IPN CECYT 7 CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA EL E.T.S GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 IPN CECYT 7 CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA EL E.T.S DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CONCEPTOS BÁSICOS 1.- Hallar la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas son: a) A (4, 1), B (3, 2) b) M (-7, 4), N (1, -11) c) P (-1, -5), Q (2, -3) d) R (2, -6), S (2, -2) 2.- Calcular el perímetro de los triángulos cuyos vértices son: a) A (-2, 5), B (4, 3) y C (7, -2) b) A (2, -5), B (-3, 4) y C (0, -3) 3.- Encontrar el perímetro de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: a) A (0, 4), B (-1, -6), C (-2, -3) y D (-4, 2) b) A (1, 5), B (-2, 4), C (-3, -1), D (2, -3) y E (5, 1) 4.- Demostrar que los siguientes triángulos, dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles: a) A (6, 7), B (-8, -1) y C (-2, -7) b) A (2, 4), B (5, 1) y C (6, 5) 5.- Demostrar que los siguientes triángulos dados, por las coordenadas de sus vértices son rectángulos: a) A (10, 5), B (3, 2) y C (6, -5) b) A (3, -2), B (-2, 3) y C (0, 4) 6.- Demostrar que los siguientes puntos son colineales: a) A (-2, 3), B (-6, 1) y C (-10, -1) b) A (1, 3), B (-2, -3) y C (3, 7) Página 1 de 9

2 7.- Hallar los puntos de abscisa 3 que disten 10 unidades del punto M(-3, 6) 8.- Hallar las áreas de los triángulos cuyas coordenadas de sus vértices son: a) A (2, - 3), B (4, 2) y C (-5, -2) b) A (-8, -2), B (-4, -6) y C (-1, 5) c) A (-7, 5), B (1, 1) y C (-3, 3) 9.- Encontrar las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: a) A (0, 4), B (1, -6), C (-2, -3) y D (-4, 2) b) A (1, 5), B (-2, 4), C (-3, -1), D (2, -3) y E (5, 1) 10.- Los vértices de un triangulo son los siguientes puntos A (4, y), B (-2, 4) y C (8, -2). Calcular la ordenada del punto A, sabiendo que el área del triangulo mide 28u Hallar las coordenadas de un punto (x, y) que divida al segmento que determinan los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en la razón r= P1P PP2 a) P1 (4, -3) P2 (1, 4); r = 2 b) P1 (-2, 3), P2 ( 3, -2); r = 2 5 c) P1 (-5, 2), P2 (1, 4); r = Los vértices de un triangulo son A (-1, 4), B (5, 6) y C (3, -2). Calcular las coordenadas de los puntos medios de sus lados Si el punto P (6, -7) divide al segmento que determinan los puntos P1 (-2, 1) y P2 (x2, y2) en la razón r = - 8 3, hallar las coordenadas de P Sabiendo que le punto P ( -4, 6) divide al segmento que determinan los puntos P1 (x1, y1) y P2 (6, 2) en la razón r = P1P = 1, calcular las coordenadas de P1. PP Un extremo de un diámetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es A ( 2, 6). Encontrar las coordenadas del otro extremo Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento que une A (3, -1) con B (9, 7) Hallar las coordenadas de los vértices de un triangulo sabiendo que las coordenadas de los puntos de sus lados son M (3, 2), N (-1, -2), Q (5, -4) 18.- Los vértices de un triangulo son los puntos A ( 2, -2), B (-1, 4) y C (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados Aplicando el concepto de pendiente verificar si los siguientes puntos son colineales: a) A ( 4, 1), B (5, -2 ), C (6, -5) Página 2 de 9

