6.5.7 Orientación de un espacio vectorial eucĺıdeo Producto vectorial Diagonalización de formas bilineales simétricas...

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1 Contents 6 Formas Bilineales y Producto Escalar Formas bilineales Matriz de una forma bilineal Formas bilineales simétricas Formas bilineales degeneradas Clasificación de formas bilineales por el signo Cambio de base Formas Multilineales Determinante Determinante de una Matriz Propiedades de los Determinantes de Matrices Formas Cuadráticas Espacios con producto interior Producto escalar Norma de un vector Propiedades Ángulo entre dos vectores Ortogonalidad Bases ortogonales y ortonormales

2 6.5.7 Orientación de un espacio vectorial eucĺıdeo Producto vectorial Diagonalización de formas bilineales simétricas Matrices ortogonales Diagonalización de matrices simétricas Diagonalización de formas cuadráticas Método de los autovalores Método de Lagrange Criterio de Sylvester

3 6. Formas Bilineales y Producto Escalar 6.1. Formas bilineales Sea V un espacio vectorial sobre K. Decimos que una aplicación f : V V K es una forma bilineal si satisface: para todo λ, µ K y todo x, x 1, x V. Ejemplo 1 i. f(λx 1 + µx, x) = λf(x 1, x) + µf(x, x) ii. f(x, λx 1 + µx ) = λf(x, x 1 ) + µf(x, x ) f 1 : R R R donde f 1 ((x 1, x ), (y 1, y )) = x 1 y 1 + x y es forma bilineal. f : R R R donde f ((x 1, x ), (y 1, y )) = x 1y 1 + x y + 5 no lo es.

4 Matriz de una forma bilineal Sea B = {e 1, e,..., e n } una base de V. Si x = (x 1, x,..., x n ) e y = (y 1, y,..., y n ) respecto de la base B, entonces f(e 1, e 1 ) f(e 1, e )... f(e 1, e n ) f(e, e 1 ) f(e, e )... f(e, e n ) f(x, y) = (x 1 x... x n ) f(e n, e 1 ) f(e n, e )... f(e n, e n ) y 1 y. y n

5 6.1.. Formas bilineales simétricas Decimos que es simétrica si, para todo x, y V, f(x, y) = f(y, x) y decimos que es antisimétrica si, para todo x, y V, f(x, y) = f(y, x) Proposición Sea f : V V K una forma bilineal. f es antisimétrica si y sólo si f(x, x) = 0 para todo x V. Proposición 3 Sea f : V V K una forma bilineal y A su matriz asociada respecto de cualquier base. f es simétrica si y sólo si A t = A. f es antisimétrica si y sólo si A t = A.

6 Formas bilineales degeneradas Proposición 4 Sea f : V V K una forma bilineal. Para todo x V, f(0, x) = f(x, 0) = 0 Decimos que es degenerada si existe un vector x 0 V tal que se cumple una de las dos condiciones siguientes: Para todo y V, f(x 0, y) = 0 Para todo y V, f(y, x 0 ) = 0 Proposición 5 Sea f : V V K una forma bilineal y A su matriz asociada respecto de cualquier base. f es degenerada si y sólo si A = 0.

7 Clasificación de formas bilineales por el signo Decimos que una forma bilineal f es: definida positiva si f(x, x) > 0, para todo x 0. definida negativa si f(x, x) < 0, para todo x 0. semidefinida positiva si f(x, x) 0, para todo x V y no es definida. semidefinida negativa si f(x, x) 0, para todo x V y no es definida. indefinida en otro caso. Proposición 6 Sea f : V V K una forma bilineal. Si f es definida (positiva o negativa) entonces es no degenerada. Si f es semidefinida (positiva o negativa) entonces es degenerada.

8 Cambio de base Teorema 7 Sea f una forma bilineal en V y B y B bases de V. Si A la matriz asociada a f en la base B. A la matriz asociada a f en la base B. P la matriz de cambio de base de B a B. Entonces A = P t AP.

