Una función dada gráficamente proporciona una visión de conjunto de la evolución de una variable al cambiar la otra.

Transcripción

1 FUNCION NUMERICA: 5º Año-Economía- El término función proviene del latín fucto que significa acto de realizar y fue utilizado por Leibnitz en el año 1694, referido a curvas. Un siglo más tarde Euler veía una función como una expresión formada por constantes y variables. Fue él quien puso de moda el símbolo f(x), introducido por Clairaut en La definición hoy aceptada la introdujo Dirichlet a mediados del siglo XIX. Pero Para qué estudiar funciones? Las funciones juegan en la actualidad un papel fundamental en las aplicaciones de la matemática a las más diversas ciencias, tales como la economía, sociología, ciencias relacionadas con la medicina, ciencias naturales, etc. Estudiar funciones permitirá plantear y resolver problemas que surgen permanentemente en cualquier área de trabajo. Una función dada gráficamente proporciona una visión de conjunto de la evolución de una variable al cambiar la otra. Una relación es una correspondencia que asocia elementos del conjunto A, llamado conjunto de partida de la relación, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada. Una función de A en B es una relación que se asocia a cada elemento del conjunto A con uno y sólo uno del conjunto B. La noción de función está relacionada con la noción de dependencia. Es una regla que relaciona pares de números (o pares de objetos) que debe ser clara y unívoca. Ej: a) La regla a cada número natural le asociamos su mitad es clara y unívoca; define una función. b) La regla a cada número natural le asociamos uno de sus divisores es clara, pero no unívoca; no define una función. c) La relación de cada persona con su grupo sanguíneo es una función, porque todos tenemos un solo grupo sanguíneo. El conjunto Dominio es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida, que están relacionados por la función con un elemento del conjunto de llegada. El conjunto Imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que se relacionan con algún elemento del dominio. Cada pareja de números relacionados entre sí puede darse en forma de par. Así (x, y) indica que a x le corresponde y. Para una función numérica su dominio está formado por todos los valores x para los cuales la relación permite calcular valores reales y. Cuando los pares de elementos que se relacionan entre sí son números reales, la función se llama función de variable real. En ella intervienen dos variables, una independiente y otra dependiente. La independiente, variable de entrada, suele designarse con la letra x, y la dependiente, variable de salida, con la letra y. Si el par (x, y) pertenece a la función f, se dice que y = f(x). Indicamos así que la relación funcional entre x e y viene dada por f, y que y es la imagen de x.

2 Atención: En una función no puede estar, a la vez, los pares (a, b) y (a, c) pues esto indicaría que a a le corresponden dos elementos. Si pueden estar a la vez (a, n) y (b, n). La fución puede definirse: a) Mediante un conjunto de pares ordenados. b) Mediante una expresión algebraica (fórmula). c) Mediante una fase (enunciado). d) Mediante un gráfico en el plano cartesiano. e) Mediante un diagrama de Venn (recinto plano interior a una curva cerrada). CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: a) Polinómica : Lineal cuadrática b) Exponencial c) Logarítmica d) Periódica (trigonométrica) INTRODUCCIÓN A FUNCIÓN NUMÉRICA Ubicación de los puntos en el plano En funciones lineales trabajamos en el plano cartesiano, se ubican los pares de valores considerando el plano x e y. El punto en el plano se simboliza de la siguiente manera: (-5;3); (6;5); (4,5; -3,5) El primer elemento del par ordenado corresponde a x y el segundo elemento a y. Gráficas A toda función afín le corresponde gráficamente una recta. La forma explícita de la ecuación de la recta es: y = a. x + b Dónde a y b son dos números reales cualesquiera ( a debe ser distinto de cero). Ejemplo: y = 2 x + 1 Tabla de valores

3 Realizamos la tabla de valores, en la primera columna, le damos diferentes valores a x. La variable x es independiente. En la segunda columna, calculamos los valores que va tomando y según el valor de x. La variable y se llama variable dependiente. x y = 2x Pendiente y ordenada al origen La ordenada al origen es el valor que toma y ; este valor indica el punto de corte de la recta con el eje y. En la fórmula general se expresa con la letra b. Ejemplo: y = 2/3 x + 1 (La ordenada al origen es 1). La pendiente Indica la inclinación de la recta. En la fórmula general se expresa con la letra a. Para graficar lo primero que se debe hacer es ubicar la ordenada al origen, porque sabemos que la recta va a cortar al eje y en ese punto, a partir de este punto marcamos la pendiente. A partir del punto 1, desplazo 3 unidades sobre el eje x y subo 2 unidades porque la pendiente es positiva (si la pendiente fuera negativa bajo 2 unidades). (Graficar). Rectas Verticales y Horizontales. f(x) = 2 Rectas Horizontales, la ecuación es y = y 1 donde y 1 es el valor donde corta al eje y. La ecuación x = x 1 Cortan al eje x. NO SON FUNCIONES.

