1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10

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1 - Resolver los siguientes determinntes usndo propieddes ) ) / ) d) e) f) / / g) / / / / / / / / / / / / / h) / / / / / / / / / / / / / / / i) / / / / j) / / 8 / k) h k w k w h w h k h k w - Hllr los vlores de C que verifiquen: ) - - ) - Resolver ls siguientes euiones: λ i ) i λ ) λ λ λ

2 - Demostrr que: ) ) ( ) ) ( d d d d d d - Qué suederí en el ejeriio si huiese en l segund fil dos números igules? - Anlir si ls siguientes mtries son singulres (no poseen invers) o no, en el so de que se se posile, hllr su invers (en lgunos sos puede ser onveniente utilir propieddes de los determinntes). A B C D / 8 E F G H - Verifir si ls mtries A B son mtries permutles, es deir A B B A. A B

3 8 - Demostrr que si A B ( AB. ) B. A nn R son regulres (poseen invers), entones: - Cuándo un mtri digonl es inversile uál es su invers? Indir Verddero o Flso, justifindo. ) A A t N A N, n n A R. ) Si A B son mtries udrds demás permutles, entones, A. B es idempotente (o se, igul su udrdo). ) Si A es idempotente B es ortogonl (l invers es igul l trnspuest), entones B t.. A. B es idempotente. d) AB I A.B N A B son idempotentes. e) A B son permutles A - α. I B -α.i son permutles. f) Demostrr que si A B son ortogonles de igul orden, entones A.B es ortogonl. g) El determinnte de tod mtri ortogonl es igul ó Dd l mtri. A ) Clulr de modo que el rngo de A se. ) Hllr Adj( A ) ( pr el vlor de enontrdo). ) A que es igul el produto AAdj. ( A?. ) -Hllr l rterísti (rngo) de ls mtries: A B i i.i C i.i i

4 - Demostrr que si dos mtries son permutles no igules, entones tmién son permutles sus inverss. - Demostrr que si un mtri es simétri ortogonl, entones es involutiv. - Demostrr que si un mtri es involutiv ortogonl, entones es simétri. - Demostrr que si un mtri es involutiv simétri, entones es ortogonl. - Demostrr que el produto entre un mtri su trnspuest d omo resultdo un mtri simétri. 8 - Demostrr que l sum entre un mtri su trnspuest d omo resultdo un mtri simétri. - Demostrr que si A es ortogonl impropi (i.e. Det( A ) ), entones A I - Ddos los vetores: V V Hllr el produto eslr. Qué nomre reien estos vetores?, Dirí lo mismo si V fuese el vetor nulo?. - Hllr l norm de los siguientes vetores normlirlos. V V V

5 - Deir si l mtri A es un mtri ortogonl (justifique su respuest usndo los oneptos vistos en el ejeriio ). En so firmtivo, es propi o impropi?. A é ù ê ú ê ú ê ú - ê ú ë û Resolver los siguientes sistems de euiones lineles. Clsifirlos. ) Por el método de Crmer. ) Por el método de l mtri invers. (Lple). ) Por el método de Guss Jordn. ) ) 8 ) d) e) / / / / / / / / / f). /. / / /. / / / / L mtri del sistem es ortogonl L mtri del sistem es ortogonl g) h) i) j)

6 Dd l tl de insumo-produto orrespondiente un determindo ño. A B DF PT A 8 88 B 8 VA PT ) Otener l mtri de oefiientes fijos l mtri de oefiientes diretos e indiretos (A-I ) -. ) Construir l del ño t en que el vetor demnd finl es: D.F. 8 ) Indir en que pso de l resoluión del prolem se sume que l dquisiión de produtos intermedios de un industri es proporionl l nivel de produto finl de l mism. - Verifir si lguns de ls siguientes uterns onstituen un espio vetoril. ) ( R,, Qi,) ) ( R,, Zi,) ) (,,,) R Ni d) { } (,, Ci,) Constitue d) un suespio vetoril de )? - Estudir l dependeni o independeni linel de los vetores: ) [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] - Determinr de modo que los vetores sen dependientes: ) [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] )

7 8 Epresr V omo ominión linel de V, V V. ) V [ ], V [ ], V [ ], V [ ] ) V [ 8 ], V [ - ], V [ - - ], V [ - ] - Epresr el polinomio Q. omo ominión linel de P, P P. P. P. P.. ) Verifir ul de los siguientes onjuntos de vetores genern el espio ul represent un se del mismo. ( R,, Ri,) S S S S {[, ] [ ] } {[, ] [, ] [ ] } {[, ] [, ] [ ] } {[, ] [, ] [, ] [ ] } Enontrr el vlor de δ pr que l siguiente mtri esté formd por vetores que no sen se der. A δ 8 Demostrr que ulquier se ϕ C, l siguiente mtri siempre tendrá vetores que no son se der. A / / ϕ ϕ / / /

