2.1 Descripción en espacio de estado de sistemas dinámicos

Transcripción

1 2 Análisis de sistemas lineales 2.1 Descripción en espacio de estado de sistemas dinámicos El objetivo de este capítulo es formular una teoría general de describir los sistemas dinámicos en funcion de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Un sistema dinámico puede ser representado de diversas maneras. Entre ellas están el diagrama de bloques, la función de transferencia y la representación por medio de ecuaciones diferenciales de orden superior Control clásico vs. control moderno A lo largo de la historia, el área de control automático se divide en dos corrientes principales de conceptos teóricos. Cada una de ellas tiene sus fundamentos teóricos muy particulares los cuales son independientes y no tienen relación alguna. Sin embargo, en general ambas están relacionadas entre sí y la mayoría de sus conceptos se transmiten por medio de elementos de análisis matemático. En control clásico, la representación específica que fué utilizada para describir un sistema dinámico eran las funciones de transferencia. Estos bloques tienen la característica principal que se manejan en el dominio de Laplace, lo cual facilita la operación entre sus términos. El área de control moderno toma su nombre ya que es una forma de describir y analizar los sistemas dinámicos más reciente Representación interna vs. representación externa Un sistema dinámico tiene varias formas de representación. Desde el punto de vista de análisis, estas se pueden dividir en dos tipos principales como se describe a continuación: La representación externa de un sistema dinámico está dada por la función de transferencia. Esta ofrece solamente una relación entre las variables de entrada y de salida del sistema sin disponer de sus variables internas las cuales representan el comportamiento del mismo sistema o proceso y son importantes de considerar en el análisis de cualquier sistema dinámico. Por otra parte, una representación interna del sistema dinámico se puede establecer por medio de la representación en el espacio de estado Modelo de un sistema dinámico El modelo del sistema dinámico representa una aproximación de un proceso real o de alguna máquina o mecanismo. Normalmente, su representación es mediante un modelo finito que describe la dinámica del sistema y se desea tratar de controlar su funcionamiento. El modelo se expresa por una ecuación diferencial la cual representa las variables del sistema su orden depende de que tantas variables o detalle se tomen en cuenta. Esta ecuación diferencial se puede escribir como (2.1)

2 Comenzando con la representación mas generalizada del modelo de un sistema dinámico Planta es Modelo de un sistema dinámico Existen diversas maneras de representar el modelo de un sistema dinámico. Por ejemplo, se puede representar de manera general como cualquiera de las siguientes formas: Bloque de relación entrada salida. diagrama de bloques función de transferencia ecuaciones diferenciales de orden n Entradas, salidas y variables En general, se tienen varias formas de representar un sistema dinámico de n variables y 1 entrada: 1. Forma de una función de transferencia y(t) u(t) C(s) R(s) = f(x,t) (2.2) = G(s) (2.3) 2. Forma de ecuación diferencial que representa el modelo del sistema dinámico. d n x(t) dt n + dn 1 x(t) dt n dx(t) dt + x(t) = u(t) (2.4) Las formas están relacionadas entre si. Pero, la solución de algunos problemas de control no es posible obtenerla usando métodos de control clásicos. Suponga que el modelo de un sistema dinámico de dimensión n está representado por una ecuación diferencial ordinaria de la siguiente manera d n x = f(x,u,t) (2.5) dtn Cada una de estas derivadas o diferenciaciones con respecto al tiempo es una variable ecuación diferencial de orden n Concepto de variable de estado Sabemos que las variables asociadas a este sistema dinámico están dada por la variable y cada una de sus derivadas con respecto al tiempo. Por lo tanto, si asumimos que esto es lo que define nuestras variables, tendremos n + 1 variables para el sistema dinámico de dimensión n que tenemos ahí representado. ecuación diferencial de orden n ahora está expresada como n ecuaciones diferenciales de primer orden 4