3 b) A ( 0, 5), B (5, 0), C (6, -1) c) A (-4, 2), B (-2, -1), C (2, -7) 20.- Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada Una recta de pendiente 2 pasa por el punto (5, 1). La ordenada de otro punto de la recta es 3. Hallar su abscisa. 22.-Verificar si la recta que pasa por los punto A (-1, 4) y B (4, 6) es paralela o perpendicular a la que pasa por los puntos M (1, -1) y N (6, 1) Verificar si la recta que pasa por los puntos A (-2, 5) y B (4, 1) es paralela o perpendicular a la que pasa por los puntos M (-1, 1) y N (3, 7) Demostrar por medio de pendientes, que los puntos A (9, 2), B (11, 6), C (3, 5) y D (1,1) son vértices de un paralelogramo Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triangulo rectángulo: a) A ( 3, 4), B ( -2, -1), C (4, 1) b) M (3, 2), N (5, -4), R (1, -2) 26.- Encontrar el ángulos que forman la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 4) con la recta que pasa por (-1, 2) y (4, 1) Calcular el ángulo formado por las rectas: 3x 2y 2 =0 y 5x- y -3 = Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: a) A (-3, 2), B (2, 5), C (4, 2) b) M (4, 2), N (0, 1), P (6, -1) c) R (-3, -1), T (4, 4), H (-2, 3) 29.-Demostrar que los puntos A (1, 1), B (5, 3) C (6,-4) son los vértices de un triangulo isósceles La recta L2 forma un ángulo de 30º con la recta L1. Si la pendiente de L1 es 1,hallar la pendiente de L Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135º. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y cuya pendiente es m: a) P (2, -3), m= 5 b) P (-2, 5), m= c) P (0, -2), m=0 d) P (-4, -1), m= Hallar la ecuación de la recta ( en la forma general), determinada por los puntos: Página 3 de 9

4 a) (3, -3) y (2, 4) b) (-3, 1) y (-5, 1) c) (2, -3) y (6, -1) 34.- Calcular la ecuación de la recta ( en la forma general), que tiene ordenada la origen (b) y pendiente m: a) b = 9/7, m = -8 b) b = 2, m = Hallar la ecuación de la recta ( en la forma general), que tiene ordenada al origen (b) y abscisa al origen (a): a) b = -5, a = 6 b) b = 5, a = Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 5) y es paralela a la recta 4x + 3y 5 = Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (10, -4) y es perpendicular a la recta 2x -5y +7 = Encontrar la ecuación de la mediatriz al segmento determinado por los puntos P(-2, -8) y Q (8, -4) 39.- Hallar las ecuaciones de las medianas, alturas y mediatrices del triangulo cuyos vértices son los puntos A (-2, -3), B (6, -5) y C (8, 5) Calcular el punto donde se cortan las siguientes rectas: 2x 5y -20= 0, 3x + 2y -11 = Encontrar la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto P (-7, -1) y es paralela al eje x. b) Pasa por el punto P (5, 3) y es paralela al eje y Un avión describe a la recta PQ, tal que P (5, 2 ) y Q (-1, 4), en un vuelo nocturno. Un reflector, ubicado en (-4, 0), lo descubre cuando pasa por el punto R que esta a 2.5 veces la distancia PQ, mediada desde el punto P. Determinar la ordenada al origen de larecta que pasa por el haz de luz del reflector Hallar la ecuación de la recta en su forma normal, siendo (p) la distancia del origen a la recta y (W) el ángulo positivo que esta distancia forma con la dirección positiva del eje x. a) P = 6, w = 30º b) P = 7, w = 150º 44.- Escribir las ecuaciones de las rectas siguientes en su forma normal. Hallar (p) y (w). a) 3x + 4y 5 = 0 b) 5x + 12y + 39 = Calcular la distancia dirigida de cada punto a la recta dada: Página 4 de 9

5 a) P (-2, -3), 8x + 15y 24 = 0 b) P (-2, 0), 5x -12y 16 = 0 c) P (3, 1), 5x -12y + 62 = 0 d) P (3, -2), x- 2y 5 = Encontrar la distancia que separa las siguientes rectas paralelas: a) 5x -12y +10 = 0, 5x 12y -16 = 0 b) 3x -4y -10 = 0, 3x -14y 25 = La distancia dirigida de la recta 5x 12y + 3 = 0, al punto P es de 19 / 13. Si la abscisa de P es -2. Calcular la ordenada de P La distancia dirigida de la recta 3x 4y = 12, al punto P es de 14/ 5. Si la ordenada de P es de -1. Calcular la abscisa de P Hallar la ecuación de la bisectrices de los ángulos formados por las rectas: a) x y -5 = 0, x 7y 47 = 0 b) x 3y +9 = 0, 3x y -9 = Hallar las ecuaciones y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triangulo formado por las rectas 4x -3y -65 = 0, 7x -24y +55 = 0, y 3x + 4y -5 = Encontrar la ecuación de la circunferencia: a) de centro C (3, 4) y radio r = 2 b) de centro C (-3, -5) y radio r = 7 c) de centro C (- 4, 2) y diámetro 8 d) de centro C (4, - 1 ) y que pase por el punto P ( - 1, 3) e) de centro C (-4, 3 ) y que sea tangente al eje Y f) de centro C ( - 3, - 4 ) y que sea tangente al eje Y g) de diámetro el segmento que une los puntos A ( 2, 3 ) y B ( - 4, 5 ) h) de diámetro el segmento que unos los puntos A ( - 1, 5 ) y B ( - 5, - 7 ) 52.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) A ( 4, 5 ), B ( 3, - 2 ), C ( 1, - 4 ) b) A ( 2, - 2 ), B ( - 1, 4 ), C ( 4, 6 ) c) A ( 4, - 1 ), B ( 0, - 7 ), C ( - 2, - 3 ) 53.- Dada la ecuación general de la circunferencia, encontrar su centro y su radio. Determinar si cada una de ellas es real, imaginaria o se reduce a un punto. a) x² + y² + 6x 4 y 12 = 0 Página 5 de 9

