Modelos probabilísticos

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1 Modelos probabilísticos Variables aleatorias continuas Carlos Gamero Burón José Luis Iranzo Acosta Departamento de Economía Aplicada Universidad de Málaga Parcialmente financiado a través del PIE3-4 (UMA) Parcialmente financiado a través de PIE3-4 (UMA)

2 Estadística I Bloque II GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS VARIABLE ALEATORIA Y MODELOS PROBABILÍSTICOS Tema 4. PROBABILIDAD Tema 5. VARIABLE ALEATORIA Tema 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Tema 7. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Tema 7: MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 7.. Introducción 7.. Distribución Uniforme 7.3. Distribución Gamma 7.4. Distribución Eponencial 7.5. Distribución Ji-dos 7.6. Distribución Normal 7.7. Distribución t de Student 7.8. Distribución F de Snedecor 7.9. Distribución normal bivariante

3 7.. Introducción Recordemos que un modelo probabilístico es una representación matemática deducida de un conjunto de supuestos con el doble propósito de estudiar los resultados de un eperimento aleatorio y predecir su comportamiento futuro, cuando se realiza bajo las mismas condiciones dadas inicialmente. El modelo permite conocer la distribución de probabilidad de los valores que toma la variable aleatoria, de ahí que también se mencione con el nombre de distribución de probabilidad. Modelos probabilísticos para variables aleatorias continuas. Distribución Uniforme. Distribución Gamma 3. Distribución Eponencial 4. Distribución Ji-dos 5. Distribución Normal 6. Distribución t de Student 7. Distribución F de Snedecor 8. Distribución Normal bivariante 3

4 7.. Distribución Uniforme Es el modelo más simple Aparece cuando una variable toma valores dentro de un intervalo [ a, b ] y su función de densidad permanece constante dentro de ese intervalo Esto implica que la probabilidad de que la variable tome valores en subintervalos de igual amplitud es la misma. Diremos que una variable aleatoria tiene una distribución uniforme en el intervalo [ a, b ] si su función de densidad es la siguiente: si a b f ( ) = b a en el resto [ ] ~ U a, b En el denominador figura la amplitud del intervalo dominio de f() Representación gráfica: f(),35,3 Figura 5.6 Distribución Uniforme (función de densidad) [, ] U a b,5,,5,,5, También recibe también el nombre de distribución rectangular. a b 4

5 Se comprueba fácilmente que es función de densidad Función de distribución: < a a F( ) = a b b a > b Gráficamente: Figura 5.7 Distribución Uniforme (función de distribución) f(),8,6 [, ] U a b,4, Cálculo de probabilidades: muy simple a b P F F a a b a b a b a ( ) = ( ) ( ) = =. La probabilidad de que la variable uniforme tome valores en un intervalo, sólo depende de la amplitud de dicho intervalo determinado [ ] ( ), de manera que las probabilidades de intervalos con la misma amplitud serán idénticas. 5

6 Características: b + a µ = = a) Esperanza: E[ ] Es el punto medio del intervalo. La mediana de la distribución coincide con la media y carece de moda (no tiene máimo absoluto). b) Varianza: σ µ ( µ ) = = ( b a) Un caso particular de distribución uniforme, de uso muy etendido, es la distribución uniforme en el intervalo[, ], es decir, ~ U [,] : < f ( ) = F( ) = en el resto > [ ] = = Var[ ] = σ = E µ Aplicaciones de la distribución uniforme:. Situaciones de absoluta incertidumbre respecto a la probabilidad de los resultados de un eperimento aleatorio (se admite que son equiprobables).. Redondeo de las diferencias entre valores observados y reales. Se supone que el error se distribuye uniformemente en el intervalo fijado por el redondeo (por ejemplo, de -,5 a +,5). 3. Aproimación de una distribución distinta de la uniforme en un intervalo muy pequeño. 4. La distribución uniforme [,] se utiliza en la generación de valores aleatorios (muestras) de cualquier variable. 6

7 Ejemplo: Una empresa tiene una curva de costes que viene dada por la siguiente función: C = + donde es la demanda. En el mercado vende cada unidad de su producto a 5 euros. Si la empresa considera que la demanda se distribuye uniformemente en el intervalo [ 5,3 ], cuál sería el beneficio esperado? Resolución: = "demanda en el intervalo [5,3]" U [ 5,3 ]. si 5 3 f ( ) = 3 5 en el resto El beneficio será B = I C = p C( ), donde: I = Ingresos, C = Costes y p = precio/unidad. Sustituyendo: B = I C = 5 ( + ) = 3. El beneficio esperado vendrá dado por: E[ B] E[ ] E[ ] Dado que se distribuye uniformemente: a + b E[ ] = µ = = = 75 unidades de manera que: E[ B] E[ ] = 3 = 3. = 3 = 3 75 = 75 euros. También podríamos haber calculado como: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] E B = E I C = E I E C = 5E + E = = 75 ingresos costes esperados esperados 7

8 7.3. Distribución Gamma Utilidad: ) Se trata de una familia de distribuciones. Es una distribución biparamétrica de parámetros α y β, de manera que, en función de los valores de sus parámetros, nos encontramos con otras distribuciones con nombre propio en Estadística: - Distribución de Erlang cuando α es entero. - Distribución eponencial cuando α =. - Distribución Ji-dos de parámetro cuando α = y β =. ) Se utiliza para el estudio de la vida de un equipo industrial, como modelo para tiempos de espera en Teoría de Colas y también para modelizar la distribución de la renta personal. Su nombre procede de la relación que tiene con una función matemática, la función gamma de Euler, que tiene la siguiente epresión: Γ ( α) = α y y e dy que es convergente para α > y es continua. Función de densidad: α β e > ; α, β > α f ( ) = Γ ( α) β en el resto f() cumple las dos condiciones necesarias para ser función de densidad. Notación abreviada: ~ G( α, β ) o también ~ Γ ( α, β ) 8