3 Adicionalmente a las tres formas de representación de un sistema dinámico que enumeramos anteriormente, también hay una llamada la forma de ecuación de estado, que se representa de la siguiente manera dx dt = Ax(t) + Bu(t), x Rn, u R 1 (2.6) donde cada una de las variables asociadas con el modelo se expresa dentro de un vector x. Las ecuaciones que se forman a partir de este vector, se asocian o estan acopladas de tal forma que forman un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Entonces la pregunta es cómo es posible expresar (2.4) de la forma de (2.6)? Para representar un modelo del sistema dinámico mediante la última forma, se requiere utilizar una notación vectorial. Pero qué es un vector? 2.2 Representación de vectores y matrices Se mencionó anteriormente, que existen algunos componentes principales en la teoría de control automático para la representación general del modelo y análisis del mismo. Es importante relacionar en este momento esos componentes principales y otros conceptos de la teoría matemática específicamente el álgebra lineal, en donde los vectores y matrices seran piezas fundamentales utilizadas para una nueva representación de nuestro sistema dinámico. Para esto primeramente es necesario definir algunos conceptos generales que nos permiten expresar el modelo de un sistema dinámico de manera general. Definición Una función es la relación entre los elementos en un conjunto asociados con los elementos de otro conjunto. Analíticamente, se expresa como la relación existente entre los elementos específicos del conjunto x i X con los del conjunto y i Y. Además, esta representación supone que los vectores y matrices se expresan mediante los espacios vectoriales. Definición Un vector es un arreglo ordenado de n elementos, [x 1 x 2 x n ]; donde la posición de cada elemento preserva su lugar y orden en el conjunto. (correspondiente al orden en el arreglo o conjunto). Ahora bien, sabemos que en el control moderno, la forma de expresar los modelos está relacionado con las ecuaciones algebráicas de los sistemas lineales que se expresan mediante vectores y matrices. En nuestro estudio de control moderno, esta es la misma representación que se pretende utilizar. Por lo tanto de la misma forma que se utilizan vectores para representar las variables de un sistema lineal en donde se desea encontrar la solución a un grupo de variables lineales, se tomará en cuenta la forma de expresar nuestras variables del sistema dinámico. Para representar una ecuación diferencial (2.5) de forma equivalente pero utilizando vectores y matrices. Representar la forma de una ecuación de estado mas específicamente se escriben variables asociadas en función para el caso general de n variables y m entradas. Supongamos que se desea representar una ecuación diferencial como la ecuación utilizando la representación de variables de estado para expresar el modelo del sistema dinámico. Para hacer esto, es importante primero, lo que representa la representación de variables de estado. A continuación, veremos lo que representa el concepto de variable de estado de un modelo del sistema dinámico. 5

4 Pero antes de seguir debemos preguntarnos, qué es una variable de estado?... Definición La variable de estado de un sistema dinámico representa el número mínimo de variables de este, tal que dados su valor o condición inicial x(t 0 ), y la entrada u(t) para el intervalo de tiempo t [t 0,t f ], t 0 t t f entonces x(t) puede ser determinado para dicho tiempo así como también otras variables de interés. La variable de estado del sistema, es una variable que responde ante una entrada y las condiciones iniciales del sistema. Es aquel conjunto mas pequeño de variables de sistema linealmente independientes, tales que sus valores iniciales ante una excitación determinen los valores de todas las variables del sistema para todo t t 0. Estas variables también representan alguna variable que sea medible en el proceso real o mecanismo que se supone que la describe. Definición El vector de variables de estado es aquel cuyos elementos son las variables de estado del modelo del sistema dinámico. Definición La ecuación de estado es un conjunto de n ecuaciones diferenciales simultaneas de primer orden, con n variables en que cada una representa las variables de estado. Una ecuación de estado representa exactamente la misma ecuación diferencial de orden n, pero en lugar de escribir una sola ecuación orden n, ahora la escribiremos como un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales simultáneas o acopladas entre sí. Las variables de estado en este caso representarán a cada una de las variables de la ecuación diferencial general Ventajas de la representación en el espacio de estado La representación de un sistema dinámico en el espacio de estado tiene ciertas condiciones a favor con respecto a utilizar la función de transferencia. (otras formas de expresar los sistemas dinámicos por medio del control clásico) Algunas de las ventajas de utilizar dicha representación de estado son: 1. Representación de sistema multivariable, que tiene varias entradas y varias salidas se puede representar mediante un sólo conjunto de ecuaciones, lo cual no permite una representación de la función de transferencia (ecuación de estado, ecuación de salida). En el caso de usar funciones de transferencia, las relaciones específicas de entrada / salida para cada una de las variables del sistema se tienen que expresar mediante funciones separadas. Cada una de ellas representando la relación entre una variable de entrada con otra de salida. 2. Análisis de sistemas no lineales: Expresar y describir el comportamiento de sistemas dinámicos no linelaes por medio de un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, lo cual no es posible con una función de transferencia. 3. Diseño de controladores de estado: Esta representación permite analizar el problema de control para un sistema determinado de manera interna, utilizando una retroalimentación de una función de sus estados como entrada poara llevar al sistema a un punto deseado. 6

5 2.3 Representación de la ecuación de estado Ahora veremos cómo se hace la representación de las variables de estado mas especificamente. Una vez que se han determinado las variables de estado correspondientes, el siguiente paso es saber qué dimensión tendrán los elementos (vectores y matrices) de la ecuación de estado. Suponga que la derivada con respecto al tiempo de una variable cualesquiera se puede expresar por un punto arriba de dicha variable. De esta manera se pueden relacionar dos de las formas de representación del modelo de un sistema dinámico como se muestra anteriormente. La ecuación de estado en su forma general se describe como ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.7) Por lo regular, tendremos que una ecuación diferencial de orden n se expresara mediante las variables de estado como n ecuaciones diferenciales de primer orden. Antes veremos la manera de cómo se asocian las variables entre si para obtener la representación de vector de estado y de los elementos de la ecuación de estado, así como sus dimensiones. 2.4 Caso homogéneo Consideremos el caso mas simple primero, la ecuación de estado homogénea. Esta tiene la característica que no tiene entrada, o simplemente la entrada es u = 0. Por lo tanto si tenemos ẋ = Ax, y deseamos saber las dimensiones de las matriz A, podemos obtenerla realizando la multiplicación de los vectores y matrices con valores arbitrarios. Suponemos inicialmente que x = Por lo tanto para que la igualdad se cumpla en esta ecuación diferencial homogénea, se requiere tener n elementos en cada una de las filas de nuestra matriz A. Asi mismo es posible definir para que esto suceda se requieren n columnas en nuestra matriz A. De tal manera que, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = (2.9).... a n1 a n2 a nn x 1 x 2. x n (2.8) Ahora si construimos la ecuación de estado homogénea, tenemos lo siguiente ẋ 1 a 11 a 12 a 1n x 1 ẋ 2 ẋ =. = a 21 a 22 a 2n x ẋ n a n1 a n2 a nn x n (2.10) 7

