Teorema de Green. 6.1 Introducción

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Juan Valverde Miguélez
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SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el.

1 SESIÓN Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne lo lrgo de l curv cerrd que constituye l fronter de. Mtemático Inglés, En su biogrfí ubicd en Green, se destc que El joven George Green solo sistió de form regulr l escuel durnte un ño entre los 8 y 9 ños yudndo su pdre posteriormente... 31

álculo vectoril. Sesión 6 6.2 Sen F (x, y) P (x, y)î + Q(x, y)ĵ (P (x, y), Q(x, y)) un cmpo vectoril en R 2, 1 en un dominio R del plno.

2 álculo vectoril. Sesión Sen F (x, y) P (x, y)î + Q(x, y)ĵ (P (x, y), Q(x, y)) un cmpo vectoril en R 2, 1 en un dominio R del plno. un curv simple, cerrd y orientd en sentido positivo que conform l fronter de un región, contenid en R. entonces r Not 6.1. Formlmente, poniendo d r (dx, ), se tiene que r (P, Q) (dx, ) P dx + Q ( Q dx P ) da (6.1) Luego, el teorem de Green tmbien puede presentrse de l siguiente mner ( Q P (x, y)dx + Q(x, y) dx P ) da (6.2) emostrción: Notr que el teorem de Green (6.2) quedrá demostrdo si se verific que: P P dx da (6.3) y y Q Q da (6.4) x Recordr que un cmpo esclr es 1 en un dominio, cundo él y sus derivds prciles son continus en dicho dominio. Instituto de Mtemátic y Físic 32 Universidd de Tlc

3 álculo vectoril. Sesión 6 Se comprobrá (6.3) pr el cso en que se un región del tipo I (verticlmente simple): { (x, y) R 2 : x b, g 1 (x) y g 2 (x) } ominio vericlmente simple (tipo I) en donde g 1 y g 2 son funciones continus. Esto nos permite clculr l integrl doble del miembro derecho de l ecución (6.3), de l siguiente mner P da b g2 (x) b b b g 1 (x) P (x, y) P y dx g 2 (x) g 1 (x) dx [P (x, g 2 (x)) P (x, g 1 (x))] dx P (x, g 2 (x))dx P dx b P (x, g 1 (x))dx Por otr prte, hor se clcul el ldo izquierdo de l ecución (6.3), expresndo como l unión de l cutro curvs 1, 2, 3 y 4. Sobre 1, se tom x como el prámetro y se escriben ls ecuciones prmétrics como x x, y g 1 (x), x b. Luego b P (x, y)dx P (x, g 1 (x))dx 1 Ls ecuciones prmétrics de 3 son: x x, y g 2 (x), x b. Luego b P (x, y)dx P (x, y)dx P (x, g 2 (x))dx 3 3 Instituto de Mtemátic y Físic 33 Universidd de Tlc

4 álculo vectoril. Sesión 6 Sobre 2 o 4, x es constnte, por lo que dx. Así P (x, y)dx P (x, y)dx 2 4 Finlmente P (x, y)dx P (x, y)dx + 1 P (x, y)dx + 2 P (x, y)dx + 3 P (x, y)dx 4 b P (x, g 1 (x))dx b P (x, g 2 (x))dx Por lo tnto P (x, y)dx de igul form se puede probr (6.4), es decir: P da (6.5) y Q(x, y) Q da (6.6) x Sumndo (6.5) y (6.6), se tiene que: P (x, y)dx + Q(x, y) Por lo tnto, se tiene lo pedido. ( Q x P ) da y Not: Sobre el teorem de Green, en generl, se relizn 3 tipos de ctividdes, sber: Actividd tipo 1: lculr un integrl de líne. Usndo el teorem de Green, clculr F d r P (x, y)dx + Q(x, y). En este cso, se debe en (6.2), clculr el ldo (2), y el vlor obtenido será, luego de este teorem, el vlor de l integrl de line pedido. Ejemplo 6.1. Usndo el teorem de Green, clculr F d r pr el cmpo vectoril y F (x, y) rctn x î + ln(x2 + y 2 ) ĵ y es l siguiente curv, orientd en sentido positivo Instituto de Mtemátic y Físic 34 Universidd de Tlc