9 Interpretación de los parámetros: distribución biparamétrica ( α, β ).. Al parámetro α se le conoce como parámetro de forma, pues el perfil de esta distribución cambiará según lo haga este parámetro (figura 5.8): - Si α > la distribución es campaniforme y asimétrica a la derecha, tendiendo a la simetría cuando crece α. Alcanza su máimo cuando = β ( α ), de forma que para un valor de β dado, a medida que crece α, el máimo de la función tiende a desplazarse a la derecha y la función se hace más simétrica. - Si α la distribución gamma tiene forma de L. Figura 5.8 Distribución Gamma (función de densidad para distintos valores de α) f(),8,7,6,5 G(,) G(,) G(3,) G(5,),4,3,, 5 5. Al parámetro β se le conoce como parámetro de escala. Gráficamente, un cambio en β estirará o comprimirá la curva, pero no alterará su perfil general (figura 5.9): 9

10 Figura 5.9 Distribución Gamma (función de densidad para distintos valores de β) f(),8,7,6,5 G(;,5) G(,) G(;,5) G(,),4,3,,, 5 5 Características de la distribución: a) Función generatriz de momentos M ( t) = para t <. ( βt) α β b) Esperanza: E[ ] dm ( t) = µ = = αβ. dt t= d M ( t) ( ) = = =. dt αβ t= c) Varianza: Var σ E[ ] Fácilmente se comprueba que: Si β = entonces µ = σ Si β > entonces µ < σ Si β entonces µ σ. < >

11 Propiedad reproductiva: Supongamos que,,, n son n variables aleatorias independientes tales que G( α, β ) con i =,,..., n. Entonces: i i Demostración: n n Y = i G αi, β i= i= t( n ) t t t n t t t n ty M Y ( t) = E e = E e = E e e e = E e E e E e = por independencia = M ( t) M ( ) ( ) para t M t = = n t < n α α αn ( βt) ( βt) ( βt) α β i ( t) i β = n Esta es la función generatriz de momentos de una G αi, β, luego por el i= Teorema de Unicidad de la función generatriz de momentos, n Y G αi, β. i= Aplicación de la distribución gamma a la modelización de tiempos de espera en la Teoría de Colas Cuando el parámetro α es entero, a la distribución gamma se le conoce también con el nombre de distribución de Erlang, y entonces se relaciona con la distribución de Poisson: si = número de sucesos en un intervalo de tiempo t con P( λ ), entonces T = "tiempo de espera hasta que ocurra el suceso α ésimo" se distribuye T G α, β =, λ de forma que P ( T > t ) = P ( α ).

12 Piénsese, por ejemplo, en que la probabilidad de que una operadora tenga que esperar más de 5 minutos hasta recibir la quinta llamada en una centralita es igual a la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas (cuatro o menos) en quince minutos. Ejemplo: Supongamos que el número de llamadas telefónicas que llegan a una centralita sigue una distribución de Poisson de media 4 cada 5 minutos. Cuál es la probabilidad de que la operadora tenga que esperar más de un minuto antes de que se produzcan dos llamadas? Solución: Vamos a hacer que la unidad temporal sea el minuto, de modo que la 4 intensidad del proceso de Poisson es λ = : 5 = Número de llamadas en un intervalo de tiempo de minuto P λ = 4. 5 T representa el tiempo de espera en minutos hasta que se recibe la segunda llamada, de manera que: T = "Tiempo en minutos hasta recibir la segunda llamada" 5 T G α =, β = =. λ 4 Hay que calcular P( T > ). Podría hacerse a partir de la distribución gamma, calculando la siguiente integral definida: 4 t=+ t 5 P( T > ) = te dt t= 5 Γ () 4

13 Dada la relación con el proceso de Poisson, resulta más cómodo resolver este ejercicio de manera eacta de la siguiente forma teniendo en cuenta que: La probabilidad de tener que esperar más de minuto hasta la segunda llamada es igual a la probabilidad de que se reciban menos de dos llamadas en un minuto: e e 5 5 P( T > ) = P( ) = P( = ) + P( = ) = + =!! = e + e = e =, De tal forma que los cálculos se hacen con la distribución de Poisson, sin tener que integrar. 3

14 7.4. Distribución Eponencial Una variable aleatoria se dice que se distribuye según el modelo eponencial de parámetro β cuando su función de densidad se epresa como: β e > ; β > f ( ) = β en el resto. Como notación abreviada emplearemos la siguiente: ~ Ep( β ). Aplicaciones: La distribución eponencial es un caso particular de la distribución de Erlang (Gamma con α entero) en la que el parámetro α toma el valor. Por ello es un modelo que se presenta con frecuencia para modelizar:. La distribución del tiempo de espera hasta la ocurrencia de un suceso de Poisson.. Tiempo transcurrido entre la presentación de sucesos consecutivos de Poisson. 3. La duración de vida de ciertos elementos que puede considerarse como el tiempo que transcurre hasta que se produce la etinción, avería, fallo etc. Relación entre la distribución eponencial y la Poisson: Si = número de sucesos en una unidad de tiempo con P( λ ), entonces T = "tiempo hasta ocurrencia de un suceso" con Importante: la unidad temporal debe ser la misma. T Ep β = λ 4

15 Características: La función generatriz de momentos y las características (media, varianza) de la distribución eponencial se deducen del hecho de ser un caso G α, β con α = : particular de la distribución ( ) M ( t ) G (, ) α β Ep( β ) ( α = ) M ( t) = ; t < M ( ) ; ( βt) α t = t < β ( βt) β E[ ] = µ αβ β Var ( ) σ = αβ Obsérvese que el valor esperado y la desviación típica de una distribución eponencial coinciden. Forma de la distribución: La función de densidad tiende a cero más deprisa cuanto menor es el valor de β (menor tiempo medio) es decir, cuando mayor es la intensidad de la distribución de Poisson subyacente. β f().8.6 Ep() Ep(,33) Ep() Ep(4)

