BOLETÍN DE MATRICES 2 IES A Sangriña Curso 2016/ Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss:
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- Inmaculada Peralta Aguilar
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1 *** OBLIGATORIOS *** 1. Efectúa todos los posibles productos: 2. Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss: 3. Sean y. Encuentra X para que cumpla: 3 X 2 A = 5 B 4. Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2x2 que cumplan: 5. Dadas las matrices Calcula: a) (A B) + (A C) b) (A B) C c) A B C 6. Calcula el rango de las siguientes matrices: 7. Sea la matriz y n un número natural cualquiera. Calcula: a) A n b) A 50 A 20 1
2 8. Estudia el rango de las siguientes matrices en función de los valores del parámetro a: 9. Resuelve el sistema hallando X: A X A = 2 B A con y 10. Sean, y : a) Calcula B -1 por Gauss. b) Halla X tal que BX A = C t. c) Determina la dimensión de M para poder calcular AMC. d) Determina la dimensión de N para que C t N sea cuadrada. *** AMPLIACIÓN *** 1. Calcula los valores de x para que la matriz verifique la ecuación A 2 6A + 9I = 0. (Sol. X= 3, y = -8) 1. Siendo,, y Calcula: a) A B b) B D c) 3 B 2 C d) B C e) D D t (Sol.,,, BC no se puede, ) 2. Dada, comprueba (A + I) 2 = 0, donde I es la matriz identidad de orden 3 y 0 la matriz nula también de orden 3. (Sol. Se verifica la igualdad) 3. Halla las inversas de las siguientes matrices: 2
3 (Sol.,, ) 4. Dada, prueba que A 3 es nula. (Sol. Es nula) 5. a) Comprueba si A 2 = 2A I, con e I la matriz unidad de orden 3. b) Calcula A 4 teniendo en cuenta la fórmula anterior. (Sol. a)se verifica. b) ) 6. Estudia el rango de las siguientes matrices: (Sol. rango(a) = 2, rango(b)= 2, rango(c)= 2, rango(d)= 2) 7. Estudia el rango según los valores del parámetro m: 8. Halla dos matrices A y B tales que: ( a)si m=-1 el rango es 2, en otro caso es 3. b)si m=2 o m=3 el rango es 2, en otro caso es 3. c)el rango es 2 para cualquier valor de m) (Sol., ) 9. Calcula A n y B n para las matrices y. (Sol., ) 10. Resuelve XC + A = C + A 2 con y (Sol. Matriz unidad de orden 3) 3
4 11. Determina las matrices de la forma que sean idempotentes. *** GLOSARIO TEORÍA MATRICES *** MATRIZ DE ORDEN mxn: tabla rectangular A de m n números, dispuestos en m filas y n columnas. Los números naturales m y n son las dimensiones de la matriz. Matrices iguales: A = (aij) y B = (bij) son iguales (A B) si tienen iguales sus respectivos elementos ( aij bij, para cualesquiera i, j). Matriz fila: matriz de orden 1 n. Matriz columna: es una matriz de orden m 1. Matriz nula: matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Matriz rectangular: el número de filas es distinto del número de columnas ( m n ). Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas (m n). En una matriz cuadrada de orden n n (o simplemente de orden n): - Diagonal principal: la línea formada por los elementos ij a para los cuales i j: aii. - Traza de A: suma de los elementos de la diagonal principal. Matriz traspuesta de Amxn: A T de orden n m cuyas filas coinciden con las columnas de A. Matriz diagonal: matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal valen cero (aij 0, aij para i j). Matriz escalar: matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales. Matriz identidad (unidad): matriz escalar con todo unos en la diagonal principal. Matriz triangular superior (inferior) los elementos bajo (sobre) de la diagonal principal son 0. Matriz simétrica: si aij aji, para todo i, j. Si es simétrica coincide con su traspuesta y viceversa. Matriz antisimétrica (o alternada): si aij - aji, para todo i, j. Suma de matrices: tienen que tener la misma dimensión. Se suma elemento a elemento: A B aij bij. Matriz opuesta: Si A (aij), A - (aij). Propiedades: A (B C) (A B) C (asociatividad) A B A B (conmutatividad) A O A (elemento neutro) A ( A) O (elemento simétrico) Producto escalar por matriz: k un número real (o escalar), A (aij) matriz: ka k(aij). Propiedades: k(a B) ka kb, (h k)a ha ka, h(ka) (hk)a, 1A A. 4
5 Producto de matrices: A (aij) matriz m p y B (b jk) matriz p n: AB c, es decir, número columnas de A = número de filas de B. El producto NO ES CONMUTATIVO. Propiedades: A(BC) (AB)C (asociatividad) Matriz nihilpotente: si A 2 0. Matriz idempotente: si A 2 A. Matriz involutiva: si A 2 I. Matriz ortogonal: si A A t = I. A(B C) AB AC (distributividad por la izquierda o extracción de prefactor común) (B C)A BA CA (distributividad por la derecha o extracción de postfactor camún) k(ab) (ka)b A(kB) (homogeneidad) Filas (columnas) linealmente dependientes: si al menos una de ellas se puede expresar como combinación lineal de las demás. En caso contrario, son linealmente independientes. Rango de una matriz: número de filas y columnas linealmente independientes. 5
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