5 álculo vectoril. Sesión 6 Solución: Se omo P rctn y x y Q ln(x2 + y 2 ), se tiene que: Q dx P 2x 1 x 2 + y x 2x y2 x 2 + y 2 x 2 x x 2 + y 2 x x 2 + y 2 Luego P (x, y)dx + Q(x, y) π 2 1 π 2 ( Q x P ) da y x x 2 + y da 2 1 r cos θ r 2 cos θ drdθ rdrdθ Ejercicio 6.1. Usr el teorem de Green pr comprobr que x 2 ydx + x 2 y donde es el cudrdo de vértices (, ), (1, ), (1, 1) y (, 1). Actividd tipo 2: lculr un integrl doble ( Q Usndo el teorem de Green, clculr dx P ) dx. En este cso, se debe en (6.2), clculr el ldo (1), y el vlor obtenido será, luego de este teorem, el vlor de l integrl doble pedido. Ejemplo 6.2. Usndo el teorem de Green, clculr (x y)da R Instituto de Mtemátic y Físic 35 Universidd de Tlc

6 álculo vectoril. Sesión 6 donde R es l círculo de rdio 2 y centrd en el origen Solución: Aquí se debe buscr un cmpo vectoril F (P, Q), de modo que Q dx P x y. Un cmpo vectoril que stisfce est condición es: ( ) y 2 F 2, x2 2 L ecución de l circunferenci de rdio 2 y centrd en el origen es (x y)da R r(t) (2 cos t, 2 sin t) con t [, 2π] r 2π 2π π (2 sin 2 t, 2 cos 2 t) ( 2 sin t, 2 cos t)dt ( 4 sin 3 t + 4 cos 3 t)dt 2π 2π ( sin 3 t + cos 3 t)dt sin 2 t sin t + 4 2π (1 cos 2 t) sin t + 4 Actividd tipo 3: Verificr el teorem de Green. cos 2 t cos tdt 2π (1 sin 2 t) cos tdt En este cso, se debe en (6.2), clculr el ldo (1) y el ldo (2), y verificr que mbos vlores son igules. Ejemplo 6.3. omprobr el teorem de Green pr l curv :. Instituto de Mtemátic y Físic 36 Universidd de Tlc

7 álculo vectoril. Sesión 6 y el cmpo vectoril F (x, y) 2x 2 y î + 2xy 2 ĵ. Solución: lculemos en primer lugr, r. L curv, se debe descomponer en 3 curvs { x 2 cos t 1 : y 2 sin t { x t 2 : y { x 3 : y t con π 2 t π con 2 t con t 2 Hciendo los cálculos correspondientes, se obtiene: r 4π, 1 Por lo tnto: Por otr prte, 2 r, 3 r r F d r + F d r + F d r 4π (6.7) ( Q dx P ) dx ( 2y 2 + 2x 2) dx }{{} 4π (6.8) coord. polres omprndo (6.7) y (6.8), se verific el. Ejercicio 6.2. omprobr el teorem de Green pr el cso prticulr en que es un rectángulo: Instituto de Mtemátic y Físic 37 Universidd de Tlc

8 álculo vectoril. Sesión 6 Not 6.2. El teorem de Green tmbién es válido pr regiones como l siguiente: Aquí l curv 1 + 2, y se tiene que P dx + Q P dx + Q + P dx + Q 1 2 Ejercicio 6.3. Evlur ( Q dx P ) dx y 2 dx + 3xy, donde es l fronter de l región nulr de l prte del plno que está entre ls circunferencis x 2 + y 2 1 (curv 2, con orientción negtiv) y x 2 + y 2 4 (curv 1, con orientción positiv). Solución: Por el teorem de Green Instituto de Mtemátic y Físic 38 Universidd de Tlc