16 Función de distribución: t t β β β β β F( ) = P( ) = f ( t) dt = e dt e e e e = = + = β F() proporciona la probabilidad de que ocurra un suceso (por ejemplo, el fallo en una máquina) en un periodo de tiempo inferior o igual a. Ahora bien, como P( ) = P( > ), se tiene que: P( > ) = e β es la probabilidad complementaria a la anterior, es decir, la probabilidad de que no se produzca ningún suceso en un intervalo de tiempo. Es, por tanto, la probabilidad de que el tiempo hasta que ocurra un suceso (por ejemplo, el fallo de un componente) sea mayor que. Es por ello que la función P( > ) recibe el nombre de función de fiabilidad o función de supervivencia. Propiedades:. Propiedad de falta de memoria: Se cumple que la probabilidad de que la vida de un elemento sea superior a + h, habiendo sobrevivido el tiempo, es igual a la probabilidad de supervivencia para el período h: P( > + h / > ) = P( > h) Dicho de otro modo, la probabilidad de que no se produzca un suceso (fallo, avería, etc.) durante un período h es independiente de lo que haya sucedido antes. Por eso esta propiedad se conoce como de falta de memoria. 6

17 ({ } { }) P > + h > P( > + h) P( > + h / > ) = = = P( > ) P( > ) ( + h ) β e β = = e = P( > h). β e. Distribución de la suma de eponenciales independientes: h Supongamos que,,, n son n variables aleatorias independientes tales que Ep( β ) con i =,,..., n. (con igual parámetro β ). Entonces: Ejemplo: i n = i i= (, ) Y G n β La duración de una bombilla antes de fundirse sigue una distribución eponencial de media 8 meses. Se pide: ) Calcular la probabilidad de que una bombilla seleccionada al azar tenga una vida entre 3 y meses. ) Calcular la probabilidad de que una bombilla, que ha durado ya más de meses, dure más de 5 meses. T = tiempo de duración de la bombilla T ~ E( β = 8 ). f ( ) ) e β β > ; β > = ( ) en el resto. F( ) = P = e β P(3 T ) = F() F(3) = e e = e e =, 464 ) por la propiedad de falta de memoria 5 8 P( T > 5 / T > ) = P( T > 5) = e =,534. Veámoslo mediante la relación entre Poisson y eponencial: 7

18 Queremos conocer P( T > 5). Esta situación es equivalente a que no se rompa ninguna bombilla en 5 meses. El número de bombillas que se rompen en un mes sigue una distribución de Poisson de parámetro P µ = =. β 8 Por la propiedad reproductiva de la distribución de Poisson, el número de bombillas que se rompen en 5 meses seguirá una 5 distribución Y P µ =. Por tanto: e P( T > 5) = P( Y = ) = = e =,534! Como vemos, el resultado obtenido es el mismo. 8

19 7.5. Distribución Ji-dos Función de densidad: La distribución Ji-dos es un caso particular de la Gamma con parámetros β = y α = /, siendo un entero positivo, es decir, G α =, β =. Su función de densidad es: e > > f ( ) = Γ en el resto Es una distribución uniparamétrica (parámetro ) denominado grados de libertad: χ Forma de la distribución: Cuando =, eponencial ( α = = ; β = ) f() v= v=3 v=5 v=

20 Aplicaciones: De gran interés, muy utilizada en Inferencia Estadística. Como veremos más adelante, esta distribución puede definirse sin recurrir a la distribución Gamma, como suma de normales tipificadas independientes elevadas al cuadrado. Características: Se deducen del hecho de ser un caso particular de la distribución G α, β con α = / y β = : M ( ) ( t ) E[ ] µ Var G ( α, β ) M ( t) = ; t < ( βt) α β χ ( α = / β = ) M ( t) = ; t < ( t) = αβ = ( ) σ = αβ = Vemos que la esperanza de la distribución Ji-dos es igual al número de grados de libertad, mientras que la varianza, al doble. Propiedad reproductiva:,,, n son n variables aleatorias independientes tales que χ con i =,,..., n, entonces: Si i i Y = i= n i χ i = n i= i i=. Es consecuencia inmediata de la propiedad reproductiva que se verifica para la gamma, cuando β permanece constante. Dado que

21 i i G i= n n,, Y = i G...,, i= que es una con n grados de libertad. χ Obtención de probabilidades: Se puede realizar mediante el manejo de tablas, en las que aparece tabulada la función de distribución para distintos valores de (véase Aneo 5.). Veamos algunos ejemplos:. P( χ5 ) = F ( ) = 9, 4 9, 4,9. tabla f() χ 5 F( ) =, P( χ ) = F ( ) = 7, 4 7, 4,5. tabla 3. P( χ5 ) P( χ5 ) F ( ) 7, 6 = 7, 6 = 7, 6 =,5 =,95. tabla

22 4. P( χ ) P( χ ) P( χ ) 3,94 3,9 = 3,9 3,94 =,99,5 =,94. tabla También podemos estar interesados en obtener valores concretos de la variable (valores críticos) que cumplen una condición en términos de probabilidad: P χ7 a =,5 F a =,5 a =,69.. ( ) ( ) P χ b =,95 F b =,95 b = 8,3.. ( ) ( ) 3. ( χ3 ) ( χ3 ) P c =, P c =, F( c) =,9 c = 9,8. Uso para la obtención de probabilidades de una gamma: Si G( α, β ) entonces la variable Ejemplo: Y = χ, donde = α β Supongamos que el número de clientes que llega a la ventanilla de un banco sigue una distribución de Poisson con media igual a personas por hora. Cuál es la probabilidad de que el cajero tenga que esperar más de 47,5 minutos antes de que llegue el décimo cliente? Tomando como unidad de tiempo el minuto, se tiene que: = nº de personas que llegan a la ventanilla en hora P ( µ = ) Y = nº de personas que llegan a la ventanilla en minuto Y P λ = = P λ = 6 3 T = Tiempo de espera en minutos hasta el décimo cliente

23 T ~ G α =, β = = 3 λ La probabilidad solicitada es: T 47,5 P( T > 47,5) = P > = P( χ > 3, 4) = β 3 T donde χ β ( = α = ) ( ) = P χ 3, 4 =,95 =,5. tabla Este ejercicio también puede resolverse utilizando la distribución de Poisson. El número de personas que llegan a la ventanilla en 47,5 minutos es una variable W que sigue una distribución de Poisson de parámetro µ = λ 47,5 = 47,5 = 5,75. De esta forma, 3 podemos establecer la siguiente igualdad de probabilidades: w= 9 ( ) ( ) P( T > 47,5) = P W 9 = P W = w w= En este caso, para obtener las probabilidades de Poisson a partir de sus tablas aproimaríamos la media de la distribución a 5. 3

