Lección: Introducción a la Química Cuántica

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1 Lección: Introducción a la Química Cuántica TEMA: Introducción I.A. Espectro discreto I.B. Espectro continuo II. Mecánica Cuántica II.A. Concepto de estado II.B. Función de estado II.C. Operadores II.D. El principio de incertidumbre.. 17 Adolfo Bastida Pascual Universidad de Murcia. España.

2 I.A. Espectro discreto: Definición de probabilidad 2 Espectro discreto Número fínito de posibles resultados de las medidas Ej. Lanzamiento de una moneda: Espectro = 1,2 Ej. Lanzamiento de un dado: Espectro = 1,2,3,4,5,6 Probabilidad P N Frecuencia de aparición de cada resultado Número de medidas en que se obtiene N P N = Número de medidas posibles Normalización P i = 1 i Ej. Lanzamiento de una moneda: P 1 = 2 1 = P 2 Ej. Lanzamiento de un dado: P 1 = 1 6 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6

3 I.A. Espectro discreto: Representación gráfica 3 Ej. Lanzamiento de un dado: P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = 1 6

4 I.A. Espectro discreto: Representación gráfica 4 Ej. Lanzamiento de un dado real: P 1 = 0.14,P 2 = 0.17,P 3 = 0.13,P 4 = 0.19,P 5 = 0.21,P 6 = 0.16

5 I.A. Espectro discreto: Valor medio de una medida Valor medio de una medida f 5 N medidas f 5, f 3, f 1, f 1, f 3,... media = 1 N ( f 5 + f 3 + f 1 + f 1 + f ) = 1 N ( f 1N 1 + f 2 N ) = f 1 N 1 N + f N 2 2 N +... f = f i P i i

6 I.A. Espectro discreto: Valor medio de una medida 6 Ej. Lanzamiento de un dado: N = = 21 6 = N = = 1.8 N N

7 I.A. Espectro discreto: Desviación cuadrática media 7 Desviación cuadrática media f Medida de la separación media de los valores de una muestra respecto a su valor medio Medidas: f 1, f 2, f 3,... Valor medio desviaciones = f f = f f = 0 ( f ) 2 = ( f f ) 2 = f 2 2 f f + f 2 = f 2 2 f f + f 2 f = f 2 f 2

8 I.B. Espectro continuo: Densidad de probabilidad 8 Espectro continuo Número infínito de posibles resultados de las medidas τ (a,b). Carece de sentido preguntar por la probabilidad de un resultado concreto. Densidad de probabilidad ρ τ Describe como está repartida la probabilidad entre los posibles resultados de la medida ρ τ = dp dτ P(τ (τ 1,τ 2 ))= Normalización τ ρ τ dτ = 1 τ2 τ 1 ρ τ dτ

9 I.B. Espectro continuo: Densidad de probabilidad 9 Ej. Lanzamiento de un anillo ρ x = dp dx P(x [x 1,x 2 ]) = x2 x 1 ρ x dx L Normalización ρ x dx = 1 0 L ρ x = cte. ρ x dx = 1 ρ x = 1 0 L L/2 P(x [0,L/2]) = ρ x dx = 1 L/2 dx 0 L 0 = 1 2

10 I.B. Espectro continuo: Valor medio de una medida 10 Valor medio de una medida f f = Ej. Lanzamiento de un anillo x = L x 2 = L τ f τ ρ τ dτ 0 xρ x dx = 1 L 0 x2 ρ x dx = 1 L L 0 xdx = L 2 L 0 x2 dx = L2 3

11 I.B. Espectro continuo: Desviación cuadrática media 11 Desviación cuadrática media f f = f 2 f 2 Ej. Lanzamiento de un anillo x x = 2 x 2 = L 12

12 II.A. Concepto de estado: Estado clásico II. Mecánica Cuántica 12 Mecánica Clásica El estado del sistema está caracterizado por las posiciones y momentos de todas las partículas del sistema ( r, p) p = m d r dt Si se conocen estas magnitudes a un tiempo dado ( r(0), p(0)) se pueden conocer a cualquier tiempo posterior ( r(t), p(t)) o anterior ( r( t), p( t)) mediante la segunda ley de Newton F = m d 2 r dt 2

13 II.A. Concepto de estado: Estado cuántico II. Mecánica Cuántica 13 Mecánica Cuántica El estado del sistema está caracterizado por una función que depende de las coordenadas de las partículas del sistema y del tiempo ψ( r,t) denominada función de estado. El módulo al cuadrado de la función de estado ψ( r,t) 2 es la densidad de probabilidad del sistema dp( r [ r, r + d r]) = ψ( r,t) 2 d r Módulo de un número complejo a = a r + ia i a 2 = a a = (a r + ia i )(a r ia i ) = a 2 r + a 2 i

14 II.B. Función de estado II. Mecánica Cuántica 14 Interpretación probabilística P(x [x 1,x 2 ]) = x2 x 1 ψ(x,t) 2 dx La función de estado ha de comportarse bien: a) Normalizable r ψ( r,t) 2 d r = 1 b) Unievaluada La densidad de probabilidad solo puede tomar un único valor en un punto del espacio c) Contínua No puede haber saltos en la densidad de probabilidad

15 II.C. Operadores II. Mecánica Cuántica 15 Cada magnitud física tiene asociado un operador que se obtiene a partir de la expresión clásica de la magnitud mediante el denominado principio de correspondencia x ˆx p x ˆp x = i d dx Ej. Operador energía cinética T = p2 2m ˆT = ˆp2 2m = 1 2m Ej. Operador Hamiltoniano ( i d dx ) 2 = 2 2m d 2 dx 2 E = p2 2m +V (x) Ĥ = ˆT + ˆV (x) = 2 d 2 2m dx 2 + ˆV (x)

16 II.C. Operadores: Resultado de una medida II. Mecánica Cuántica 16 Si se mide una magnitud A cuyo operador mecano-cuántico es  los únicos resultados posibles de la medida a 1,a 2,... son aquellos que satisfacen la denominada ecuación de autovalores Âϕ i = a i ϕ i i = 1,2,... Los números a 1,a 2,... se conocen como valores propios del operador  y las funciones ϕ i son sus correspondientes funciones propias. Si la función de estado de un sistema ψ( r,t) es igual a la función propia ϕ i de un operador  entonces el único resultado posible de la medida de la magnitud A es el autovalor a i.

17 II.D. El principio de incertidumbre II. Mecánica Cuántica 17 Valor medio de una medida  = r ψ ( r,t)âψ( r,t)d r Desviación cuadrática media A = Â2  2 Principio de incertidumbre de Heisenberg x p 2