6 b) x² + y² - 8x + 10 y 12 = 0 c) 5x² + 5y² - 10 x + 30 y + 30 = 0 d) 6x² + 6y² - 32x 25 y 34 = 0 e) 16x² + 16y² - 64x + 8 y = 0 f) 4x² + 4y² + 28x 8 y + 53 = Hallar la ecuación de la circunferencia del centro C (- 2, 3) que sea tangente a la recta 20x 21 y 42 = Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (- 1, - 3) que sea tangente a la recta que une los puntos A (-2, 4) y B (2, 1) Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P ( - 2, 6 ) y es concéntrica con la circunferencia x² + y² - 8 6y + 21 = Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 5x 12y 1 = 0, que sea concéntrica con la circunferencia 4x² + 4y² y +25 = Encontrar la ecuación de la circunferencia al triangulo de lados: 2x + y 8 = 0, x y 1 = 0, x 7 y 19 = Encontrar la ecuación de la circunferencia inscrita al triangulo de lados: 7x + 6y 11 = 0, 9x 2y + 7 = 0, 6x 7y 16 =0 PARÁBOLA 60.- Hallar las coordenadas del vértice, foco, la ecuación de la directriz, eje focal, la longitud del lado recto y trazar la gráfica de las siguientes parábolas a ) y² = 6 x b ) x² = 8y c ) 3y² = - 4x d ) x² = - 20y e ) y² - 4y + 6x 8 = 0 f ) y² + 16x + 8y + 32 = 0 g ) 3x² - 9x 5y 2 = 0 h ) x² - 4x 6y 14 = 0 i ) x² - 6x + 8y 49 = 0 Página 6 de 9

7 j ) 4y² - 40x 28y + 29 = Encontrar las ecuaciones de las parábolas que cumplen las siguientes condiciones: a ) Foco en ( 3, 0 ), directriz x + 3 = 0 b ) Vértice en ( 0, 0 ), eje de simetría obre el eje Y, y que pase por el punto ( - 3, 6 ) c ) Vértice en ( 0, 0 ), foco en ( - 5, 0 ) d ) Vértice en ( 3, - 2 ), foco en ( 3, - 8 ) e ) Vértice en ( 4, 6 ), foco en ( 6, 6 ) f ) Vértice en ( 4, 1 ), directriz x = 2 g ) Vértice en ( 3, - 2 ), directriz en y = - 5 h ) Foco en (2, - 3 ), directriz en x = 6 i ) Foco en ( 3, 2 ), directriz en y = 10 j ) Vértice en ( 2, 1 ), extremos del lado recto ( - 1, - 5 ) y ( - 1, 7 ) 62.- Un arco parabólico tiene una altura de 40 metros y una luz de 60 metros. Hallar la altura de los puntos del arco situados 20 metros a ambos lados de su centro El cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 metros mediante alambres verticales. Si el cable cuelga adoptando una forma parabólica y los alambres más largos y más cortos miden 90 y 20 metros respectivamente Cuál es la longitud de los soportes que están a 50 metros del centro? 64.- El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Hallar la ecuación del arco de parábola y calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente. ELIPSE 65.- Determinas las coordenadas del centro, vértices focos, la longitud del lado recto, las longitudes de los ejes mayor y menor, la distancia focal, la excentricidad y trazar la gráfica de las elipses cuyas ecuaciones son: a ) 100x² + 64y² = 0 b ) 16x² + 25y² = 0 c ) 4x² + 9y² - 36 = 0 d )16x² + 9y² = Obtener las ecuaciones de las siguientes elipses con centro en el origen y que además cumplen las siguientes condiciones: a ) Vértices ( ± 4, 0 ) ; Focos ( ± 3, 0 ) Página 7 de 9