9 álculo vectoril. Sesión 6 y 2 dx + 3xy 2π [ x (3xy) ] y (y2 ) da yda sin θdθ [ cos θ] 2π 2π [ r r 2 dr ] 2 1 (r sin θ) rdrdθ 6.3 y áres Verificr que el áre de un región del plno, viene dd por: Are de() ydx, Are de() x, Are de() 1 x ydx 2 Ejercicio 6.4. eterminr el áre encerrd por l elipse x2 + y2 1 2 b 2 Solución: L elipse tiene ecuciones prmétrics x cos t y y b sin t, en donde t 2π. Entonces A 1 x ydx b 2 πb 2π 2π ( cos t) (b cos t) (b sin t) ( sin t)dt dt 6.4 Actividdes 1) Verificr el teorem de Green con el cmpo vectoril F (x, y) (3x + 2y, x y) y l curv dd por r(t) (cos t, sin t), pr t [, 2π] 2) Usr el teorem de Green pr clculr ls integrles del cmpo vectoril F (x, y) lo lrgo de l curv dd: Instituto de Mtemátic y Físic 39 Universidd de Tlc

10 álculo vectoril. Sesión 6 ) F (x, y) (5x 3 + 4y) î + (2x 4y 4 ) ĵ, lo lrgo del círculo (x 2) 2 + y 2 4 recorrido en sentido ntihorrio. b) F (x, y) (α(x) y) î + (x + β(y)) ĵ, donde α y β son funciones reles con primer derivd continu definids en R, lo lrgo de un cudrdo de ldo recorrido positivmente. c) F (x, y) (x 3 y 3 ) î + (x 3 + y 3 ) ĵ, donde es l fronter de l región comprendid entre ls circunferencis x 2 + y 2 1 y x 2 + y ) Evlur xydx + x2 y 3, donde es el triángulo con vértices (, ), (1, ) y (1, 2): ) directmente b) usndo el teorem de Green Respuest ) Usr el teorem de Green pr clculr I 1 I 2, donde I 1 (2x + y) 2 dx (x 2y) 2 1 I 2 (2x + y) 2 dx (x 2y) 2 2 e 1 : λ(t) (t, t 2 ) t [, 1] y 2 : µ(t) (t 2, t) t [, 1]. 5) Usndo el teorem de Green, determinr el áre de l región limitd por ) l curv con ecución vectoril b) l elipse, con ecución vectoril y b constntes. r (t) (cos t, sin 3 t), t [, 2π]. r (t) ( cos t, b sin t), t [, 2π], con 6) ) Se el segmento de rect que une el punto (x 1, y 1 ) con el punto (x 2, y 2 ). Verificr que x ydx x 1 y 2 x 2 y 1 b) Si los vértices de un polígono P, ordendos contr-reloj, son (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), verificr que el áre de este polígono viene dd por: Are de P 1 2 [(x 1y 2 x 2 y 1 ) + (x 2 y 3 x 3 y 2 ) (x n 1 y n x n y n 1 ) + (x n y 1 x 1 y n )] c) Hllr el áre del pentágono de vértices en los puntos (, ), (2, 1), (1, 3), (, 2) y ( 1, 1). Respuest. (c) 4.5. Instituto de Mtemátic y Físic 4 Universidd de Tlc

11 álculo vectoril. Sesión 6 7) Se un región en el plno delimitd por un curv simple y cerrd. ) Usndo el teorem de Green, verificr que ls coordends del centroide de, (x, y), viene ddo por: x 1 x 2 y y 1 y 2 dx 2A 2A donde A es el re de. b) Encontrr el centroide del triángulo con vértices (, ), (1, ) y (, 1). Respuest. (b) (x, y) ( 1 3, 1 3 ). 6.5 esfío dos el cmpo vectoril y î + x ĵ F (x, y) y x 2 + y 2 x 2 + y î + x 2 x 2 + y ĵ 2 L curv, correspondiente l círculo x 2 + y 2 1, con orientción positiv. 1) lculr l integrl de líne de F sobre l curv. ( Q 2) lculr dx P ) dx, donde es l región encerrd por l curv. 3) iscutir si estos resultdos están de cuerdo o no con el. Instituto de Mtemátic y Físic 41 Universidd de Tlc

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