24 7.6. Distribución Normal Utilidad: La distribución normal es, sin duda, el más importante de los modelos probabilísticos. Es una distribución clave para la Inferencia Estadística. Origen: siglo VIII La distribución empírica de los errores de medida tiene una gran regularidad: forma acampanada y simétrica - Los errores tendían a concentrarse en el centro de la distribución y - errores muy grandes poco frecuentes, tanto positivos como negativos..5 f().45.4 (, ) N µ σ µ Distintos nombres: curva de Gauss, campana de Gauss, distribución de Laplace-Gauss, modelo normal o distribución normal. Ejemplos: la distribución normal es la más adecuada para - datos meteorológicos como la temperatura o la cantidad de precipitaciones, - las calificaciones correspondientes a pruebas de aptitud, - las alturas de individuos de una edad y seo dado, - las medidas físicas de productos manufacturados, etc. 4

25 Conveniencia del supuesto de normalidad: a) Sus propiedades matemáticas. b) Cuando el comportamiento de una variable aleatoria es el resultado de una combinación de muchas causas relacionadas y poco importantes, tiende a distribuirse normalmente (Teoremas Centrales del Límite). Función de densidad: µ σ f ( ) = e < < < µ < σ > σ π Notación abreviada: N ( µ σ ) Forma de la distribución:,..5 f().45.4 / σ π.35 (, ) N µ σ µ σ µ µ + σ. En = µ alcanza su máimo la función de densidad, con f ( µ ) =. σ π. Puntos de infleión (valores en los que se anula su segunda derivada): µ σ y µ + σ. 3. La función de densidad normal es simétrica respecto a la recta = µ, ya que se verifica que f ( µ + k) = f ( µ k). 4. Presenta una asíntota horizontal en la recta y =, es decir, en el eje de abscisas. 5

26 Características de la distribución normal: a) Esperanza: E[ ] = µ µ t+ σ t M ( t) = e < t <. t+ M ( t) = ( µ + σ t) e µ σ t [ ] () ( ) E = M = µ + e = µ b) Varianza: Var( ) = σ µ t+ σ t µ t+ σ t ( ) M ( t) = σ e + µ + σ t e M () = σ + µ ( ) ( ) Var( ) = M M = σ + µ µ = σ. Efectivamente, µ y σ son la media y la varianza de la distribución normal. La esperanza es un parámetro de posición y sus distintos valores lo único que producen son traslaciones horizontales de la curva.4.35 N ( µ, σ ) N ( µ, σ ).3.5. µ < µ σ = σ = σ µ µ 6

27 Por su parte, σ es un parámetro de escala cuyas variaciones afectan a la dispersión de la variable (, ) N µ σ µ = µ = µ σ < σ (, ) N µ σ c) Momentos con respecto a la media: los de orden impar son todos cero µ = µ = µ = = debido a la simetría de la distribución respecto al ( ) 3 5 eje = µ. Los coeficientes de asimetría y curtosis para la distribución normal tienen la siguiente epresión: µ 3 4 γ = = γ 3 = µ 3 = 4 σ σ Distribución normal tipificada N(,) µ Estadísticamente, tipificar una variable supone restarle a cada valor su media (constante) y dividirla por su desviación típica (constante): Z = µ σ. µ,, entonces Z = N(,). σ Si N ( µ σ ) La función de densidad de una normal tipificada o estándar es: Si Z~N(,) entonces z f ( z) = e < z < +. π 7

28 Cálculo de probabilidades en la distribución normal: Para obtener la probabilidad P( a b) habría que calcular la siguiente integral:, con ( ) ~ N µ, σ, en principio µ σ P ( a b b b ) = f ( ) d =. a a σ π e d La resolución de integrales sobre funciones de densidad normales resulta complicada, lo que lleva a la utilización de tablas. Pero precisaríamos tablas con 3 entradas ( µ, σ,a) ó ( b) µ, σ,, lo que resulta imposible, teniendo en cuenta que µ y σ pueden tomar infinitos valores distintos (recordemos que < µ < + y σ > ). Solución: tipificar la variable: mediante la tipificación conseguimos N µ, σ a partir de la calcular probabilidades de cualquier distribución ( ) distribución N (, ). Veámoslo: a µ µ b µ a µ b µ P( a b) = P = P Z = σ σ σ σ σ ( ) = P z Z z = F ( z ) F ( z ) Z Z Por tanto, la probabilidad buscada es eactamente igual a la probabilidad z, z. de que la normal tipificada tome valores en el intervalo [ ] 8

29 f(z), f() Z N (,) Tipificación (, ) N µ σ z -4 9 z a µ b z, Eisten tablas que proporcionan valores aproimados de la función de distribución FZ ( z ) para distintos valores de z. Lo que proporcionan es, pues, la probabilidad acumulada a la izquierda de un punto concreto z. (véase Aneo 5.) Figura 5.8 Distribución Normal Tipificada f(z) ( ) P Z z = F( z ) F ( z ) z4 z 9

30 Como la función de densidad de la distribución normal es completamente simétrica respecto a µ= es que F( z) = F( z). Distribución Normal Tipificada P Z z = P Z > z ( ) ( ) f(z) F ( z ) F ( z ) z4 P Z = F Z =,5, de manera que a valores negativos de z le corresponden probabilidades acumuladas inferiores a,5. Además puede observarse en la gráfica que: ( ) ( ) La tabla de la distribución normal contempla valores de z con dos decimales entre -3,59 y 3,59. El primer decimal se lee en la primera columna de la izquierda, mientras que el segundo decimal se lee en la primera fila de la tabla. El cuerpo central de la tabla nos da los valores de la función de distribución FZ ( z ), es decir, la probabilidad acumulada hasta el valor z seleccionado. Ejemplos:. Con Z N ( ) z,, calcule las siguiente probabilidades: a) P( Z ) = F Z ( ) = tabla 3, 3,,9993. b) P( Z ) P( Z ) F Z ( ) tabla, =, =, =,8849 =,5. z 3

