SÍNTESIS DIMENSIONAL ÓPTIMA DE UNA VARIANTE DEL MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO DE WHITWORTH

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1 SÍNESIS DIMENSIONAL ÓPIMA DE UNA VARIANE DEL MECANISMO DE REORNO RÁPIDO DE WHIWORH Isdro Zaalza, Valentín Benítez, Javer Ros y Jesús M. Pntor Departamento de Ingenería Mecánca Energétca y de Materales Unversdad Púlca de Navarra Campus Arrosadía Pamplona, Navarra, España. [zav,..., jros, txma]@unavarra.es RESUMEN Entre las varantes de mecansmos de retorno de rápdo de Whtworth hay una en la ue la parte superor del eslaón osclante va undo al eslaón corredera por medo de un par gratoro y la parte nferor de dcho eslaón está conectado al eslaón fjo o carcasa por medo de un par gratoro-prsmátco. Estos mecansmos se venen utlzando desde hace muchos años en máunas herramentas como la lmadora y se han perfecconado algo expermentalmente. En este traajo se expone un método de optmzacón de las dmensones de la varante del mecansmo ctado con el fn de consegur ue el par motor máxmo durante un gro completo de la manvela, mpulsada por un motor eléctrco asíncrono a través de una cadena cnemátca formada por poleas, volante y caja de camos, sea mínmo. Este método comprende: Estudo cnemátco utlzando el método de Newton-Raphson para determnar la poscón defnda por medo de coordenadas naturales y cálculo de velocdades por dervacón de las condcones de restrccón. Smulacón dnámca aplcando la correccón de Baumgarte para asegurar la convergenca de la ntegracón numérca. Y optmzacón de las dmensones del mecansmo utlzando el análss de sensldad. MECANISMO DE WHIWORH El mecansmo de Whtworth transforma un movmento de entrada gratoro contnuo en movmento rectlíneo alternatvo. Dedo a la confguracón del mecansmo, éste realza la carrera de retorno en menor tempo ue la carrera ue la carrera de da, de ahí su nomre de retorno rápdo. Por esta característca, se utlza en máuna-herramenta aprovechando la carrera lenta para mecanzar y la rápda para volver a la poscón ncal, reducendo los tempos muertos entre carreras de traajo. El mecansmo de Whtworth orgnaro (Fg. 1) está formado por: - Un eslaón fjo "1" sore el ue van montados el resto de eslaones y ue está formado por la carcasa de la máuna. - Un eslaón osclador "4" undo al fjo por medo de un par gratoro "A". - Una manvela "", unda al eslaón fjo por medo de un par gratoro "B", por la ue se ntroduce el movmento gratoro provenente de un motor eléctrco. - Una corredera "3" conectada con un par gratoro al extremo de la manvela y por medo de un par prsmátco al eslaón osclador. Medante esta corredera se trasmte y transforma el movmento gratoro contnuo de la manvela a movmento gratoro osclante de eslaón osclador. - Un eslaón de salda "6" conectado al eslaón fjo por medo de un par prsmátco ue le olga a realzar un movmento rectlíneo. - Como el eslaón de salda realza un movmento rectlíneo y el extremo del eslaón osclador realza un movmento curvlíneo, se ntroduce el eslaón acoplador "5", con pares gratoros en sus extremos, ue transmte el movmento del eslaón osclador al eslaón de salda. En este mecansmo, el punto de artculacón "A" del eslaón osclante "4" con el eslaón fjo se encuentra entre la corredera "3" y el par gratoro "D" de unón con el eslaón acoplador "5". Fg. 1 Mecansmo de retorno rápdo de Whtworth orgnaro Varantes del Mecansmo de Whtworth Una prmera varante de este mecansmo (Fg. ) consste en hacer ue la corredera "3", ue en mecansmo orgnaro se mueve en las proxmdades de un extremo del eslaón osclante, pase ha tener su movmento en la parte central de dcho eslaón. De esta forma la corredera se encontrará entre las artculacones "A" y "D".

