de densidad de probabilidades (x 0) Γ 2 Γ 2Γ 2 n 1! Parámetros α, r α = 1, r α, r = 1 α = 1/2, r = n/2, n entero positivo α, r = n, n es entero positivo Valor esperado r 1 n Varianza r 1 2 Funciónn Generatriz de Momentos A continuación se presentan gráficas de las variables Gamma Estándar, Exponencial, Chi Cuadrado y Erlang, respectivamente.

14 14 Los teoremas siguientes nos permiten entender cómo se relacionan entre sí algunos de los miembros de la familia de las Gamma. Es interesante que el lector verifique la veracidad de cada uno de estos teoremas. (En realidad, la verificación de estos teoremas se puede realizar después que se conozcan los conceptos de dos variables aleatorias y de independencia de variables aleatorias) Sean X 1, X 2,, X n, n variables aleatorias independientes y con distribuciones Gamma con parámetro α igual y parámetro r = r i, i = 1,,n, distinto, es decir, ~,, 1,2,,. Sea S la suma de estas variables, entonces, ~, Sean X 1, X 2,, X n, n variables aleatorias independientes y con distribuciones Exponenciales con parámetro α igual, es decir, ~, 1,2,,. Sea S la suma de estas variables, entonces, ~, Sea X una variable aleatoria Gamma con parámetros (α, r) tal que k = 2r sea un número entero. Sea Y = 2αX, entonces, 2~ 2 Ejemplo 6.9) Sea ~,3. Obtener de tres formas distintas P{X 2,5}. La primera forma es calculando el área bajo la función de densidad. Para ello hay que conocer la función de densidad, Entonces, Γ 4 27, 2, ,234 La segunda forma sería a partir de la expresión de la función de distribución acumulativa aprovechando que r es un entero,

15 15 1! 1 2 3! Entonces, 2,5 2, ! La tercera forma, involucra la definición de la Chi Cuadrado, , ~ 2,5 10 0,234 3 Este último valor debemos buscarlo en una tabla de áreas bajo la curva Chi Cuadrado con 6 grados de libertad. Ejemplo 6.10) Sea X una exponencial con parámetro λ. Calcular la probabilidad de que X tome un valor mayor que su media. Si X es una exponencial con parámetro λ. su función de densidad y su valor esperado serán, 1 Entonces, 1 0,36788 Ejemplo 6.11) Sea X una exponencial con parámetro λ. Calcular. Si X es una exponencial con parámetro λ. su función de densidad será, Entonces, ; 0 1 1

16 16 Pero, 1 ; 0 0; Entonces, 1 1 Esta última expresión se conoce como Propiedad de pérdida de memoria de la variable Exponencial RELACIÓN ENTRE LA VARIABLE GAMMA Y LA VARIABLE POISSON A partir de la definición de una variable Poisson (Variable Discreta) hay que recordar que es un proceso de conteo de eventos que ocurren durante un intervalo de observación de duración Τ. Ese Proceso de conteo se conoce en la literatura como Proceso Poisson. El número de eventos, X, que ocurre durante ese intervalo se conoce como una variable aleatoria Poisson con parámetros λ y Τ mientras que su función de masa de probabilidades viene dada por ; 0! Considere ahora los instantes en los cuales ocurren estos eventos. Sean t 1, t 2, t k, los instantes en los que ocurren los k eventos en el intervalo de ancho Τ. Considere además, las diferencias de tiempo entre dos ocurrencias consecutivas como τ 1, τ 2, τ k, tal que ; 0 La gráfica siguiente muestra la relación planteada Ejemplo para k = 4 τ 3 τ 1 τ 2 τ 4 t 1 t 2 t 3 t 4 Τ