31 c) P( Z ) FZ ( ) FZ ( ) tabla, 3,85 =,85, 3 =,83,93 =, Obtener el valor de k (valor crítico): a) P( Z k ) P( Z k ) =,946 =,946 =,754. Buscando esa probabilidad en la tabla tenemos que k=,54. b) P( k Z ) F ( ) F ( k ),8 =,499,8 =,499. y dado que, según la tabla, ( ) ( ) ( ) Z F,8 =, 486, Z F k = F,8,499 =,486,499 =,87. Z Z Buscando esa probabilidad en la tabla se tiene que k =, Con N ( ) 5,8, calcule las siguientes probabilidades: a) P( 38 58) Tal y como hemos visto, para calcular esta probabilidad debemos tipificar la variable: P( 38 58) = P = P(,5 Z ) = b) P( 66) ( ) F ( ) tablas = F,5 =,843,668 =, P( 66) = P = P( Z ) = FZ ( ) =,977 =, tablas Z 3

32 Aproimación de la distribución binomial por la distribución normal Recordemos: la distribución binomial se aproima a la distribución de Poisson cuando n y p. En la práctica n>5 y p,. Cuando n es grande y p no está muy alejado de,5, se pueden calcular las probabilidades correspondientes a una binomial de forma aproimada utilizando una normal. Figura 5. Aproimación de la distribución Binomial a la Normal.3 f() B(9;,6) N(54;4,7) Fundamento teórico: Teorema de Laplace-Moivre. Si es una variable binomial, ~B(n,p), con media np y desviación típica npq, entonces: np Y = N(,). npq n + Los límites empíricos para poder realizar esta aproimación son: Si p,5 se eige que np > 5. Si p >,5 se eige que nq > 5. En general, cuanto más se aleje la probabilidad de éito p de,5,mayor tendrá que ser n. 3

33 Utilizando este resultado podemos obtener la probabilidad de que la variable binomial esté en un intervalo [a,b] aproimando con una normal a y b: N B con media µ = np y σ = npq y calcular el área entre a np b np P( a B b) P ( a N b) = P Z. npq npq con N N( np, npq ) La aproimación mejora si, en la variable normal utilizamos el intervalo a,5 N b +,5. Esto se conoce como corrección por continuidad y se hace necesario porque se está aproimando una distribución discreta por otra continua. Ejemplo: Piénsese que P( B = a) es distinta de cero para la binomial pero igual a cero para la distribución normal por ser continua. Lo que hacemos es aproimar esa probabilidad por la probabilidad de una normal en un intervalo de longitud uno (que es el incremento de la variable binomial), centrado en ese valor a. La probabilidad de recibir un cheque sin fondos en una determinada sucursal bancaria es del 5%. Si durante una semana se espera recibir cheques, hállense las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Que haya, como máimo, 75 cheques sin fondos. b) Que el número de cheques sin fondos esté comprendido entre 6 y 4. Resolución: = nº de cheques sin fondos recibidos en una semana B(;,5) En este ejemplo, Si p =,5,5 y np =,5 = 3 > 5, por lo que podemos aproimar la distribución binomial por la distribución normal ( µ = σ = = ) N 3, npq 6 : N B 33

34 75 +, ,5 7,78. a) P( ) P( N + ) = P Z = P( Z ) = 6 tablas b) ( 6 4) ( 6,5 4,5) P P N + = 6, ,5 3 = P Z = 6 6 ( ) ( ) ( ) tablas = P,53 Z 6, 8 = F 6, 8 F,53 =,57 =,9943. Aproimación de la distribución de Poisson por la distribución normal. Si P se distribuye según una distribución de Poisson de parámetro µ, siendo µ, se puede aproimar esta distribución de Poisson por una normal N ( µ, σ ), con µ = E[ ] = µ y σ = Var ( ) = µ. N N N P Teniendo también en cuenta la corrección por continuidad, la manera de aproimar probabilidades de la distribución será la siguiente: a µ b + µ P( a ) P b P a N b + = P Z = µ µ con N N( µ, µ ) N P b + µ a µ F = Z FZ µ µ donde Z N(,). 34

35 Distribución de una combinación lineal de variables normales independientes Supongamos que,,, n son n variables aleatorias independientes tales que i N ( µ i, σ i ) para i =,,..., n. Si a, a,..., a n son números reales, entonces la variable aleatoria: sigue una distribución: Y = a + a an n ( µ + µ +..., )... nµ n σ + σ + + n σ n Y N a a a a a a o, lo que es lo mismo: Demostración: Y N a a n n iµ i, i σ i i= i= ( ) ( ) t a a an n ta ta tan n = = = = ty MY t E e E e E e e e ( ) ( ) por independencia ta ta tan n = E e E e E e = M t M t M ( t ) n n = tµ a + t σ a tµ a+ t σ a tµ nan + t σ n an t( aµ + aµ + + anµ n ) + t ( a σ + a σ + + an σ n ). = e e e = e Esta es la función generatriz de momentos de una variable aleatoria distribuida según una normal de parámetros µ = aµ + aµ + + anµ n y σ = a σ + a σ + + a n σ n. Teniendo en cuenta el Teorema de Unicidad de la función generatriz de momentos, se concluye que, efectivamente: Y N a a n n iµ i, i σ i. i= i= 35

36 A partir de esta propiedad se deduce la propiedad reproductiva, haciendo a = a = = a n = : La suma de n variables aleatorias independientes,,,, n, tales que n n i N( µ i, σ i ) con i =,,..., n, sigue una distribución N µ i, σ i. i= i= Relación entre la distribución normal y la Ji-Dos Anteriormente se ha definido la distribución Gamma. En concreto, se señaló que: χ = G,. = β = α También puede definirse sin recurrir a esa distribución: χ a partir de la distribución Z, Z,, Z son variables aleatorias independientes tales que Z N(,) con i =,,...,, entonces: Si i Y = Z i= i χ. Demostración: La demostración se hace en dos fases. Primero, se demuestra que si Z N(,), entonces Z χ. Después se aplica la propiedad reproductiva de la Ji-dos, para llegar al resultado deseado. Por tanto, en una distribución χ los grados de libertad son el número de variables aleatorias independientes que la integran. Aquí hemos supuesto que todas las variables aleatorias son independientes, pero podría ocurrir, por ejemplo, que una variable dependiese de las demás. Entonces tendríamos sumandos independientes y los grados de libertad serían. 36