2 Fg. Varante "1" del mecansmo de Whtworth Fg. 4 Varante "3" del mecansmo de Whtworth Una segunda varante del mecansmo de Whtworth (Fg. 3) se consgue hacendo ue un extremo del eslaón osclante "4" se conecte drectamente al eslaón de salda "6". Como el eslaón de salda realza un movmento rectlíneo, el otro extremo del eslaón osclante no puede r conectado drectamente al eslaón fjo por medo de un par gratoro. En este caso el eslaón osclante se dee conectar al eslaón fjo por medo del eslaón acoplador "5" con pares gratoros en sus extremos. Fnalmente, en la cuarta varante del mecansmo de Whtworth (Fg. 5), ue es sore la ue se realzará la optmzacón dmensonal por ser una confguracón muy utlzada en la construccón de lmadoras, el eslaón osclante se conecta al eslaón de salda por medo de un par gratoro. En este caso el otro extremo del eslaón osclante se conecta al eslaón fjo por medo de un par gratoroprsmátco. Fg. 3 Varante "" del mecansmo de Whtworth La tercera varante del mecansmo del mecansmo de Whtworth (Fg. 4) consste en conectar un extremo del eslaón osclante al eslaón fjo por medo de un par gratoro. Como el otro extremo del eslaón osclante realza un movmento gratoro alternatvo se dee conectar al eslaón de salda por medo de un par gratoro-prsmátco. Fg. 5 Varante "4" del mecansmo de Whtworth OPIMIZACIÓN DEL MECANISMO El dseño óptmo de un mecansmo se nca con la defncón de la funcón ojetvo ue valora el funconamento del mecansmo, en este caso, el par motor. La solucón del prolema será la confguracón ue mnmce la funcón ojetvo en relacón con las varales de dseño. El prolema puede tener ecuacones de restrccón, esto es,

3 gualdades o desgualdades ue deen cumplr certas funcones de las varales de dseño. En este ejemplo, se toman como condcones de restrccón la carrera del eslaón de salda, su velocdad máxma durante la carrera de mecanzado, el coefcente de regulardad de la velocdad angular de la manvela y la altura máxma del mecansmo. La funcón ojetvo normalmente depende de las varales de dseño no sólo de forma explícta, sno tamén mplíctamente a través de los resultados del análss cnemátco y dnámco como: poscones, velocdades, aceleracones, fuerzas de restrccón, etc. Para la realzacón de la optmzacón del mecansmo se utlzarán las coordenadas naturales y se aplcará el método expuesto por García de Jalón y Bayo (1994). Análss Cnemátco La resolucón del prolema de optmzacón comenza por el estudo cnemátco. Es decr, el cálculo de la poscón, velocdad y aceleracón de una sere de puntos característcos del mecansmo. Sea "" el vector de coordenadas naturales de los puntos característcos del mecansmo, "" el vector de parámetros o varales de dseño y "Φ " el conjunto de restrccones geométrcas ue dee cumplr el mecansmo durante su funconamento. Las restrccones geométrcas del mecansmo se pueden escrr, de forma compacta, como: Φ(,, t) = 0 (1) La resolucón del prolema de poscón consste en determnar el vector "" de coordenadas naturales ue cumpla con las condcones de restrccón, para una determnada poscón del eslaón de entrada. Como las condcones de restrccón normalmente son no lneales, se utlza en su resolucón el método de lnealzacón teratvo de Newton-Raphson. Con este método, se otene el vector de coordenadas naturales para una poscón del mecansmo ue cumple las restrccones geométrcas, para una determnada poscón del eslaón de entrada. Para ncar el método de Newton-Raphson se dee partr de un vector de coordenadas naturales aproxmadas. Según sea ese vector ncal puede ue el método no converja a una solucón aceptale. En tal caso, se dee proar con otro vector ncal de coordenadas naturales, y así sucesvamente, hasta consegur converger a una solucón ue represente una poscón real del mecansmo. Un uen vector ncal suele ser el correspondente a una poscón real del mecansmo, y fácl de determnar, ue sea próxma a la poscón ue se desea calcular. Una vez resuelto el prolema de poscón, dervando las ecuacones de restrccón respecto del tempo y