XAX > i 0. i 4 2i. 2 i i 8

Transcripción

1 Álgebra Lineal Caítulo. Tóicos Eseciales y Alicaciones.. Matrices y formas ositivas En esta sección estudiamos matrices ositivas, formas sesquilineales ositivas, y formas cuadráticas ositivas. a. Matrices comlejas ositivas. De nición. Sea A M n (C), se dice que A es ositiva si XAX > ara cada vector X = [x ; : : : ; x n ] C n, donde X = X T. Ejemlo. La matriz i A = i i i 8 es ositiva. En efecto, a + ib a + ib a + ib i i i i 8 a ib a ib a ib = a b a b + a b a b + a + a + b + 8a + b + 8b = (a + b ) + (a b ) + (a b ) + (a + b ) + a + b + b + a + a + b > ara cada vector X = a + ib a + ib a + ib C. Otras caracterizaciones de las matrices comlejas ositivas son las siguientes. Proosición. Sea A M n (C), entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es ositiva (b) La ecuación < X; Y >= XAY de ne un roducto interno en C n. (c) A = A y ara el roducto interno canónico en C n se tiene que (X; XA) > ara cada vector no nulo X de C n. (d) A = A y los menores rinciales de A son ositivos, es decir, todos los determinantes de la forma son ositivos. a a k det.. a k a kk, k n

2 Demostración. (a) ) (b): sean X; Y; Z C n, entonces < X; Y + Z >= XA (Y + Z) = XA (Y + Z ) = XAY + XAZ =< X; Y > + < X; Z >; < :X; Y >= (:X) AY = : < X; Y >; < X; X >= XAX > ara cada X no nulo de C n : Probemos que < Y; X >= < X; Y >. En efecto, sean X; Y C n, entonces < X + Y; X + Y >=< X + Y; X > + < X + Y; Y > = (X + Y ) AX + (X + Y ) AY = XAX + Y AX + XAY + Y AY ero or hiótesis < Z; Z > R ara cada Z C n, or lo tanto < X + Y; X + Y > ; XAX ; Y AY R, luego Y AX + XAY =< Y; X > + < X; Y > R. De igual manera, < X + iy; X + iy >=< X + iy; X > + < X + iy; iy > = (X + iy ) AX + (X + iy ) A (iy ) = XAX + iy AX ixay + Y AY R luego iy AX ixay = i < Y; X > i < X; Y > R. Por lo tanto, < Y; X > + < X; Y >= < Y; X > + < X; Y > = < Y; X > + < X; Y > i < Y; X > i < X; Y >= i < Y; X > i < X; Y > = i< Y; X > + i< X; Y >: Podemos multilicar la segunda igualdad or i y sumarla a la rimera es decir < Y; X > + < X; Y >= < Y; X > < X; Y > < X; Y >= < Y; X > < X; Y >= < Y; X >. Esto comleta la rueba de que < X; Y > de ne un roducto interno en C n. (b))(c): Veamos rimero que A es hermitiana, es decir, A = A. Probemos que a ij = a ji ara cada i; j n. Consideremos los vectores canónicos e i y e j de C n, entonces < e i ; e j >= e i Ae j = a ij < e j ; e i >= e j Ae i = a ji ) a ij =< e i ; e j >= < e j ; e i > = a ji :

3 Recordemos que el roducto interno canónico en C n viene dado or (X; Y ) = XY, luego (X; XA) = X (XA) = XA X = XAX =< X; X > >, ara X no nulo de C n : (c))(d): solo hay que robar lo relativo a los menores rinciales de la matriz A. Para comenzar robemos que det (A) >. Puesto que A es hermitiana, entonces A es diagonalizable, y los valores roios de A son reales. Sea Y un vector roio corresondiente al valor roio, entonces AY = :Y, entonces (AY ) = (:Y ), luego Y A = Y = Y, de donde, (Y ; Y A ) = (Y ; Y ) = (Y ; Y ) = (Y ; Y ) >, y como también (Y ; Y ) >, entonces >. Hemos robado que los valores roios son ositivos. En consecuencia, det (A) >. Ahora notemos que siendo A hermitiana, entonces cada submatriz A k = a a k.. a k a kk, k n es también hermitiana. Además (X k ; X k A k ) > ara cada vector no nulo X k de C k. En efecto, sea X k C k un vector no nulo, comletando con ceros construimos un vector no nulo X de C n, X = [X k j ], uesto que (X; XA) >, entonces a a k a n x x k... a k a kk a kn =... a n a nk a nn x a + + x k a k x a k + + x k a kk = X luego el roducto interno canónico de X con X es ositivo y coincide con (X k ; X k A k ). Por lo robado antes, det (A k ) >. (d))(a): Paso. Veamos que existe una matriz triangular suerior P = [ ij ] con kk = ; k n, y ara la cual se tiene que B =: AP es triangular inferior. La existencia de P se uede lantear de la siguiente manera: b ik = a i k + + a ik k k + a ik kk + a ik+ k+k + + a in nk ) b ik = a i k + + a ik k k + a ik ara cada k > : Como se quiere que B sea triangular inferior entonces también se debe tener que b ik = ara k > i, entonces se debe cumlir que a i k + + a ik k k + a ik = ara k > i