37 7.7. Distribución t de Student La distribución t de Student o t-student está relacionada con la distribución normal y con la Ji-dos y es ampliamente utilizada en Inferencia Estadística. Definición: Sea Z N (,) y puede demostrar que: V χ. Si Z y V son independientes, entonces se T = Z V t es decir, se distribuye como una distribución t-student con grados de libertad. Por tanto: N(,) T = t χ / Función de densidad: + + Γ t f ( t) = t y entero y positivo. + < < π Γ Es una distribución uniparamétrica; sólo depende de. Forma de la distribución: f(t), f(z) v= v=3 v=8 N(,) t, z 37

38 . Es simétrica respecto al origen de coordenadas.. Alcanza un máimo en t=. 3. El eje de abscisas es una asíntota de la función. 4. Su forma es muy parecida a la normal tipificada (campaniforme), pero es menos apuntada (es decir, es platicúrtica), siendo las colas más altas (presenta mayor dispersión que la normal tipificada). 5. Cuando aumenta, la distribución t- Student tiende a la distribución N(,). En la práctica, para 3 es muy poca la ventaja de utilizar la t-student en lugar de la N(,). Características: Esperanza: E[ T ] = si > (si = no eiste la media). Varianza: Var( T ) = si > (si = ó = no eiste la varianza). Obtención de probabilidades: La función de distribución de la t-student está tabulada para algunas probabilidades (véase Aneo 5.). Veamos, a continuación, algunos ejemplos para ejercitar el manejo de esas tablas:. Si t : a) P( ) = tabla, 8,975. P > b =, P b =,99 b =,764. b) ( ) ( ) tabla 38

39 . Si t : a) P(,35 ) =,9. tabla P > b =, P b =,99 b =,58. b) ( ) ( ) tabla 3. Si t : 8 (,36) (,36,36) (,36) (,36) P = P = P P = 4. Si t : ( ) F ( ) = F,36,36 =,975,5 =,95. * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P =,99 F F =,99 F F =,99 por simetría ( ) ( ) +,99 * F = +,99 * F = =,995 * = 3,55. tabla 39

40 7.8. Distribución F de Snedecor La distribución F de Snedecor, también conocida como de distribución de Fischer-Snedecor, es de uso frecuente en Inferencia Estadística y está relacionada con la distribución normal. Definición: Si e Y son dos variables aleatorias independientes que se distribuyen como una ji-dos con y, respectivamente, la variable: F / Y / = F, se dice que tiene una distribución F con en el numerador y en el denominador. Es decir: F χ / = χ / F, Función de densidad: + / / Γ f g( f ) = para f >. + Γ Γ ( ) f + Sólo está definida para valores positivos de la variable. Es una distribución biparamétrica ( y ). Características: E F ( ) = con >. 4

41 ( + 4) Var( F) = con > 4. ( ) ( 4) Forma de la distribución: Es campaniforme con asimetría positiva, que disminuye al aumentar los grados de libertad de numerador y denominador..6 g(f).4..8 F(3,5) F(5,5) F(5,5) F(5,) f Obtención de probabilidades: Su función de distribución está tabulada para algunas probabilidades y valores de sus parámetros (véase Aneo 5.). En la primera fila de las tablas correspondientes a la distribución F de Snedecor aparece, los grados de libertad del numerador. En la primera columna,, los grados de libertad del denominador. En el cuerpo de cada una de esas tablas aparecen, para los diferentes valores de y, los valores de la F que a su izquierda dejan un área bajo la curva de la, función de densidad igual a la indicada en la parte superior (A). 4

42 Ejemplos:. Si F : 6,5 P( ) = tabla, 5,5.. Si F : 6,7 ( ) ( ),95;6,7 P > b =,5 P b =,95 b = f =,7. 3. Si F : 7, tabla P < b =, b = f =,6. ( ),;7, Propiedad de reciprocidad tabla Esta propiedad ayuda a obtener probabilidades de la distribución F de Snedecor a partir de las tablas: Si F y F, F entonces: F, f p;, = f p;, Ejemplos:. Para F7, vimos anteriormente que P b =, b = f =,6. Por la propiedad de reciprocidad ( ),;7, se tiene que: f,;7, = = =,6. f 6,6,99;,7 tabla. La distribución F 4, no aparece tabulada en las tablas. Pero, para esa distribución podemos identificar el valor b que hace que P( b) =,95 si aplicamos la propiedad de reciprocidad, ya que la distribución F,4 si aparece tabulada: f,95;4, =,86. f =,35 =,5;,4 tabla 4

43 Relación entre distribuciones t-student y F de Snedecor: Si T t entonces T F,. Demostración: Si T t se tiene que independientes, entonces: T Z = con Z N ( ) /,, χ y Z y T Z = con / Z χ, χ y Z y independientes. Por tanto, T o escrito de otra forma: t F,. F, 43

44 7.9. Distribución normal bivariante Se dice que dos variables aleatorias continuas e Y se distribuyen según una distribución normal bivariante si su función de densidad conjunta es: µ µ Y µ Y Y µ ρ Y + ( ρ ) σ σ σy σy f (, y) = e < < < y < πσ σ ρ Y donde: [ ] = [ ] = = = E µ E Y µ Var( ) σ Var( Y ) σ ρ : coeficiente de correlación. Y Y Figura 5.3 Distribución Normal Bivariante (función de densidad conjunta) f(,y)

