Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Transcripción

1 Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri

2 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes moótos y sucesioes cotds Sucesioes moótos: ejemplos L sucesió -, -, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9... o es moóto. L sucesió de térmio geerl L sucesió de térmio geerl estrictmete creciete. ( ) tmpoco es moóto. es moóto creciete y tmbié L sucesió, -, 0, 0,,,,... es moóto creciete, pero o es estrictmete creciete. L sucesió de térmio geerl es moóto decreciete y es tmbié estrictmete decreciete. L sucesió,,,,,,,,, es moóto decreciete, si embrgo o es estrictmete decreciete. Estudir l mootoí de ls siguietes sucesioes: b 8 3 c + d + 3 Solució: ) Vmos probr que los térmios de est sucesió verific > N, es decir que se trt de u sucesió moóto + 0 estrictmete creciete. ( + ) (+ ) ( + )( ) + + > 0 ( + ) ( + ) ( + ) Profesor: Ele Álvrez Sáiz

3 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I el crácter positivo del terior cociete está grtizdo porque es u úmero turl. b) E este cso vmos demostrr que b b + N, co lo cul l sucesió será moóto creciete. 8 8 ( + ) b b+ + + ( + ) lo cul es siempre cierto. c) L sucesió dd es creciete, y que c c + Ν, pues 3 3 ( + ) c c+ + ( + ) l expresió últim l cul hemos llegdo es siempre ciert, luego l desiguldd iicil tmbié lo es. d) E este cso demostrremos que d > d + N, es decir que l sucesió es moóto estrictmete decreciete. d > d + > ( ) 3 3 ( ) + > est desiguldd es ciert pr culquier úmero turl, luego se cumple siempre. 3 Covergeci, divergeci: ejemplos Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 3

4 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics. L sucesió cuyos primeros térmios so los siguietes,, 3,, 5,, 7, Est sucesió o es covergete, pero tmpoco tiede i. Los térmios impres se hce ifiitmete grdes medid que crece. Si embrgo, los térmios pres tiede 0, pr suficietemete grde. Se dice que est sucesió o tiee límite o bie que su crácter es oscilte.. L sucesió de térmio geerl ( ), cuyos primeros térmios so: -,, -3, 4, -5, 6, -7, 8,... Los térmios de est sucesió tmpoco se cerc u úmero cocreto. Tiede los térmios pres y tiede los térmios impres. Por tto, tmpoco tiee límite, so osciltes. 4 Mootoí y cotció de + El térmio geerl de est sucesió es u expresió idetermid del tipo, luego o es evidete que se covergete. Se trt de u sucesió de úmeros reles positivos. Comprobmos e primer lugr que l sucesió es creciete. Por plicció de l fórmul del biomio de Newto, teemos 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

5 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I ( ) ( ) ( ) ( + ) !! !! l expresió de cost de sumdos. El térmio siguiete se expresrá sí ! +! ( + )! Est expresió cost de + sumdos. Como los sumdos de so + myores que sus correspodietes de, slvo el primero que es igul, result que luego l sucesió es creciete. < + N Vmos comprobr hor que l sucesió está cotd. Cosidermos pr ello ls siguietes expresioes: ! 3! +! c b ! 3!! progresio geometric Comprádols térmio térmio result que, prtir de 3, se verific: < < b < c 3 Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

6 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics es decir, < < 3, luego l sucesió está cotd. Se puede segurr, por tto, que l sucesió de térmio geerl + es covergete, estdo su límite compredido etre y 3. A este límite se le desig co el ombre de úmero e. Se trt de u úmero irrciol cuys diez primers cifrs decimles so: e Se cosider pr cd úmero turl N l ecució: x y se defie pr cd turl N el úmero como l sum de ls ríces positivs de est ecució. Se pide: ecotrr el supremo, ífimo, máximo y míimo del cojuto formdo por los úmeros reles, es decir, el cojuto Solució (Curso 03-04) { / N } Pr cd úmero turl cosidermos l ecució x. Ls ríces de est ecució so los vlores x que cumple: x ó x Not: E este pso plico l defiició de vlor bsoluto. Si el vlor bsoluto de A es 5/ es porque A es 5/ ó A es 5/. Tmbié podrí hber elevdo l cudrdo y resolver l ecució pero me quedrí de grdo cutro y hbrí que relizr más cálculos. 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