17 17 Nótese que ya que el número de eventos que ocurre es aleatorio también lo son los instantes t i y los intervalos τ i. Esto lleva a definir las variables aleatorias T 1, T 2, T k, instantes en que ocurre el evento k y las variables τ 1, τ 2, τ k, tiempo entre dos ocurrencias consecutivas. Considere un instante de tiempo t, tal que 0 < t t 1, entonces puede notarse que hasta ese instante NO HA OCURRIDO ningún evento, por tanto X = 0. También podría decirse que el primer evento ocurrirá después de ese instante t. Nótese particularmente que. Por tanto, serán eventos equivalentes los siguientes 0 0 Es decir, la función de distribución acumulativa del instante en que ocurre el primer evento será 1 ~ Considere ahora un instante de tiempo t, tal que 0 < t t 2, entonces puede notarse que hasta ese instante HA OCURRIDO A LO SUMO un evento, por tanto X 1. También podría decirse que el segundo evento ocurrirá después de ese instante t. Por tanto, serán eventos equivalentes los siguientes 1 1 Es decir, la función de distribución acumulativa del instante en que ocurre el segundo evento será 1 ~, 2 Siguiendo este razonamiento inductivo se puede concluir El tiempo entre dos ocurrencias consecutivas en un Proceso Poisson con parámetro λ se distribuye en forma Exponencial con parámetro λ. El tiempo entre dos ocurrencias no consecutivas, digamos entre la ocurrencia j y la ocurrencia (j + k), en un Proceso Poisson con parámetro λ se distribuye en forma Erlang con parámetros λ y k. Nótese que no depende de j.

18 18 Ejemplo 6.12) Los clientes de un banco llegan al mismo según un Proceso Poisson con parámetro λ = 5 clientes por minuto. El banco habilita una taquilla especial para atender a los clientes que solo van a depositar. De experiencias anteriores se sabe que la probabilidad de que un cliente solo haga depósitos bancarios es de 0,2. Calcular a) la probabilidad de que entre el primer cliente que llega y el tercero hayan transcurrido más de 50 segundos; b) la probabilidad de que entre un cliente cualquiera que llega a la taquilla especial y el tercero después de él a la misma taquilla hayan transcurrido a lo sumo dos minutos; c) el tiempo esperado entre la llegada del cuarto y el noveno cliente. Parte a) Sea T 2 el tiempo entre el primer y tercer cliente en llegar al banco, entonces, ~5,2 por tanto, ,08 Parte b) En este caso, hay que considerar la tasa de llegada a la taquilla especial. λ T = 0,2λ = 1. La probabilidad solicitada está relacionada con la variable ~1,3, por tanto, ,323 Parte c) Sea T 9 4=5 el tiempo entre el cuarto y el noveno cliente en llegar al banco, entonces, ~5,5 por tanto, 1 Ejemplo 6.13) El número de hombres que llega a una peluquería unisex en un intervalo de 10 minutos es una variable Poisson con valor medio igual a 2. El número de mujeres que llega a esa peluquería pero en un intervalo de 15 minutos es una variable Poisson con valor medio igual a 4. Calcular a) el tiempo esperado para que lleguen i) 2 hombres, ii) 3 mujeres, iii) 4 clientes; b) la probabilidad de que entre la llegada consecutiva de dos hombres hayan transcurrido más de 20 minutos; c) la probabilidad de que la tercera mujer llegue en menos de un cuarto de hora; d) la probabilidad de que entre la llegada de un cliente y el cuarto cliente pase menos de media hora. Parte a) La tasa del Proceso Poisson de llegada de los hombres es igual a ,2 10 La tasa del Proceso Poisson de llegada de las mujeres es igual a

19 19 La tasa del Proceso Poisson de llegada de clientes es igual a Sea H 2 el tiempo hasta la llegada del segundo hombre, entonces, ~,2 por tanto,, 10 Sea M 3 el tiempo hasta la llegada de la tercera mujer, entonces, ~,3 por tanto, 11,25 Sea C 4 el tiempo hasta la llegada del tercer cliente, entonces, ~,4 por tanto, 8,57 Parte b) La probabilidad solicitada está relacionada con la variable ~,1, por tanto, 20 0,135 Parte c) La probabilidad solicitada está relacionada con la variable ~,3, por tanto, ,7985 Parte d) La probabilidad solicitada está relacionada con la variable ~,4, por tanto, ,9995