9 6.. Formas Multilineales Sean V 1,..., V n y V n+1 espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Decimos que f : V 1 V n V n+1 es una aplicación multilineal si f(x 1,..., x i 1, λx i + µy i, x i+1,..., x n ) = = λf(x 1,..., x i 1, x i, x i+1,..., x n ) + µf(x 1,..., x i 1, y i, x i+1,..., x n ) para todo λ, µ K, todo i {1,..., n} y todo x i, y i V i. Llamamos forma multilineal en un espacio vectorial V sobre K a toda aplicación multilineal f : V V V K

10 Decimos que es simétrica si, para todo x 1,..., x n V, f(x 1,..., x i,..., x j,..., x n ) = f(x 1,..., x j,..., x i,..., x n ) y antisimétrica si, para todo x 1,..., x n V, f(x 1,..., x i,..., x j,..., x n ) = f(x 1,..., x j,..., x i,..., x n ) Decimos que es alternada si, para todo x 1,..., x n V, si x i = x j para algun i j entonces f(x 1,..., x i,..., x j,..., x n ) = 0 Teorema 8 Sea f una forma multilineal en un espacio V sobre R (o C). f es alternada si y sólo si f es antisimétrica. Proposición 9 Sea f una forma multilineal alternada. Si, para algún i, x i = 0 entonces f(x 1,..., x i,..., x n ) = 0 Si x 1,..., x n son L.D. entonces f(x 1,..., x n ) = 0

11 6.3. Determinante Sea V un espacio vectorial sobre K (R o C) y B = {e 1,..., e n } una base. Llamamos determinante en B a la única forma multilineal alternada en V del tipo det B : V. n.. V K que cumple det (e 1,..., e n ) = 1 B Sean x i = (x i1, x i,..., x in ) resp. de B (1 i n) vectores de V. det B (x 1, x,..., x n )= det B (x 1, x,..., x n ) = det B ( σ S(n) = = n j 1 =1 n n x 1j1 e j1, j 1 =1 x 1j1 j 1 =1 j =1 n x j e j,..., j =1 n x j... j =1 n... n j n=1 n j n=1 n x njn e jn ) j n=1 x njn det B (e j 1, e j,..., e jn ) x 1j1 x j... x njn det B (e j 1, e j,..., e jn ) ( ) 1... n ( 1) sg(σ) x 1j1 x j... x njn con σ= j 1 j... j n

12 Determinante de una Matriz A = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a n1 a n a nn A = det B (A 1 A A n ) con A i = (a 1i, a i,..., a ni ) respecto de B. S(3) = {( ) ( 1 3, 1 3 ) ( 1 3, 3 1 ) ( 1 3, 1 3 ) ( 1 3, 3 1 ) ( 1 3, 3 1 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 = a 11 a a 33 a 1 a 1 a 33 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 + a 13 a 1 a 3 + a 1 a 3 a 31 a 31 a 3 a 33 )} S(4) = 4! = 4 S(5) = 5! = 10 S(6) = 6! = 70

13 6.3.. Propiedades de los Determinantes de Matrices 1. El determinante de una matriz diagonal o triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.. A = A t 3. Al intercambiar dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. 4. Si dos filas (o columnas) son iguales, el determinante es cero. 5. Si una fila (o columna) es de ceros, el determinante es cero. 6. Si multiplicamos una fila (o columna) por un escalar λ, el determinante queda multiplicado por λ. 7. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las restantes, el determinante es cero. 8. Si cambiamos la fila (o columna) A i por A i + λa j, el determinante no cambia Formas Cuadráticas Sea V un espacio vectorial sobre R y f : V V R una forma bilineal simétrica. Llamamos forma cuadrática asociada a f a la aplicación ϕ : V R ϕ(x) = f(x, x)

14 y decimos que f es la forma polar de ϕ. Además, f(x, y) = 1 (ϕ(x + y) ϕ(x) ϕ(x)) Ejemplo 10 Para cualquier par de vectores x = (x 1, x, x 3 ) e y = (y 1, y, y 3 ) f(x, y)=x 1 y + 3x 1 y 3 + x y 1 + x y + x y 3 + 3x 3 y 1 + x 3 y + x 3 y 3 f(x, y) = ( y 1 ) x 1 x x y y 3 ϕ(x) = x 1 x + 6x 1 x 3 + x + x x 3 + x 3 ϕ(x) = ( x 1 x ) x x 1 x x 3