7 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Resolviedo x x 9 x x± Resolviedo x x 4 x x± Pr cd l sum de ls ríces positivs de l ecució x es El cojuto pr el que hy que clculr el supremo, ífimo, máximo y 5 míimo es A / N se cumple que el supremo es 5 y el ífimo es 0. 3 Como el supremo está e el cojuto (pr ) se trt del máximo pero el ífimo o es míimo porque o es u elemeto del cojuto A. Cálculo de límites: Defiició 6 Demostrr, segú l defiició de límite, que se verific: sucede si r <? lim 0, co r r >. Qué - Supogmos r>. Segú l defiició de límite, hy que ecotrr l expresió de pr cd ε> 0, tl que 0 < ε si > 0 0. r log ε 0 < ε < ε < r log < log( r) < r r ε ε log( r) pues hemos supuesto desde el pricipio que r >, luego log (r) > 0. Así pues, si log ε tommos 0 se cumple log( r) 0 < ε r Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

8 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Si r <, será log (r) < 0. Como ε es muy pequeño, verific ε <, es decir log(ε )< 0, luego log log( ε) ε > 0. Teiedo e cuet que siempre es > 0, uc puede ser log < log( r) ε, puesto que. log (r) será siempre egtivo, mietrs que log ε es positivo. Por lo tto, si r< l sucesió o puede teder cero. 7 Demostrr, plicdo l defiició de límite, que se verific los siguietes límites: + () lim (b) lim ( + )( + ) 3 3 (+ ) ( ) (c) lim Solució () Se trt de ver que + ε> 0, existe de form que < ε si > 0 0 Observmos que < ε < ε < + < ε ε Luego fijdo ε> 0 bst tomr 0 de límite. E + ε pr que se cumpl l defiició 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

9 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Not.- E(x) deot l prte eter de x. (b) Clculremos l difereci Como ( + )( + ) y l hremos meor que ε ( + ) < ( )( ) ( + ) 6( + ) ( + )( + ) ( + ) Si hcemos < ε < + > ( + ) ε ε 6 Culquier que se el vlor de ε, tomdo 0 E ε, se puede segurr que si > etoces 0 < ε ( + )( + ) (c) Operdo como e el prtdo terior, 3 3 (+ ) ( ) (8 + 6 ) < Como h de ser < ε < > ε ε Etoces, culquier que se el vlor de, tomdo 0 segurr que si > etoces (+ ) ( ) < ε E, se puede ε Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

10 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes recurretes 8 Estudir l covergeci de l sucesió recurrete dd por + 3 ( ) 4+ Solució: (Curso 03-04) Applet Lbortorio Sucesioes Recurretes Es fácil ver que 0, vemos que. Lo probremos por iducció. Pr, Supuesto que debemos probr que +. Como por hipótesis de iducció se tiee que se cumplirá: ( ) + ( ) + + ( ) ( ) Profesor: Ele Álvrez Sáiz

11 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Vemos hor que l sucesió es moóto decreciete. Es fácil ver que: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) L últim desiguldd es trivilmete ciert y que teriormete hemos probdo 0. Luego se cumple +. Por el teorem de Weierstrss l ser u sucesió moóto y cotd es covergete. 9 Dd l sucesió y 3, demostrr que () ( ) pr todo úmero turl (b) l sucesió { } es covergete y clculr su límite. Applet Lbortorio Sucesioes recurretes Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

12 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Solució: () Demostrmos por iducció l desiguldd ( ) Pr hy que probr: ( ) Como l desiguldd es ciert: ( ) 3 * + 0. Supogmos que ( ) y probemos hor que: ( ) Se tiee que: + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E l últim expresió el umerdor es meor o igul cero (por hipótesis de iducció) y el deomidor es positivo (por ser u cudrdo). Por lo tto, supuesto ( ) l últim desiguldd es ciert y se cumple: ( ) (b) Pr ver que es covergete itetremos ver si es moóto y cotd. Ddo vlores (,, 3...) prece que es moóto decreciete. E el cso de que lo fuer estrí cotd superiormete por el primer térmio. Vemos si so cierts ests impresioes. Acotd. Profesor: Ele Álvrez Sáiz