20 20 4) DISTRIBUCIÓN BETA. X es una variable aleatoria Beta con parámetros α, β, a y b, todos reales positivos y a < b, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma. ~,,, ;,, ;, 0; Donde la función B(α, β) es la función beta, definida como B, 1 ΓΓ Γ Es interesante definir el caso particular en el cual a = 0 y b = 1. En este caso, se hablará de la Beta Estándar, es decir, 1 ~, ; ; 01, 0; Definitivamente, entre la variable Beta y la variable Beta Estándar existe una relación dada por ~,,, ~, El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente Tipo de Distribución E(X) V(X) E(X n ), n entero positivo Beta de cuatro parámetros, es Γ Γ decir, ΓΓ,,, 1 Beta de dos parámetros, es decir,, 1 Γ Γ ΓΓ

21 21 A continuación se muestran gráficas de la función de densidad Beta Estándar para distintos valores de α y β. Ejemplo 6.14) Se aplica un esfuerzo a una barra de acero de 20 pulgadas de longitud que está sujeta en una posición fija en ambos extremos. Sea Y la distancia desde el extremo izquierdo en el que se rompe la barra. Suponga que la variable X = Y/20 tiene una distribución Beta Estándar tal que, E(Y) = 10 y V(Y) = 100/7. Calcular a) P{8 Y 12}; b) la probabilidad de que la barra se rompa a más de dos pulgadas de donde se espera que se rompa. Para obtener los parámetros α y β de la beta estándar se tiene que Del sistema de ecuaciones planteado se deduce que 3 Parte a) La probabilidad solicitada será ,4 0,6 1 3,3,,

22 22, ,365 Parte b) La probabilidad solicitada es P{Y E(Y) + 2}., ,6 1 3,3, ,31744, Ejemplo 6.15) En el diseño de una red PERT se tiene una actividad cuyos tiempos de ejecución más pesimista, más probable y más optimista son 8 días, 5,5 días y 4 días, respectivamente. Calcular a) la media y la desviación estándar del tiempo de ejecución de dicha actividad; b) la probabilidad de que la actividad tenga una duración entre 5 y 7 días. Es muy común modelar el tiempo de duración de una actividad, confinada en el tiempo, como una variable Beta de cuatro parámetros. Una de esas aplicaciones es en el modelaje de una red PERT. En estas circunstancias, los parámetros a y b coinciden con los valores optimista y pesimista, respectivamente, tal que, en este caso, a = 4 y b = 8. Para obtener los parámetros α y β se considera el valor más probable como la moda de la distribución, (m = 5,5) pero este dato solo proporciona una ecuación manteniendo dos incógnitas. A partir de la función de densidad la moda m e (en el caso de la beta estándar) se calcula como sigue (recuerde que m = m e (b a) + a) ,54 4 5, , ; 1 Una segunda ecuación se obtiene al considerar que prácticamente el 100% del área bajo la beta está en un intervalo de ± 3σ alrededor del valor esperado, es decir, A partir de estas ecuaciones se consigue ;

23 23 Parte a) Por tanto, , Parte b) La probabilidad solicitada es P{5 Y 7}. 5,67 36 Con los valores de E(Y) y V(Y) conseguidos en la parte a) se tiene que , Por tanto, , , Ю Ю 5) DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL. X es una variable aleatoria Weibull con parámetros α y β, ambos reales positivos, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,, ; 0 0; El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente F X (x) E(X) V(X) E(X K ) 1 ; 0 0; Γ Γ 1 2 Γ1 1 Γ 1 A continuación se muestran gráficas de la función de densidad Weibull para distintos valores de α y β. Nótese que en el caso particular de β = 1, la variable Weibull es una exponencial con parámetro α.