4 ACTIVIDADES 1) Ubica en el plano los siguientes puntos: A= (2; 3) B= (1; 5) C= (0; 4) D= (3; -1) E= (-2; 0) F= ((-5; -9) G= (-3; -1) H= (-3;-2) I= (3/5; 2) J= (2/3; -1) K= (-2/3; 0) L= (-1/4 ;-1/2) M= (0;0) N= (1/5;-6) 2) Indica cuáles de las siguientes funciones son funciones afines: a) f (x) = x + 1 b) f (x) = -x + 1 c) f (x) = x d) f (x) = x 2 + x + 1 e) f (x) = 3/2x + 2 f) f (x) = - 3/2 x 2 g) f (x) = 2 + 3/2x h) f (x) = x i) f (x) = 2 + x 2 j) f (x) = x + 2 k) f (x) = x+2 l) f (x) = x/2 m) f (x) = 2/x n) f (x) = 2x 0) f (x) = -2 3) Interpreta las siguientes situaciones y escribe la función f (x) que represente a cada caso: Martín escribe con el teclado de la computadora 50 palabras por minuto. a) Escribe una función f (x) que represente la cantidad de palabras en función de los minutos. b) Escribe una función f (x) que represente la cantidad de palabras en función de las horas. c) Escribe una función f (x) que represente la cantidad de minutos en función de la cantidad de palabras. d) El valor actual de cierta clase de antigüedad es de $ 1000 más $ 500 por cada año de antigüedad. Escribe una función f (x) que represente al valor actual de antigüedad en función de los años de antigüedad. e) La población en una ciudad en el año 1995 era de de habitantes, suponiendo que en esa ciudad la población va aumentando constantemente en habitantes por año, plantear la función f (x) que represente la población de la ciudad en función del año. f) El valor de un auto 0 km es de $ Suponiendo que este valor va disminuyendo en forma constante $ por cada año que pasa. Escribe una función f (x) que represente el valor del auto en función de la cantidad de años que hace que se fabricó. g) Una persona va viajando en auto por la autopista a una velocidad constante de 80 km/h. Escribe una función f (x) que represente el espacio recorrido en función del tiempo. 4) Indica cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones lineales: 5) Grafica una función lineal cualquiera, no importa la fórmula, pero que pase por el punto (2 ; -5) en el plano x-y. 6) Dibuja en el plano x-y, una función lineal que pase por los puntos (-1 ;2) y (2; -1), marca los puntos sobre el plano.

5 7) El siguiente gráfico muestra la distancia recorrida por un auto en función del tiempo transcurrido: a) Qué tipo de función representa a la distancia recorrida en función del tiempo para las primeras 5hs? b) Qué tipo de función representa a la distancia recorridas en función del tiempo en las últimas 3hs? c) Qué espacio recorre en las últimas 3 hs? d) Cuál es la velocidad en las primeras 5 hs? e) Qué espacio recorre en las primeras 2 hs? 8) Dada la función f (x), realiza las tablas de valores y grafica cada función. Compara y analiza las similitudes en los gráficos. a) f (x) = x b) f (x) = x + 5 c) f (x) = 2x + 5 d) f (x) = -2x + 5 9) Grafica en el plano x-y las siguientes funciones lineales: a) f (x) = x +1 b) f (x) = 2x + 2 c) f (x) = 1/2x + 1 d) f (x) = 2x + 3 e) f (x) = 2x 3 f) f (x) = 2x 1 g) f (x) = 2x h) f (x) = -x + 1 i) f (x) = -x + 1/3 j) f (x) = -1/2x + 3/2 k) f (x) =-5/2x+4 l) f (x) = - 3/2 x m) f (x) =3/2x-2 n) f (x) =5/2x+4 o) f (x) = -2/3x 10) Considerando f (x) = 5x + 6 a) Determinar f (4) b) Determinar f (-2) c) Hallar el valor donde la recta corta al eje y d) Halla el valor donde la recta corta al eje x e) Determinar el valor de x para el cual f (x) = -14 f) Determinar el valor de x para el cual f (x) = 16 11) Gráficos (Pagina) 12) Grafica en el plano dos rectas cualesquiera con la condición de que ambas tengan la misma pendiente. Ejemplo: f (x) = 3x + 2 y f (x) = 3x + 5. Analiza las gráficas y escribe una conclusión. 13) Cuántas rectas se pueden graficar como máximo, en un mismo plano tales que todas pasen por el punto Q = (2;3)? Por qué? 14) Cuántas rectas se pueden graficar cómo máximo, en un mismo plano tales que todas tengan la misma ordenada al origen? Por qué? 15) Indica cuáles de los puntos enumerados pertenecen a la recta f (x) = 2x + 1 y cuáles no pertenecen. Verifica en forma analítica. 16) Dada la función lineal: y = 2/3x +1; completa las coordenadas de los siguientes puntos si sabemos que todos ellos están incluidos en la recta. a) P= (3 ;.) b) P = (-1 ;.) c) P = (.. ; 5) d) P = (. ; 1) e) P = (0 ;.) f) P = (-3/2 ;.) g) P = ( ; -1) h) P = (. ; -3) i) P = ( -9 ;.) j) P = (. ; -2)