13 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Vmos probr que 0<. Lo hremos por iducció. 0< y que 0< Vemos que si 0 < etoces + 0< Etoces supoiedo 0< se tiee que 0 Sumdo 3 mbos miembros: < 3 < 3 < < 3 3 <. Luego, + 0< Mootoí: Vmos probr que es moóto decreciete, es decir, si pr todo úmero turl + : pr uestr sucesió hy que demostrr que 3 Como 3 3 > 0 ( ) ( ) y l últim equivleci es ciert por el prtdo () se cumple Por el teorem de Weierstrss l ser u sucesió moóto y cotd es covergete. Si llmmos L l límite de l sucesió se tedrá que : lim lim 3 3 lim defiició propieddes de l sucesió de los límites e cosecueci el puto L buscdo tiee que cumplir Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 3

14 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics L L( 3 L) 3 L es decir será u ríz del poliomio: Resolviedo ( ) x 3 x x 3x+ 0 3± 9 4 3± 5 x 3 5 De ls dos ríces el vlor de L es L que es meor que. (Observr que l sucesió es moóto decreciete y el primer térmio es meor que ). 0 Dd l sucesió, demostrr que l sucesió { } covergete y clculr su límite. es Observ que ( ) / / / /4, 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

15 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I 3... / / /+ /4 /+ /4+ /8 4 ( ) El expoete es u sum de tér mios de u progresió geométric de primer tér mio / y rzó /... Por lo tto, lim lim lim Dd l sucesió { } e dode 7 + ( ) +, N + Se pide: Probr que, N Demostrr que { } es covergete y clculr su límite. Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

16 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Applet Lbortorio Sucesioes Recurretes Solució: (Prcil I 003) () Solució: Vemos que, N por iducció. Se verific pr y que 7 Supoiedo que vemos si que, + ( ) + +. Se tiee + ( ) ( ) ( ) ( ) por hipotesis de iducció (b) Vemos si es moóto. Como ver si es moóto decreciete, , < itetremos ( ) Profesor: Ele Álvrez Sáiz

17 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( + ) + elevdo l cudrdo por ser ctiddes positivs 3 ( ) + ( ) ( ) + Est últim desiguldd es ciert y que decreciete.. Por lo tto es moóto Como l sucesió es moóto y cotd es covergete. Llmdo L lim se tedrá que: L L L + L + L+ L+ 3 ( )( ) L + L L + L L + L+ 0 L 0 () Dd l sucesió { } defiid por iducció que N, < 4+. > se pide probr por () A prtir de l sucesió terior se defie l sucesió { b } y clculr su límite. Solució: Febrero 003 b. Estudir l cotció de () L sucesió { } es u sucesió recurrete y l sucesió prtir de { }. Los primeros térmios de mbs so: b se clcul b {, 9,, 37,...} 9 37,,,, Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

18 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Se pide demostrr l desiguldd por iducció:. Se cumple que: < Vemos que si: <, etoces Se cumple que: + ( + ) < ( + ) + ( + ) < + ( + ) Hipotesis de iducció Luego, se puede cocluir que: N, < () De l desiguldd se deduce (por defiició de vlor bsoluto): < < + Dividiedo los tres miembros por de dode < < +, 0 < b < + Por tto l sucesió { b } está cotd iferiormete por 0 y superiormete por. Además, teiedo e cuet que lim y lim +, por l regl del ecje, lim b. 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

19 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Cálculo de límites: Propieddes 3 Siedo 3, 3 3, , etc. Clculr lim Observmos los térmios de l sucesió: ; ; ; Summos los térmios de l progresió geométric que prece e el expoete. de modo que y tomdo el límite, lim lim 3 3 Cálculo de límites: Teorem del ecje 4 Clculr el siguiete límite: Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

20 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Clculr el límite de l sucesió que tiee por térmio geerl Solució: Costruimos dos sucesioes pr comprrls co l sucesió terior, cuyos térmios geerles so y b c observmos que se verific b < < c pr todo, demás y lim b lim + lim lim c + como lim b lim c, tmbié será lim lim ( ) () Demuestr que pr todo úmero turl se cumple: (b) Estudi l covergeci de l siguiete sucesió () Vmos probr l desiguldd ( ) (!) ( )! (!)! (!)! por iducció. 0 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