45 A partir de esta función de densidad conjunta se deduce:. Las distribuciones marginales son distribuciones normales con N ( µ, σ ) Y N ( µ, σ ). Las distribuciones condicionadas son también normales. Y Y f (, y) f ( ) ( / ) = f ( / y ) f y = f (, y) f ( y) Y 3. Las esperanzas condicionadas (líneas de regresión) son líneas rectas: σ E Y Y σ Y [ / = ] = µ + ρ ( µ ) [ ] 4. Las varianzas condicionadas son constantes: σ E / Y = y = µ + ρ ( y µ Y ) σ ( / = ) = ( ) Var ( Y = y) = σ ρ Var Y σ ρ Y / ( ) 5. A partir de la función de densidad conjunta se tiene que si ρ =, entonces f (, y) = f ( ) fy ( y). Por tanto, si ρ = las variables son independientes. En el caso de variables conjuntamente normales, sólo pueden darse relaciones lineales entre las variables ya que cuando no hay relación lineal ( ρ = ) no hay ninguna relación (hay independencia). Y 45

46 EJERCICIOS RESUELTOS. Una universidad estudia la posibilidad de comprar un lote grande de aparatos de detección de incendios. Por la eperiencia de otras universidades se sabe que el % de estos aparatos suelen ser defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de aparatos, cuál es la probabilidad de encontrar entre 4 y 5 defectuosos? Resolución: Y = "Nº de aparatos defectuosos de un total de n = " p = P(defectuoso) =, y y Y B(;, ) con f ( y) =,,8 para y =,,,..., y y= 5 y P(4 Y 5) =,,8 y= 4 y y Obsérvese que p =, < / y np = 4 > 5, por lo que se cumplen las condiciones para aplicar el Teorema de Moivre y aproimar esa probabilidad a partir de una distribución normal: Y N( np, npq) Y N(4;5,66) N N 4,5 4 5,5 4 P(4 Y 5) P(4,5 YN 5,5) = P Z = 5,66 5,66 con corrección de continuidad ( ) Z Z = P, 6 Z,85 = F (,85) F (, 6) =,9678,66 =,365. tablas 46

47 . Suponga que la llegada de vehículos a un cruce puede modelizarse por un proceso de Poisson. Si la probabilidad de que no pase ningún vehículo en un minuto es,35, se pide: a) Cuál es la probabilidad de que pase más de un vehículo en dos minutos? b) Cuál es la probabilidad de que entre la llegada de un vehículo y la del siguiente transcurran más de 5 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre la llegada del primer y último vehículo de un grupo de 5 sea menor de minutos? Resolución: = "Nº de vehículos que llegan a un cruce en minuto" e µ µ P ( µ ) con f ( ) = para =,,,...! Desconocemos el valor de la media, pero el enunciado proporciona un dato que permite calcularla: µ e µ µ P( = ) =,35 = e =,35 µ = ln(,35) µ! tomando logaritmos a) Y = "Nº de vehículos que llegan a un cruce en minutos" La variable Y es la suma de dos variables aleatorias, y, que se pueden suponer independientes y que se distribuyen según una Poisson i P(). Por la propiedad reproductiva de la distribución de Poisson se tiene que: Y = + P( µ ) Y P(4) con 4 y e 4 f ( y) = para y =,,,... y! La probabilidad solicitada es: 4 4 e 4 e 4 P( Y > ) = P( Y ) = P( Y = ) P( Y = ) = =,984.!! 47

48 b) T = "tiempo en minutos transcurrido entre la llegada de dos vehículos" Como sabemos, el tiempo transcurrido entre la presentación de sucesos consecutivos de Poisson sigue una distribución eponencial, de parámetro β = / µ, donde µ representa la intensidad del proceso de Poisson. Por tanto: T Ep T Ep,5 siendo f ( ) = e > y,5 La probabilidad solicitada es: (,5),5 P( > ) = e (función de supervivencia) 5,5 3 ( > 5) = = P T e e función de supervivencia c) W = tiempo transcurrido entre la llegada del primer y último vehículo de un grupo de 5 La variable W es la suma de 4 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas como una eponencial de parámetro β =,5. En esta situación, se tiene que: W 4 = Ti i= ( ) Ti indep. Tj, para i j i, j =,,3, 4 W G 4;,5 Ti Ep(,5) W 4 P( W < ) = P < = 8 < = ( 8 < 8 ) =, 4655,5,5 P χ,5 P χ tabla W donde χ,5 ( = α = 8) 8 48

49 3. El tiempo en minutos que tarda una persona en ir de su casa al trabajo oscila entre y 3 minutos. Si debe llegar al trabajo a las 8 de la mañana, a qué hora debe salir de su casa para tener una probabilidad de,9 de no llegar tarde? Resolución: = "tiempo en ir de casa al trabajo (en minutos)" U,3 [ ] = 3 f ( ) = 3 en el resto La hora a la que debe salir de casa será las 8: menos minutos, donde P =,9 : cumple la condición ( ) d = [ ] = = =,9,,9,( ),9 9. Por tanto, el trabajador ha de salir 9 minutos antes de las 8: para no llegar tarde con probabilidad de,9, es decir, a las 7:3 minutos. 49

50 4. Suponga que cinco empleados realizan la misma tarea de forma independiente y que el tiempo, en minutos, que uno cualquiera de ellos tarda en terminarlo sigue una distribución eponencial de media igual a 8 minutos. Si comienzan la tarea a las 9: horas, calcule la probabilidad de que, como mínimo, dos de los cinco trabajadores terminen dicha tarea antes de las :. Resolución: Y = "tiempo que un empleado tarda en acabar la tarea (minutos)" Y Ep(8) = "Nº de empleados que acaban su tarea antes de las : de n = 5" Los trabajadores realizan su tarea de manera independiente (pruebas independientes). La variable se distribuye según una binomial donde n = 5 y la probabilidad de éito p es la probabilidad de que un empleado acabe su tarea antes de las : (p constante). Por tanto: 6 8 β p = P( Y 6) = F(6) = e = e =,576 y de manera que B(5;,576) y la probabilidad solicitada es: P( ) = P( < ) = P( = ) P( = ) = 5 5 = = 5 4 (,576) (, 474) (,576) (, 474),845. 5