4 es decir se tienen las siguientes relaciones a k + + a k k k + a k = a k + + a k k k + a k =. a k k + + a k k k k + a k k = es decir el sistema a a k.. k. = a k. a k a k k k k a k k debe tener solución ara cada k >. Pero esto está garantizado ya que det (A k ) >. Luego la matriz P existe y AP es triangular inferior. Paso. P es triangular inferior y P B = P AP es también triangular inferior. Sea D =: P AP, entonces D = P A P = P AP ya que A es hermitiana. Siendo D hermitiana y triangular inferior, entonces D = P B es necesariamente diagonal, D = d... d n Paso. Consideremos las columnas B () ; : : : ; B (n) de B y las columnas A () ; : : : ; A (n) de A; entonces : B (r) = A () r + + A (r) rr + + A (n) nr = A (r) + A () r + + A (r ) r ;r De esto se obtiene que la columna r de la submatriz B k es igual a la columna r de la submatriz A k + una combinación lineal de las restantes columnas de esta última matriz. Para efectos del cálculo del determinante se tiene entonces que det (B k ) = det (A k ), k n: De igual forma, consideremos las las de D y de B: D (r) = rb () + + rrb (r) + + rnb (n) = B (r) + + rr B (r )

5 De esto se obtiene que la la r de la submatriz D k es igual a la la r de la submatriz B k + una combinación lineal de las restantes la de esta última matriz. Para efectos del cálculo del determinante se tiene entonces que En total se tiene que det (D k ) = det (B k ), k n: det (A k ) = det (D k ), k n: Pero det (D k ) = d d k = det (A k ) > ara cada k n, entonces todos los elementos diagonales de D son ositivos. Se tiene entonces que D = P AP es diagonal con elementos ositivos or la diagonal. Esto imlica que Y DY =j y j d + + j y n j d n > ara cada vector columna no nulo Y = (y ; : : : ; y n ) T con entradas comlejas. Paso. Para terminar robemos que A es una matriz ositiva. Recordemos que P es una matriz triangular suerior con kk = ; k n, or lo tanto P es invertible. Sea X un vector no nulo de C n, entonces X es también un vector no nulo y existe Y C n no nulo tal que P Y = X, luego X = (P Y ) = Y P y de esta forma es decir, Y DY = Y P AP Y > XAX > : Otra caracterización de las matrices comlejas ositivas corresonde a la descomosición de Cholesky. Proosición. Sea A M n (C). Entonces, A es ositiva si y sólo si existe una matriz invertible P M n (C) tal que A = P P. Demostración. )) Si A es ositiva entonces la ecuación < X; Y >= XAY de ne un roducto interno en C n. Con este roducto interno se uede construir una base ortonormal en C n, los vectores de esta base se ueden disoner en las columnas de una matriz Q. De otra arte, notemos que A es la matriz de este roducto interno en la base canónica de C n, or lo tanto las dos matrices están relacionadas or Q T AQ = E: Como Q es invertible, entonces A = Q T Q. De nimos entonces P = Q, de tal forma que Q T = P. Es decir, A = P P. () Suongamos que existe P invertible tal que A = P P, entonces ara cada vector no nulo X de C n se tiene que P X es no nulo, luego