21 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Pr, es ciert y que ( )!! ( ) Supuest l desiguldd ciert pr, ciert pr +, es decir, que se cumple ( )!, vemos que es (!) ( ) ( ( )) (( )) ( ) +! + + +! + +! + +! (( )) Se tiee que! 4 + (!) 4( )! ( + ) ( )( )! + + H. I. +! ( + )! multiplicdo ( )! y dividiedo (( + )! ) (!) ( ) por( + ) ( )( )( ) (( )) ( )( )( ) (( )) ( ) +! + +! +! +! +! +! (( )) < + Luego, hemos probdo ( ) + +! + +! (( )) (b) Pr estudir l covergeci de l sucesió ( )! bst drse cuet que (!) ( )! y que (!) lim Por lo que l sucesió ( )! es divergete. (!) Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

22 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Cálculo de límites 6 Obteer lim ( ) +. Multiplicdo y dividiedo por el cojugdo, result u expresió más secill, cuyo límite es imedito lim ( ) ( + )( + + ) ( + + ) + lim ( ( + ) ) lim lim lim ( + + ) lim Hllr el límite de l sucesió log cos ( + 5). + Tomdo el límite + 3 lim lim log cos ( 5) fucio cotd if iitesimo detro de, 8 Hllr el límite de l sucesió log + se. π ( + 5 ) cos Profesor: Ele Álvrez Sáiz

23 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Aplicdo equivlecis, teemos log + se 8 lim lim lim π π ( + 5 ) cos ( + 5 ) cos lim lim 4 π 6 ( ) cos (4 ) Utilizdo comprció de ifiitos clculr los siguietes límites: 5 3 ( )! 3 lim, lim, lim, ( )! lim 5 ( l og ) 3 3 0'5 0'5 lim, lim 0, lim 0, lim 0 ' 0 Hllr el límite de l sucesió lim Solució: El límite es u idetermició de l form, se resuelve sí Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 3

24 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics lim e lim lim + lim lim ( ) 5 e e e e 4 Hllr el límite de l sucesió + 3+ Solució: Supoemos que L lim y tommos logritmos log ( L) log lim lim log lim log lim lim lim L e Hllr el límite de l sucesió b 5 3 Tmbié e este cso, result más secillo explicr el cálculo tomdo logritmos. Se L lim b log ( L) log lim l im log l im log l im log l im log log log 3 L e 3 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

25 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Hllr el límite de l sucesió c 5+ Supogmos que L lim c. Tomdo logritmos log ( L) log lim lim log lim ( 3) log lim ( ) log 5+ 5 L e 4 Hllr el límite de l sucesió lim ( + ) L expresió de l bse es u idetermició del tipo, que resolvemos multiplicdo y dividiedo por l expresió cojugd ( + ) ( + + ) ( + + ) lim + lim lim lim luego se trt de u idetermició del tipo, que resolvemos utilizdo el úmero e, sí ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim log + lim + lim + e e e ( + ( + ) )( + + ( + ) ) ( ) lim lim + ( + ) + + ( + ) e e e e e Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

26 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics 5 Demostrr que y b log( + ) so equivletes pr 0. Ecotrr u sucesió equivlete log ( ) + pr cudo 0. Solució: Pr ver que y log( ) b + so equivletes bst ver que: Se tiee que: log( + ) lim ( ) log( + ) / / lim lim log( + ) log lim ( + ) loge Por defiició, log b expresió logritmo eperio, c c si y solmete si b. Tomdo e est c log logb c logb log Por lo tto, por defiició, ( ) log + log ( + ) log Como ( ) log + cudo es u ifiitésimo, se tedrá que: log( + ) log 6 Dds ls sucesioes + ; b + estblecer si so o o del mismo orde ls siguietes prejs de sucesioes: 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

27 Ejercicios: Sucesioes umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I ( ) y b ( b) y b ( c) y ( d) log y logb b Sol.- () Sí (b) Sí (c) Sí (d) No. IMPORTANTE: Auque pr ests dos sucesioes log y logb o se equivletes pr l list de ifiitésimos equivletes dd e el resume teórico sí se verific que si y b so equivletes tmbié lo so log y logb Not: Si e l solució de lgú ejercicio crees que hy lgú error pote e cotcto co l profesor pr su correcció. Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7