suponendo ue los parámetros de dseño no varían con el tempo, se otene: Φ Φ t = 0 () ecuacones ue relaconan las velocdades de los puntos dados por las coordenadas naturales, para la poscón determnada del mecansmo. Volvendo a dervar las ecuacones de restrccón respecto del tempo se otene: Φ Φ Φ t = 0 (3) ecuacones ue relaconan las aceleracones de los puntos dados por las coordenadas naturales, para la poscón determnada del mecansmo. En las ecuacones () y (3) "Φ " y "Φ " representan, la matrz jacoana de las condcones de restrccón respecto de las coordenadas naturales y la dervada de esa matrz respecto del tempo respectvamente, "", " " y " " representan las poscones, velocdades y aceleracones de los puntos característcos del mecansmo, "Φ t " representa la dervada explícta de las condcones de restrccón respecto del tempo y Φ t la dervada mplícta de la anteror respecto del tempo. Análss Dnámco Una vez resuelto el prolema cnemátco, se aorda el prolema dnámco, ue es el estudo de las ecuacones ue relaconan las masas con la cnemátca del mecansmo y con las fuerzas. Dedo a ue el conjunto de coordenadas naturales no son ndependentes, se ntroducen los multplcadores de Lagrange en las ecuacones ue relaconan las masas con las fuerzas y las aceleracones. Las ecuacones para el estudo dnámco son: M Φ λ = Q (4) donde "M" representa la matrz de masas, "Φ " la matrz jacoana traspuesta, "λ" el vector de los multplcadores de Lagrange y "Q" el vector de las fuerzas exterores. En el sstema (4) de "n" ecuacones, se tenen "(nm)" ncógntas: los "n" elementos de vector de aceleracones más los "m" elementos del vector de los multplcadores. Para poder resolver este sstema, se toman en consderacón tamén las "m" ecuacones cnemátcas (3) del cálculo de las aceleracones, formando así un sstema de "nm" ecuacones con "nm" ncógntas, ue se puede expresar en forma matrcal como: M Φ Φ = 0 λ Q Φ Φ t Sstema de ecuacones ue srve tanto para resolver el prolema dnámco drecto, en el ue las ncógntas son las aceleracones, como el dnámco nverso, en el ue las ncógntas son las fuerzas. (5)

4 Smulacón dnámca En el prolema dnámco drecto, para poder hacer una smulacón dnámca en el tempo, partendo de una poscón y velocdad dadas, se van ntegrando numércamente las ecuacones dnámcas para otener las nuevas velocdades y poscones. No ostante, esta ntegracón puede no converger a la solucón real y puede r volando cada vez más las condcones de restrccón geométrcas y de velocdades. En este caso, para evtar este prolema se utlza el método de estalzacón de Baumgarte (197): - omando las ecuacones de restrccón (1) y su prmera y segunda dervada respecto del tempo () y (3) respectvamente, se tendrá los sguentes sstemas de ecuacones: Φ(, t) = 0 (1) Φ Φ t = 0 () Φ Φ Φ = 0 t (3) ue esuemátcamente se pueden representar como: Φ = 0 (6) Φ = 0 (7) Φ = 0 (8) - S se cumplen las condcones de restrccón de poscón y de velocdad, "Φ " y "Φ " serán guales a cero, por lo ue la ecuacón (8) se puede escrr: Φ α Φ β Φ = 0 (9) - S al r realzando la smulacón dnámca, se van volando las condcones de restrccón de poscón o de velocdad, el sstema de ecuacones (9) deja de cumplrse. En ese momento, los parámetros "α" y "β" ntroducen una correccón, ue hace ue la ntegracón converja a la solucón real en la mayoría de los casos. - Al ntroducr los parámetros "α" y "β" propuestos por Baumgarte, en la ecuacón (5), el conjunto de ecuacones cnemátcas y dnámcas ueda de la sguente forma: sendo: M Φ Φ Q = 0 λ g (10) g = - Φ Φ α( Φ Φ t) β Φ (11) t Análss de sensldad Una vez resuelto el prolema cnemátco y dnámco del mecansmo, comenza la optmzacón, ue consste en mnmzar o maxmzar una certa funcón ojetvo ue hará defndo el dseñador. Para ncar la optmzacón se realza el análss de sensldad propuesto por Chang y Nkravesh (1985), ue determna la varacón de la respuesta del mecansmo en relacón con la varacón de los parámetros de dseño. En el estudo de la sensldad se parte de las ecuacones de restrccón (1) y se