6 escribiendo esta expresión general de la ecuación diferencial matricial de una manera individual se definen n ecuaciones diferenciales como se establece a continuación ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n (2.11) ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (2.12). =. (2.13) ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n (2.14) Entonces finalmente vemos que para que la igualdad se satisfaga, esto es que de tal forma que el vector de n elementos en el lado izquierdo y el vector que da como resultado de la operación de A x sea un vector de dimensión n se requiere que A sea una matriz cuadrada de dimensión n n, A R n n Caso no-homogéneo La ecuación de estado no homogenea representa un modelo de un sistema dinámico con una entrada diferente a cero, u(t) 0. De tal manera que para este caso se sabe que arbitrariamente cual sea el valor de la variable u(t), este existe para el intervalo de tiempo determinado. Suponiendo esto, la ecuación de este tipo se representa como lo hicimos de manera general ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) de la cual ya vimos como se obtiene la dimensión de la matriz A. Primero consideraremos el caso más sencillo, cuando la entrada es de tipo escalar u(t) R 1. Para simplificar nuestro análisis, primero excribiremos todas las variables asociadas o correspondientes a la ecuación diferencial de orden n y una entrada. Caso 1. x R n, u R 1 La forma mas sencilla de entender esto es asumir que para dicha ecuación diferencial (2.4), la variable x y cada una de sus derivadas representan una variable diferente dentro de nuestra nueva forma de representación. Si seguimos este concepto sabiendo que x, di x x dt i i,i = 1 : n, por lo tanto en x R n, entonces deberemos tener como resultado un vector de variables de estado de orden n. Segun esta descripción de las variables, tenemos que el vector de variables de estado es x = [x 1 x 2 x n ]. De esta manera, tenemos que para la ecuación anterior, el vector x en ambos lados. El primer término de la ecuación se escribe ẋ = Ax. Se sabe bien que este término representa el producto de los elementos A y x. Sabiendo que el vector x tiene n elementos y este se encuentra en ambos lados de la igualdad, qué dimensión deberá tener el elemento A? Las dimensiones de las matrices correspondientes a la ecuación de estado se obtiene sabiendo las dimensiones de cada uno de los vectores asociados x y u. Para este caso, es muy simple el razonamiento para poder obtener mediante la multiplicación de la matriz B y el escalar u(t) una multiplicación que nos de como resultado un vector de dimensión n. Esto debe ser así, ya que el lado izquierdo de la igualdad donde tenemos el vector de variables de estado derivado con respecto al tiempo ẋ tiene n elementos. Por lo tanto sabemos que ( B u(t) ) R n 1. De tal manera, de manera mas generalizada tenemos que para que esto 8

7 suceda, el segundo término de la ecuación (2.7), debe ser b 1 b 2 + u(t) (2.15). b n ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + b 1 u (2.16) ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + b 2 u (2.17). =. (2.18) ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n u (2.19) Caso 2. x R n, u R m Asumiendo que de manera general la dimensión del vector de estado es x R n y la del vector de control es u R m, podemos saber las dimensiones de las matrices asociadas A y B a la ecuación de estado. Para establecer estas, es necesario recordar las reglas de la multiplicación de vectores y matrices y obedecer al álgebra elemental de vectores en una ecuación. Suponiendo que el vector u(t) tiene m elementos, u(t) R m, la expresión con valores arbitrarios se puede escribir como b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m B = (2.20).... b n1 b n2 b nm De tal forma que la ecuación de estado completa junto con los términos generales con valores arbitrarios que definimos anteriormente se escribe como ẋ 1 a 11 a 12 a 1n x 1 b 11 b 12 b 1m u 1 ẋ 2 ẋ =. = a 21 a 22 a 2n x b 21 b 22 b 2m u 2 (2.21)..... ẋ n a n1 a n2 a nn x n b n1 b n2 b nm u m Simplificando esta expresión tenemos que ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + b 11 u 1 + b 12 u b 1m u m (2.22) ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + b 21 u 1 + b 22 u b 2m u m (2.23). =. (2.24) ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n1 u 1 + b n2 u b nm u m (2.25) También es importante saber, qué representa cada uno de sus elementos. Definición La ecuación de salida es una ecuación algebráica que expresa las variables de salida de un sistema como combinaciones lineales de las variables de estado y las entradas. 9