8 b ) Vértices ( 0, ± 6 ) ; ( 0, ± 4 ) c ) Focos ( ± 2, 0 ) ; e = 2/3 d ) Pasa por el punto( 7, 3) ; su eje menor coincide con el eje X ; la longitud de su eje mayor es el doble 2 de la de su eje menor e ) Vértices ( ± 10, 0 ) ; LR = 5 f ) Focos ( ± 3, 0 ) y la longitud de sus lados rectos es igual a El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 60 metros de ancho y 20 metros de altura. Hallar la longitud de dos soportes verticales situados cada uno a 20 metros del punto medio Un barco de forma semielipica subtiende un claro de 104 metros. Si la altura del arco es de 15m a una distancia de 4 metros medida desde un extremo, cual es su altura máxima? 69.- La distancia mínima del planeta mercurio al sol es aproximadamente de 28 millones de millas y la excentricidad de la órbita es de 1/5. Hallar la diferencia de sus distancias mayor y menor al sol Hallar las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud del lado recto, la longitud de los ejes mayor y menor, la distancia focal, la excentricidad y trazar la grafica de las elipses cuyas ecuaciones son: a ) 169x² + 25y² - 338x + 200y 3656 = 0 b ) 9x² + 25 y² + 36x + 50y 164 = 0 c ) 16x² + 7y² - 64x + 28y 20 = 0 d ) 4x² + 9y² +32x 18y +37 = Calcular las ecuaciones de las elipses que cumplen con las siguientes condiciones: a ) Un vértice en ( 5, 4 ) y uno de los extremos del eje menor en ( 3, 1 ) b ) Vértices en ( 1, 1 ) y ( 7, 1 ), e = 1/3 c ) Focos en ( - 4, - 2 ) y ( - 4, -6 ), LR = 6 d ) Centro en ( - 2, - 1 ), un vértice en ( 3, - 1 ), LR = 4 e ) Centro en ( 2, - 4 ), vértice en ( - 2, - 4 ), foco en ( - 1, - 4 ) f ) Focos en ( 3, 8 ) y ( 3, 2 ), longitud del eje menor igual a 8 g ) Centro en ( 3, 1 ), vértices en ( 3, -2 ), e = 1 3 h ) Vértices en ( 2, 1 ) y ( 8, 1 ), focos en ( 3, 1 ) y ( 7, 1 ) i ) Extremos del eje menor en ( 3, 5 ) y ( 3, - 3 ) un vértice en ( - 2, 1) HIPERBOLA Página 8 de 9

9 72.- Hallar las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud del lado recto las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la distancia focal, la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas y trazar la grafica de las hipérbolas cuyas ecuaciones son: a ) 144 x² - 25 y² = 0 b ) 9y² - 16x² = 0 c ) 2x² - y² - 8 = 0 d ) 4 y² - x² - 20 = 0 e ) 9x² - 16y² - 36x 32y 124 = 0 f ) 9y² - 4x² - 8x + 18y 31 = 0 g ) 36x² - 25 y² - 72x 100y 964 = 0 h ) 12y² - 4x² + 72y + 16x + 44 = Determinar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las siguientes condiciones: a ) Vértices en ( ± 2, 0 ) ; focos en ( ± 3, 0 ) b ) Focos en ( ± 5, 0 ) ; longitud del eje transverso igual a 8 c ) Centro en ( 0, 0 ) ; focos en ( 0, 5 ) ; e = 3 d ) Vértices en ( - 1, - 1 ) ; asíntotas 2x- y + 5 = 0, 2x + y + 7 = 0 e ) Centro en ( 0, 0 ) ; vértices en ( 3, 0 ) ; ecuación de una asíntota 2x 3y = 0 f ) Vértices en ( ± 6, 0 ) ; asíntotas 6y = ± 7x g ) Vértices en ( - 1, 3 ), ( 3, 3 ) ; e = 3 2 h ) Centro en ( 2, - 2 ) ; vértice en ( 0, - 2 ) ; LR = 8 i ) Centro en ( 4, 5 ) ; foco en ( 8, 5 ) ; e = 2 j ) Vértices en ( - 2, 2 ), ( 2, -4 ) ; LR = 2 k ) Centro en ( - 6, 2 ) ; LR = 18 ; e = 13/2 ; eje transverso paralelo al eje X Página 9 de 9