6 XAX = XP P X = (P X ) (P X ) >. Las ruebas de las roosiciones anteriores muestran ciertas roiedades interesantes de las matrices comlejas ositivas. Proosición. Sea A M n (C) una matriz ositiva. Entonces, () det (A) > () A es invertible () Los valores roios de A son reales ositivos () A es hermitinana y or lo tanto diagonalizable or medio de una matriz unitaria. () A es también ositiva () A T es también ositiva () Para cada k n, A k es también ositiva. b. Matrices reales ositivas. Las matrices reales ositivas se de nen en forma similar al caso comlejo ero con la siguiente modi cación: en la Proosición no es osible demostrar (a))(b) ya que no disonemos de un escalar i tal que su cuadrado sea nulo. Por lo tanto, debemos modi car la de nición de matriz real ositiva de la siguiente manera. De nición. Sea A M n (R), se dice que A es ositiva si A = A T y XAX T > ara cada vector X = [x ; : : : ; x n ] R n. Proosición. Sea A M n (R), entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es ositiva (b) La ecuación < X; Y >= XAY T de ne un roducto interno en C n. (c) A = A T y ara el roducto interno canónico en R n se tiene que (X; XA) > ara cada vector no nulo X de R n. (d) A = A T y los menores rinciales de A son ositivos, es decir, todos los determinantes de la forma a a k det.., k n a k a kk son ositivos. (e) Existe una matriz invertible P M n (R) tal que A = P T P. Proosición. Sea A M n (R) una matriz ositiva. Entonces, () det (A) > () A es invertible () Los valores roios de A son reales ositivos

7 () A es simétrica y or lo tanto diagonalizable or medio de una matriz ortogonal. () A es también ositiva () A T es también ositiva () Para cada k n, A k es también ositiva. Ejemlo. La matriz A = 8 es ositiva. Pero la matriz B = es simétrica ero no es ositiva: De otra arte, la matriz real es tal que 8 8 C = x x x x = : = x + x > ara cada vector no nulo (x ; x ) R. Pero C no es simétrica. También odemos observar que la sola condición de ositividad (sin simetría!) en el caso real no garantiza valores roios ositivos, en efecto los valores roios de C son i; + i (notemos que C no es una matriz ositiva comleja ya que con x = i y con x =, se tiene que x + x = ). Por último veamos que en el caso real, la sola condición de valores roios ositivos no garantiza ser matriz ositiva. En efecto, la matriz real Ejemlo. Calculemos la descomosición de Cholesky de la matriz A del ejemlo anterior: con el SWP obtenemos

8 Comrobemos esta resuesta con el método descrito en la demostración de la Proosición. Podemos tomar la base canónica de R y con el roducto interno inducido or A construimos una base ortonormal de R a través del método de Gram-Schmidt: v = e = (; ; ) v = e < e ; v > < v ; v > v v = e < e ; v > < v ; v > v < e ; v > < v ; v > v Entonces, v = e v = (; ; ) v = (; ; ) = ; ; Normalizando se tiene (; ; ) = (; ; ) ; ; ; ; 8

9 q = v kv k = (; ; ) < v ; v > (; ; ) = = ; ; q = v kv k = ; ; < v ; v > = ; ; q = q = v kv k = ; ; < v ; v > = ; q ; = Por lo tanto 8 ; ; ; ; A = = : c. Formas sesquilineales ositivas Proosición. Sea f una forma sesquilineal de nida sobre un esacio comlejo V de dimensión nita n. Si X es una base de V tal que A = m X (f) es ositiva, entonces ara cualquier otra base Y de V se tiene que B = m Y (f) es también ositiva. Demostración. Sabemos que si C es la matriz de cambio de X a Y entonces Sea X un vector no nulo de C n, entonces B = C T AC: XBX = XC T ACX = XC T AC X T T = XC T A C T T X T = XC T A XC T = Y AY > ya que Y = XC T es no nulo. 9

10 De nición. Sea f una forma sesquilineal de nida sobre un esacio comlejo V de dimensión nita n. Se dice que f es ositiva si existe una base X en V tal que m X (f) es ositiva. Notemos que la matriz A de una forma sesquilineal comleja ositiva f es siemre hermitiana, or lo tanto, ara A valen las roiedades resentadas en las Proosiciones, y. d. Formas bilineales ositivas Proosición. Sea f una forma bilineal simétrica de nida sobre un esacio real V de dimensión nita n. Si X es una base de V tal que A = m X (f) es ositiva, entonces ara cualquier otra base Y de V se tiene que B = m Y (f) es también ositiva. Si A es la matriz de una forma bilineal simétrica ositiva f, entonces ara A valen las roiedades resentadas en las Proosiciones y. e. Formas cuadráticas ositivas De nición. (a) Sea q una forma cuadrática de nida a artir de una forma sequilineal hermitiana f sobre un esacio V, se dice que q es ositiva si existe una base X en V tal que la matriz de f en la base X es ositiva. (b) Sea q una forma cuadrática de nida a artir de una forma bilineal simétrica f sobre un esacio V, se dice que q es ositiva si existe una base X en V tal que la matriz de f en la base X es ositiva. Corolario. La diagonalización de una forma cuadrática ositiva mediante el método de valores roios exuesto en el Teorema de la Lección del Caítulo tiene sólo coe cientes ositivos: los valores roios de la matriz de la forma cuadrática.