15 Clasificación: Definida positiva si ϕ(x) > 0 para todo x 0. Semidefinida positiva si ϕ(x) 0 para todo x 0 y no es definida positiva. Definida negativa si ϕ(x) < 0 para todo x 0. Semidefinida negativa si ϕ(x) 0 para todo x 0 y no es definida negativa. Indefinida en otro caso. Llamamos menores principales, P r, a los menores M 1...r;1...r Una forma cuadrática es definida positiva si y sólo si todos los menores principales son estrictamente positivos. P 1 > 0, P > 0,..., P n > 0 Una forma cuadrática es definida negativa si y sólo si P 1 es negativo y el resto de los menores principales van alternando el signo. P 1 < 0, P > 0, P 3 < 0, P 4 > 0...

16 6.5. Espacios con producto interior Producto escalar Llamamos producto escalar en un espacio vectorial V sobre R a cualquier forma bilineal, definida positiva y simétrica. : V V R Llamamos espacio vectorial eucĺıdeo a cualquier espacio vectorial dotado de un producto escalar, (V, ) Norma de un vector En un espacio vectorial eucĺıdeo, (V, ), llamamos norma de un vector x a x = x x

17 Propiedades Sea (V, ) un espacio vectorial eucĺıdeo, x, y V y λ R. 1. (x y) x y. x 0 3. x = 0 si y sólo si x = 0 4. x + y x + y 5. λ x = λ x Ángulo entre dos vectores Sea (V, ) un espacio vectorial eucĺıdeo y x, y V dos vectores no nulos. Definimos el ángulo que forman x y y como x y α = arccos x y En consecuencia, x y = x y cos α

18 Ortogonalidad Decimos que x 1, x,..., x n son ortogonales si x i x j = 0 para todo i j. Decimos que x es unitario si x = 1. Decimos que x 1, x,..., x n son ortonormales si son ortogonales y unitarios. Propiedades: Todo conjunto de vectores ortogonales es L.I. Sean x 1, x,..., x n vectores ortogonales y 1 i n. Todo vector de {x 1,..., x i } es ortogonal a todo vector de {x i+1,..., x n }. La matriz asociada al producto escalar en una base ortonormal es la identidad.

19 Bases ortogonales y ortonormales Método de Gram-Smith: Sea {x 1, x, x 3,..., x n } un conjunto de vectores L.I. en un espacio eucĺıdeo. u 1 = x 1 u = x x u 1 u 1 u 1 u 1 u 3 = x 3 x 3u 1 u 1 u 1 u 1 x 3u u u u. u n = x n x nu 1 u 1 u 1 u 1 x nu n 1 u n 1 u n 1 u n 1 {u 1, u, u 3,..., u n } es ortogonal y {u 1 0, u 0, u 3 0,..., u n 0 } es ortonormal, donde Además, para todo 1 i n, u i 0 = u i u i {x 1,..., x i } = {u 1,..., u i } = {u 1 0,..., u i 0 }

20 Orientación de un espacio vectorial eucĺıdeo Si consideramos una base ortonormal B = {e 1,..., e n } y definido el determinante, D(e 1,..., e n ) = 1, decimos que B define una orientación. Cualquier base tendrá determinante positivo o negativo (nunca nulo). Diremos que otra base B es positiva si su determinante es positivo y negativa en caso contrario. En R con la base canónica, cuando la orientación de la base B = {u, v} es positiva, Det(u, v) = u v sen α que es el área del paralelogramo formado por los vectores. En R 3 con la base canónica, cuando la orientación de la base B = {u, v, w} es positiva, Det(u, v, w) es el volumen del paralelepípedo que determinan los vectores.

21 Producto vectorial Sea V un espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión 3 orientado. Definimos el producto vectorial de dos vectores, x e y, como el único vector x y que verifica: 1. x y es ortogonal a x e y.. Si x e y son independientes, {x, y, x y} es una base orientada positivamente. 3. x y = x y senα donde α es el ángulo formado por los vectores x e y. Propiedades: 1. Para todo x e y se cumple que x y = (y x).. x 0 = 0 x = Sean x 0 e y 0. x y = 0 si y sólo si x e y son linealmente dependientes. Expresión anaĺıtica en R 3 : ( x x y = y x 3 y 3, x 1 y 1 x 3 y 3, x 1 y 1 x y )