8 8 Ddos los siguientes números en C: ) ) ) i d) i e) I f) (; ) g) (;- ) Se pide: i - Representrlos en los ejes rtesinos. ii - Epresrlos en su form eponenil. iii - Epresrlos en form trigonométri. Ddos los siguientes omplejos epresdos en form polr: ( ρ ; ϕ ) ( ρ ; ϕ ) ρ módulo ϕ ángulo Demostrr que: ) ρ ρ os ϕ ϕ isen ϕ ϕ...[ ( ). ( )] ) ρ ρ os ϕ ϕ isen ϕ ϕ / /.[ ( ). ( )] Demostrr, por el prinipio de induión omplet, l fórmul de Moivre: n n ρ.[ os( n. ϕ) isen. ( n. ϕ)] Siendo [ os º i sen º ] ( / ; / ) ] Hllr: ). ) / ) d) ( / ) Hllr tods ls ríes de ls siguientes euiones: ) ) ) d) / / e) ( -) f) / g) - - h) i)

9 j) k) - l) (Her los últimos tres hiendo visto euiones reipros). 8 Otener ls derivds priles F F de ls siguientes funiones. ) F(,) os( ) ( ) ) F(,) e ln [ sen( )] tg( ) os( ) os[ e ln( )] Otener d d (derive en form implíit). ) os( π ) ln( ) ) ( ) Diferenie totlmente ls siguientes funiones. ) ) e e Integrr utilindo el método de sustituión, por prtes o friones simples. ) tg( d ) ) ) 8 d ( ) ln( d ) d) e sen( d ) d e) f) e e d

10 Respuests del : ) ) ) ) d) e) f) - g) / h) / i) j) k) ) ) ) ½ - / i ½ - / I ) ) λ λ ) λ λ λ ) El determinnte drí ero. ) A - / / / / B - C - No eiste D - /8 / E - No eiste F - / / / / / / / G - No eiste H ) No; AB BA. ) Cundo todos los elementos de l digonl prinipl, son no nulos, su invers es otr mtri digonl on los inversos multiplitivos de d número en l digonl prinipl.

11 ) ) Verddero ) Flso ) Verddero d) Verddero e) Verddero f) Verddero g) Verddero ) ) ) ) A. I ) ρ (A) ρ (B) ρ (C) T ) V. V Son ortogonles. ) V V V V V V / / / / ) L mtri A es ortogonl que sus vetores son vetores ortonormles. (vetores ortogonles on norm igul ). Es propi. ) ) SCD ) SCD ) SI d) SCI e) SCD f) SCD g) SCD h) SI / / i) SI j) / SCI

12 ) A B DF PT A B 8 VA PT ) ) si ) no ) no d) si d es un suespio de ) ) L.I. ) L.D. ) ) -/ -/ ) / ) -, ; 8) ) V (-, ) V (, ) V V ) No se puede. ) q - p p p ) S NO S SI (Bse) S NO S SI ) δ ) ii ) ( ; ) ) ( ; π) ) ( ; π/) d) (; / π) e) ( ; π/) f) ( ; π/) g) ( ; / π) iii ) os i sen ) os π i sen π ) os π/ i sen π/ d) os / π i sen π/ e) [ os π/ i sen π/ ] f) [ os π/ i sen π/ ] g) [ os /π i sen / π ] ). [ os / π i sen / π ] ) / - / [ os π/ i sen π/ ] ) [ os / π i sen π ]

13 . -/ / i -/ - / i. - / - / i / /i. i - i - i - - i d. -i i i - i e. - - f. - g. - h. - i -i i. - - ½ / i ½ - / i j. - / -/ - k. - / / i / - / I 8) ) ) os( ) os( ) F' ( ) ln( sen ) ( ) F os( ) ' ( ) os( ) [ ]{ } tg( ) os( ) F' e ln sen( ) se ( )ln[ sen( )] ot g ( )se[ e ln( )] F ' tg( ) os( ) os( ) e ln [ sen( )] sen[ e ln( )][ e sen( )] os( ) os [ e ln( )] ) ) d ) d d ( ) d ( ) ) ) d / d ) e - (d d) d ) ) ln[os( )] ) ( ) ) [ln( ) ] d) e [ sen( ) os( )] e) [ln( ) ln( ) 8 ] f) ln( e )