derva respecto de los parámetros de dseño, otenéndose: Φ Φ = 0 (1) ecuacones de las ue se determna el vector " " de sensldad de poscón respecto de los parámetros de dseño, sendo "Φ " la matrz de dervadas de las ecuacones de restrccón respecto de los parámetros de dseño. Dervando las ecuacones ue relaconan las velocdades () respecto de los parámetros de dseño se otene: Φ Φ Φ Φ t Φ t = 0 (13) ecuacones donde "Φ " y "Φ " son hpermatrces, resultado de dervar la matrz jacoana respecto de las coordenadas dependentes y de las varales de dseño respectvamente, y "Φ t " y "Φ t " son las matrces de dervadas respecto de las coordenadas dependentes y de las varales de dseño respectvamente, del vector "Φ t ". Con estas ecuacones se determna el vector " " de sensldad de las velocdades respecto de los parámetros de dseño. Dervando respecto de los parámetros de dseño las ecuacones ue relaconan las aceleracones (3) se otene: Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ t Φ t = 0 (14) ecuacones ue relaconan la sensldad de las aceleracones respecto de los parámetros de dseño " ", donde " Φ ", " Φ ", " Φ " y " Φ t " representan las dervadas respecto del tempo de matrces ya conocdas. En los párrafos anterores se han estudado las sensldades cnemátcas de poscón y velocdad respecto de los parámetros de dseño, necesaras para determnar las sensldades en el prolema dnámco. omando ahora la ecuacón (4) de la dnámca del mecansmo y dervando respecto de los parámetros de dseño se otene: M Φ λ = Q Q Q M Φ λ Φ λ (15) ecuacones ue relaconan las sensldades cnemátcas con las de los multplcadores de Lagrange y las fuerzas, y en las ue "λ " es la matrz de dervadas de los multplcadores respecto de las varales de dseño, "Q ", "Q " y "Q " son las matrces de dervadas de las fuerzas exterores respecto de las varales de dseño, de las coordenadas y de las velocdades y "M " es la hpermatrz de las dervadas de la matrz de masas respecto de las varales de dseño.

5 La ecuacón anteror (15), junto con la de sensldad de aceleracones (14) se puede escrr en forma compacta como: donde: M Φ Q = Q Q Φ = 0 λ Q g g = - Φ - Φ - Φ - Φ - (16) Q M Φ λ Φ λ (17) Φ - Φ t - Φ t (18) Con el sstema de ecuacones (16) se pueden otener, en cada caso, dstntas sensldades, dependendo de cuales sean ncógntas. Una vez se han otendo las sensldades de poscón, velocdad, aceleracón, multplcadores de Lagrange, masas y fuerzas exterores respecto de los parámetros de dseño, se puede calcular la sensldad de la funcón ojetvo respecto de dchos parámetros. Ello proporconará nformacón para saer cómo se deen varar los parámetros o varales de dseño con el fn de consegur ue la funcón ojetvo sea máxma o mínma; en paso a paso, o aplcando algortmos de optmzacón. EJEMPLO NUMÉRICO En este punto se expone el ejemplo realzado por Benítez (1998) sore un modelo de lmadora, tomando la varante "4" del mecansmo de Whtworth con los sguentes datos: - Acconamento por motor asíncrono de 1.1 Kw. - Velocdad nomnal del motor de 1500 r.p.m. - Reduccón de velocdad entre motor y eslaón de entrada Fuerza de corte 400 N. Con las restrccones sguentes: - Carrera 600 mlímetros. - Carrera de corte 550 mlímetros. - Velocdad de corte nferor a 40 m/mn. - Coefcente de regulardad del motor 1.5%. - Altura máxma del mecansmo 1.5 metros. omando como orgen de coordenadas el punto "B", las condcones de restrccón geométrcas (1) serán las sguentes: (XC XB) (YC Y B) L = 0 (19) (XE XD) (YE YD) L4 = 0 (0) ( XE XC) (YE YD) (XE X D) (YE YC) = 0 (1) ( XE XC) (YE YA) (XE XA) (YE YC) = 0 () Y E - m = 0 (3) Y A h = 0 (4) X A - p = 0 (5) Las condcones de restrccón (19) y (0) ndcan las longtudes constantes de los eslaones "" y "4" respectvamente. La (1) y () ndcan ue los puntos "E", "C", "A" y "D" se encuentran en línea recta y la (3), (4) y (5) ndcan ue la coordenada "y" del punto "E" y las dos coordenadas del punto "A" son constantes durante el funconamento del mecansmo. enendo en cuenta las masas, centros de gravedad y