O bien si queremos calcular el error aproximado porcentual lo hacemos:

Transcripción

1 En situaciones reales es común que no se conoce el valor verdadero del resultado: las mediciones dependen del instrumento y del procedimiento de medición; los métodos numéricos se aplican, cuando no se puede resolver un problema analíticamente. En este caso se usa una aproximación del valor verdadero y se define el error aproximado como: O bien si queremos calcular el error aproximado porcentual lo hacemos: Uno de los objetivos del cálculo numérico es el de determinar estimaciones de los errores en este tipo de situaciones y también en el caso en que no se conoce el verdadero valor de un número u operación. Por lo general en estos casos se usan procesos iterativos que permiten obtener resultados tan aproximados como se quiera, y los errores se calculan tomando los resultados de dos cálculos consecutivos. De manera que el error residual o desvío de una operación será: la aproximación actual menos la aproximación previa. Consecuentemente el error relativo es: Ejemplo: La serie de MacLaurin para la función exponencial es: Calcular el valor de aplicando la expansión de MacLaurin y determinar el error relativo porcentual con una aproximación de tomando el verdadero valor y dos resultados consecutivos. En primer lugar calculamos la expansión de MacLaurin término a término de la siguiente manera:

2 N ro de términos Sabiendo que el verdadero valor es Calculamos ahora el: E inmediatamente lo multiplicamos por 100% para obtener en la columna siguiente error aproximado porcentual: Entonces se obtiene la siguiente tabla: N ro de Error con el verdadero valor términos Error porcentual con el verdadero valor ,35 2 1,5 9,02 3 1,625 1,44 4 1, , , , , , , ,

3 Cuando se calcula el error aproximado tomando dos valores consecutivos, el método numérico es iterativo, se define el error aproximado como la diferencia entre los resultados de las dos últimas iteraciones, obteniendo: De aquí se deduce la siguiente tabla: En definitiva: N ro de términos Error con el verdadero valor Error porcentual con el verdadero valor Error porcentual tomando dos valores consecutivos ,35 100, ,5 9,02 33,33 3 1,625 1,44 7,69 4 1, ,175 1,27 5 1, ,0172 0, , , , , , ,001316

4 Número de Punto Flotante Un número decimal es de punto flotante cuando se expresa como una fracción decimal multiplicada por una potencia de base 10. Por lo general un número real cualquiera está compuesto de dos partes, una parte entera y otra parte decimal o mantisa. Si representamos con la letra f la mantisa de un número real cualquiera x de punto flotante y el exponente de base decimal, con la letra n la forma generalizada de un número de punto flotante es: Ejemplos: Número de punto Flotante Normalizado Se dice que un número de punto flotante esta normalizado si el primer digito de la mantisa es distinto de cero. De manera que un número decimal de punto flotante normalizado lo podemos escribir como: La mayoría de las computadoras tienen un número de dígitos significativos: y pueden tomas exponentes En general un número real cualquiera y escrito en forma normalizada, puede expresarse como: Donde: Cuando un ordenador debe realizar operaciones con números automáticamente los coloca en forma decimal normalizada y resuelve la operación comparando los exponentes. Supongamos que se suman dos números con una mantisa de cuatro dígitos y exponente de un dígito escritos en forma de punto flotante normalizados.

5 Para realizar esta operación, la máquina compara los exponentes para ver cuantos lugares debe desplazar hacia la derecha la mantisa del número que tiene menor exponente, para alinear los puntos decimales. El número de lugares que debe desplazar, es igual a la diferencia de los exponentes, en este caso (3-1=) 2 lugares. De manera que la suma se realiza como: Supongamos que dos números reales cualesquiera se escriben en forma de punto flotante normalizados:, las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división se expresan como: ( ) ( ) ( ) ( ) Es decir que las operaciones realizadas en forma de punto flotante normalizado, deben quedar expresados también en forma de punto flotante normalizado. Ejemplo: Supongamos y que se truncan redondeando en dígitos para realizar las cuatro operaciones básicas y calcular los errores residuales y relativos. Construimos la siguiente tabla: Operación Valor real Error residual Error relativo ( ) De igual manera para las otras operaciones.

6 Por ejemplo: Evaluar la expresión utilizando aritmética de 6 dígitos. Para ello construimos una tabla considerando los dos casos de truncamiento. Valor Exacto Truncando Redondeo En este caso obtenemos el mismo resultado redondeando o cortando y el erro relativo para ambos es: Los errores por truncamiento en las operaciones aritméticas pueden reducirse si se expresan las mismas en forma anidada. La expresión escrita en forma anidada queda: Ahora evaluamos el error construyendo la siguiente tabla: Valor Exacto Truncando Redondeo Calculamos ahora el error relativo y el error porcentual tomando el valor obtenido por cortadura que es el de mayor diferencia. Como puede observase hay una diferencia de error muy importante entre una forma de evaluar la expresión y otra independientemente del número de dígitos que se tomen. Por esta razón las expresiones de este tipo deben evaluarse en forma anidada para reducir el error y además evitar su propagación. Ejercicio: dado a) Evaluar la expresión en x=0,421 usando aritmética de 4 dígitos. Aplicar truncamiento y redondeo. b) Expresar la función en forma anidad y calcular los errores relativos y porcentual.