51 5. Los ingresos familiares brutos (en miles de euros) de un determinado país siguen una distribución Ji-dos con media 3. Si se seleccionan aleatoriamente 5 familias de ese país, cuál es la probabilidad de que 9 ó de esas familias tengan unos ingresos brutos superiores a 65 euros? Resolución: Y = "ingresos familiares brutos (en miles de euros)" Y χ 3 = "Nº de familias con ingresos brutos superiores a 65 euros con n = 5" Las familias obtienen sus ingresos de manera independiente (pruebas independientes). La variable se distribuye según una binomial donde n = 5 y la probabilidad de éito p es la probabilidad de que una familia obtenga ingresos brutos superiores a 65 euros (p constante). Por tanto: p = P( Y > 6, 5) = P( Y 6, 5) = P( χ3 6, 5) =,9 =,. de manera que B(5;,) y la probabilidad solicitada es: P( = 9) + P( = ) = (,) (,9) (,) (,9). 9 + tablas tablas 5

52 6. Una empresa sabe que, durante un período determinado de tiempo, la demanda aleatoria del artículo que produce se comporta con arreglo a una ley normal de media 5 unidades y desviación estándar unidades. Se pide: a) Determine el número de artículos que debe producir en dicho período para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de,95. b) Si la empresa decide seguir produciendo el artículo en el futuro sólo si la demanda está comprendida entre 34 y 696 unidades, determine la probabilidad de que no siga produciendo tal artículo. Resolución: = "demanda del producto (en unidades)" N(5,) a) P( ) =,95 5 = ( ) = = Tipificando: P Z,95 P Z z,95 z,645 tablas z 5 = = 664,5 665 unidades. b) La probabilidad de que no siga produciendo el artículo es igual a P(34 696) : P(34 696) = P = = P(,96 Z,96) =,95. tablas Por tanto, la probabilidad de que la empresa deje de producir su artículo es del 5%. 5

53 7. Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión se distribuye como una normal de media y desviación estándar y la capacidad como una normal de media 4 y desviación estándar, calcule la probabilidad de avería suponiendo que la tensión y la capacidad son independientes. Resolución: = "Tensión" N(, ) Y = "Capacidad" Y N(4,) e Y son independientes. Se produce avería cuando > Y, es decir, cuando Y >. Consideremos la variable aleatoria W = Y. Ésta variable es una combinación lineal de variables aleatorias normales independientes. Por tanto, W sigue también una distribución normal: ( 4, ) ( 4;,36 ) W = Y N + W N La probabilidad de que se produzca avería es: + 4 P( W > ) = P Z > = P( Z >,7889) = P( Z,7889),367.,36 tablas 53

54 8. Se supone que las desviaciones diarias, en valor absoluto, de la cotización de una moneda respecto a una banda prevista siguen una ley eponencial de media,5. Se pide: a) Calcule la probabilidad de que la desviación en valor absoluto en un día seleccionado al azar sea inferior a,. b) Calcule la probabilidad de que la suma de las desviaciones en valor absoluto en diez días seleccionados al azar sea superior a,7856. c) Calcule la probabilidad de que sólo dos de las desviaciones anteriores sean superiores a,5. Resolución: = "Desviaciones diarias (en valor absoluto)",5,5 (,5) ( ) para y ( ) para Ep f = e F = e,5 a),,5 e P( <,) = =,397. b) Y = "suma de desviaciones (en valor absoluto) en n = días seleccionados al azar" La variable Y es la suma de variables aleatorias eponenciales independientes, de manera que Y se distribuye según una gamma de parámetros Y G(;,5). De esta manera, la probabilidad solicitada es: Y,7856 P( Y >,7856) = P( Y,7856) = P =, 5,5 ( ) = P χ 3, 44,5. c) W = "Nº de desviaciones superiores a,5 de un total de n = " tablas función de supervivencia,5,5 W B(, p) donde p = P( >,5) e = =,3679 Por tanto, W B(;,3679), de manera que la probabilidad solicitada es: 54

55 8 P( W = ) = (,3679) (,63) =, Entre las parejas en las que hombre y mujer trabajan, la distribución, Y, epresados en euros, se ajusta conjunta de los salarios mensuales ( ) a una distribución normal bivariante con los siguientes parámetros., salario de los hombres, con µ = 7 y σ = Y, salario de las mujeres, con µ Y = 4 y σ Y = 8 ρ, coeficiente de correlación lineal,,7. Calcule: a) Salario medio de las mujeres cuya pareja tiene un salario de 8. b) Probabilidad de que la mujer gane más que su pareja, cuando el salario del hombre es 7. c) Probabilidad de que la mujer gane menos que su pareja, cuando el salario del hombre es 8. Resolución: a) La línea de regresión de Y sobre proporciona los valores medios de la variable Y cuando toma el valor concreto. En el caso de la distribución normal bivariante, su epresión es la de la siguiente línea recta: σ E Y Y σ Y [ / = ] = µ + ρ ( µ ) En nuestro caso: E[ Y / = ] = 4 +,7 ( 7) 8 8 E Y / = 8 = 4 +,7 8 7 = 465, 44 Por tanto, [ ] ( ) b) P( Y > 7 / = 7) Sabemos que / Y = se distribuye normal con: 55

56 σ E Y Y [ / ] µ ρ ( µ ) = = Y + Var[ Y / = ] = σ Y ( ρ ) σ Por tanto, / Y = 7 es una variable aleatoria que se distribuye normal con: 8 E[ Y / = 7] = 4 +,7 ( 7 7) = 46, 64 [ ] Var Y / = 7 = 8 (,7) = 373,76 La probabilidad solicitada es: Y 48, ,64 P( Y > 7 / = 7) = P > = P( Z > 5,7). 373,76 373,76 c) P( Y < 8 / = 8) / Y = 8 es una variable aleatoria que se distribuye normal con: E[ Y / = 8] = 465,44 (ya calculada en el apartado a) [ ] Var Y / = 8 = 8 (,7) = 373,76 (la misma que para = 7) Y 465, , 44 P( Y < 8 / = 8) = P < = P( Z < 5,94) 373,76 373,76 56