momentos de nerca de los eslaones "", "4" y "6" se determna la matrz de masas del mecansmo. Las fuerzas exterores serán: la fuerza de corte (Fco.) durante la carrera de mecanzado y el par motor a lo largo de todo el cclo. El par motor de un motor asíncrono es funcón de la velocdad de gro. Según Zaalza (1999), el par real de un motor asíncrono de 1.1 Kw. (Fg. 7), se puede ajustar por la sguente ecuacón: PAR = 33.1 S S S 1.56 S 1 (6) sendo S el deslzamento del campo magnétco del motor: S = ( Velocdad del motor) / 1500 (7) Fg. 6 Mecansmo de Whtworth a optmzar En el ue las varales de dseño (Fg. 6) son: ={h, m, p, L, L 4 } Fg. 7 Dagrama de par del motor asíncrono

6 omando como varales de dseño ncales las sguentes dmensones en mlímetros: = {350, 00, 0, 168, 77} se realza la smulacón dnámca sguendo los pasos sguentes: - Cálculo de poscón. Dada la poscón del eslaón de entrada, se otene la poscón de los puntos defndos por las coordenadas naturales: Z x, y - Cálculo de velocdades. Una vez determnada la poscón del mecansmo, con la velocdad angular del eslaón de entrada, se calculan las velocdades de los puntos característcos del mecansmo: ω, x, y x, y - Cálculo dnámco drecto. Conocdas la poscón, velocdades, fuerzas exterores y PAR ue actúan sore el mecansmo, se determnan las aceleracones de los puntos característcos: x,y,x,y,fco.,par x,y - Smulacón dnámca. Con las velocdades y aceleracones en un nstante, se determnan las poscones y velocdades en el nstante sguente: x 1 = x x t (8) y = y y t 1 (9) x 1 = x x t (30) y = y y t (31) 1 - En la nueva poscón, y con las nuevas velocdades, se determna el ángulo y la velocdad angular de la manvela, la fuerza de corte y el PAR: x 1, y 1 Z, ω Z Fco. ω PAR - Se contnúa con la smulacón dnámca hasta otener el máxmo módulo del par, en sea postvo o negatvo. En esa poscón se calcula la sensldad del PAR respecto de las varales de dseño, esto es: - Dedo a las condcones de restrccón ue dee cumplr el mecansmo (carrera de 600 mlímetros y eslaón "4" sufcente largo para llegar del punto "E" al "A"), resulta ue las longtudes "L " y "L 4 " venen mpuestas por las otras varales de dseño y se tene: L = f 1 ( h, m, p) (33) L 4 = f ( h, m, p) (34) - Se elgen unas varacones: h, m y p. Se calculan las varacones: L y L 4 y se compruea la varacón del PAR con la ecuacón (3) para comproar s varía en el sentdo deseado. - Sguendo un proceso teratvo de smulacón dnámca, se calcula la sensldad del PAR y la modfcacón de las varales de dseño hasta consegur ue la sensldad del PAR respecto de las varales de dseño en la poscón en ue se dé el Par máxmo sea cero, momento en el ue se harán logrado las dmensones óptmas. Sguendo el proceso expuesto en los párrafos anterores se ha llegado a unas dmensones óptmas: = {30, 805, 0, 4, 1186} para las ue el par motor máxmo ha pasado de 3.05 a 1.55 N.m, con una reduccón del 49%. REFERENCIAS Baumgarte, J., 197, "Stalzaton of Constrants and Integrals of Moton n Dynamcal Systems", Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, Vol. 1, pp Chang, C. O. and Nkravesh, P. E., 1985, "Optmal Desng of Mechancal Systems wth Constrant Volaton Stalzaton Method", Journal of Mechansms, ransmssons, and Automaton n Desng, Vol. 107, pp García de Jalón, J. y Bayo, E., 1994, "Knematc and Dynamc Smulaton of Multody Systems", New York, Sprnger-Verlag. Benítez, V., 1998, "Optmzacón del Mecansmo de una Lmadora", Proyecto Fn de Carrera, Departamento de Ingenería Mecánca Energétca y de Materales, Unversdad Púlca de Navarra, España. Zaalza, I., 1999, "Síntess Cnemátca y Dnámca de Mecansmos. Manpulador Paralelo 6-RKS", ess Doctoral, Departamento de Ingenería Mecánca Energétca y de Materales, Unversdad Púlca de Navarra, España. dpar dpar dpar dpar dpar,,,, dh dm dp dl dl 4 - Se toman unas nuevas varales de dseño de forma ue s el PAR es postvo, tenda a dsmnurlo y s es negatvo tenda a aumentarlo, sendo la varacón del PAR: PAR= dpar h dpar m dpar p dpar L dpar L 4 (3) dh dm dp dl dl 4