22 6.6. Diagonalización de formas bilineales simétricas Recordemos que si f es una forma bilineal en V (es decir, f : V V K), A es la matriz asociada a f en una base B y A es la matriz asociada a f en otra base B, el cambio de base es A = P t AP donde P es la matriz de cambio de base de B a B Matrices ortogonales Para que lo estudiado en el apartado anterior nos sirviera, sería suficiente que la matriz de paso P fuese ortogonal (una matriz P es ortogonal si P 1 = P t ) Propiedades: P es ortogonal si y sólo si sus columnas son ortonormales. La matriz de cambio de base entre dos bases ortonormales es ortogonal. Si P es una matriz ortogonal, P = 1 o P = 1.

23 6.6.. Diagonalización de matrices simétricas Teorema Todas las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica son reales.. Los autovectores asociados a autovalores diferentes, además de L.I., son ortogonales. Por tanto, si una matriz simétrica, A, es diagonalizable, aplicando el método de Gram-Smith a una base de cada uno de los subespacios propios, se puede diagonalizar de la siguiente forma D = P t AP Teorema 1 (Espectral) Toda matriz simétrica de coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable.

24 3 1 0 Ejemplo 13 Consideremos la matriz A = Autovalores: con multiplicidad y 4 con multiplicidad 1. Autovectores: N = L({(1, 1, 0), (1, 1, 1)}) = L({( 1 1,, 0), (0, 0, 1)}) N 4 = L({(1, 1, 0)}) = L({( 1, 1, 0)}) =

25 6.7. Diagonalización de formas cuadráticas Recordemos que: Dada una forma bilineal simétrica, f : V V R, definimos la forma cuadrática asociada a f como la aplicación ϕ : V R ϕ( x) = f( x, x) y decimos que f es la forma polar de ϕ. Además, Clasificación: f( x, y) = 1 (ϕ( x + y) ϕ( x) ϕ( x)) Definida positiva si ϕ( x) > 0 para todo x 0. Semidefinida positiva si ϕ( x) 0 para todo x 0 y no es definida positiva. Definida negativa si ϕ( x) < 0 para todo x 0. Semidefinida negativa si ϕ( x) 0 para todo x 0 y no es definida negativa. Indefinida en otro caso.

26 Decimos que una forma cuadrática está en forma canónica si su expresión es suma de cuadrados Método de los autovalores Ejemplo 14 Consideremos la forma cuadrática ϕ(x 1, x, x 3 ) = x 1 + x 1 x + x cuya representación matricial es ϕ(x 1, x, x 3 ) = ( ) x 1 x 1 x x x x 3 Si calculamos los autovalores obtenemos: 1 Es decir, existe una base en la que la representación matricial es ϕ(x 1, x, x 3 ) = ( 1 ) x 1 x x siendo (x 1, x, x 3) la representación en dicha base del vector (x 1, x, x 3 ). 3 0 x 1 x x 3

27 6.7.. Método de Lagrange Ejemplo 15 ϕ(x 1, x, x 3 ) = x 1 + x 1 x + x = (x x ) 1 4 x + x = (x x ) x Cambio de base Se tiene que x 1 = x x x = x x 3 = x = = x x x 1 x x = x 1 x x

28 Teorema 16 (de Sylvester) Todas las formas canónicas de una misma forma cuadrática tienen el mismo número de coeficientes positivos, negativos y nulos. Llamamos rango al número de coeficientes no nulos (rango de la matriz). Llamamos signatura al número de coeficientes estrictamente positivos. Clasificación: Definida positiva si orden=rango=signatura. Semidefinida positiva si orden>rango=signatura. Definida negativa si orden=rango y signatura=0. Semidefinida negativa si orden>rango y signatura=0. Indefinida en otro caso.

29 Criterio de Sylvester Llamamos menores principales, P r, a los menores M 1...r;1...r Una forma cuadrática es definida positiva si y sólo si todos los menores principales son estrictamente positivos. P 1 > 0, P > 0,..., P n > 0 Una forma cuadrática es definida negativa si y sólo si P 1 es negativo y el resto de los menores principales van alternando el signo. P 1 < 0, P > 0, P 3 < 0, P 4 > 0...