24 24 Para el caso en el cual β = 2 y, la variable Weibull es una variable Rayleigh con parámetro a. Ejemplo 6.16) El tiempo (en años) hasta la falla de un equipo electrónico tiene una distribución de Weibull con parámetros α = 25 y β = 2. Calcular a) la media y la desviación estándar del tiempo de falla; b) la probabilidad de que el equipo tenga que ser reemplazado antes de lo esperado. Sea X ~ W(25, 2) entonces Γ Parte a) Por tanto, Γ Γ 1 2 Γ1 1 Γ Parte b) La probabilidad solicitada es P{ X < E(X)}. Γ 1 2 Γ , Γ2 Γ , ,544

25 25 7) DISTRIBUCIÓN TRAPEZOIDAL. X es una variable aleatoria Trapezoidal con parámetros reales a, b, c y d, tales que a < b < c < d, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,,,, 2 ; 2 ; 2 ; 0; El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente (se deja propuesto el cálculo de V(X)) F X (x) 0; ; 2 ; 1 ; 1; E(X) 3 A continuación se muestran gráficas de la función de densidad y de distribución Trapezoidal. 2/(d+c a b) f X (x) 1 F X (x) X a b c d X

26 26 8) DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL. X es una variable aleatoria LogNormal con parámetros μ y σ 2, ambos reales y σ 2 > 0, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,, ; 0 0; Es interesante destacar la relación que existe entre una Normal y una LogNormal. ~,, ln ~, El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente. Nótese que la función de distribución solo puede ser expresada como una integral en vista de que el integrando en cuestión no tiene primitiva. 1 2 F X (x) (x 0) E(X) V(X) 1 A continuación se muestran gráficas de la función de densidad LogNormal para distintos valores de μ y σ. A la izquierda se tiene μ = 0 y σ 2 variable mientras que a la derecha se tiene σ 2 = 1 y μ variable. En vista de la relación entre la LogNormal y la Normal se pueden relacionar sus funciones de distribución y en particular la función de distribución LogNormal en términos de la función de distribución normal Estándar. Esto permitirá el cálculo de probabilidades asociadas a la LogNormal.

27 27 ~,, ln ln ~0,1 σ Φ σ En particular, ln σ ln Φ ln Φ ln σ σ σ Ejemplo 6.17) Para una LogNormal calcule la probabilidad de que tome valores mayores a e μ. Sea X ~ LOG(μ, σ 2 ) entonces la probabilidad solicitada es P{X > e μ }. ln 0 Φ0 1 σ 2 Ejemplo 6.18) Sea X una variable LogNormal, X ~ LOG(5, 0,01). Calcule a) el valor esperado, b) la varianza y c) la probabilidad de que tome valores en el intervalo (100, 175). Parte a) El valor esperado será,,, 149,157 Parte b) La varianza y la desviación estándar serán 1, 14,953 Parte c) La probabilidad solicitada es P{100 < X < 175}. ln ,1,, 1 223,5945 ln ,1 Φ1,6479 Φ3,9483 0,9505

28 28 9) DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY. X es una variable aleatoria Cauchy con parámetros α y β, ambos reales y β > 0, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,, 0 La función de distribución de Cauchy viene dada por El lector debe verificar el resultado anterior. Por otro lado, es interesante observar que al pretender calcular E(X K ), para K = 1, 2,, la integral impropia NO CONVERGE lo que implica que no se dispone de valor esperado, ni de varianza ni de otros momentos para esta variable. 10) DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE. X es una variable aleatoria Laplace con parámetros μ y λ, ambos reales y λ > 0, si su función de densidad de probabilidades tiene la forma ~,, El lector debe verificar los datos en la tabla siguiente. F X (x) E(X) V(X) m X (t) 1 2 ; ; 2 1 ; 1