Juan Carlos Colonia PRUEBA DE HIPÓTESIS

Transcripción

1 Juan Carlos Colonia PRUEBA DE HIPÓTESIS

2 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es un supuesto acerca de la distribución de probabilidad de una o mas variables aleatorias o de los parámetros de una población. En la practica la distribución de la población es a menudo implícitamente supuesta, especificándose una hipótesis con el valor o los valores del parámetro o los parámetros que la definen.

3 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Es la hipótesis en la que el investigador esta dispuesto a creer a priori como verdadera y cuya validez será sometida a prueba. Se designa. H Es la hipótesis de investigación; especifica aquellos valores del parámetro que se quiere apoyar con los datos de la muestra. Se designa H 1. La hipótesis alternativa niega a la hipótesis nula.

4 PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Se denomina prueba, test o contraste de hipótesis estadística, a la regla de decisión utilizada para rechazar o aceptar la hipótesis nula. Esta decisión se basa en el valor que toma una estadística en base a lo datos de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de la población bajo estudio.

5 REGIÓN CRITICA Una prueba de hipótesis divide el espacio muestral de observaciones en dos partes llamados Región de Rechazo o Región Critica y la Región de Aceptación. La región critica, es la región del espacio muestral que contiene los valores muestrales para los cuales se rechaza la hipótesis nula. La región de aceptación, es la región del espacio muestral que contiene los valores muestrales para los cuales no se rechaza la hipótesis nula. La decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula se basa en algún estadístico de la muestra.

6 REGIÓN CRITICA Ejemplo: Sea X una muestra aleatoria de tamaño n 1, X 2,..., Xn extraída de una población N, 64. Consideremos la hipótesis nula 7 y la prueba: rechazar la hipótesis nula si, x 7 8 n. Entonces la región crítica de la prueba es: Región de aceptación n Punto critico Región critica o de rechazo x Si el valor de cae en esta región se rechaza H

7 REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE UNA COLA Prueba de cola izquierda o inferior H : H: Se rechaza H si ˆ cae en la región de rechazo

8 REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE UNA COLA Prueba de cola derecha o superior H : H: Se rechaza si ˆ cae en la región de rechazo H

9 REGIÓN CRITICA: PRUEBA DE DOS COLAS Prueba de dos colas H : H: Se rechaza si ˆ cae en la región de rechazo H

10 ERRORES TIPO I Y TIPO II El procedimiento de decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula en base a la información contenida en una muestra de la población en estudio, esta sujeta a dos tipos de errores. Error Tipo I Un error tipo I o error de primera especie, es cometido si se rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera. Error Tipo II Un error tipo II o error de segunda especie, es cometido si se acepta la hipótesis nula cuando es falsa.

11 ERRORES TIPO I Y TIPO II La decisión en un contraste de hipótesis es parecida a la de un juicio penal al establecer si una persona es inocente o culpable. Presunción de inocencia La persona es considerada inocente mientras no se demuestre lo contrario. Hipótesis nula Se asume cierta mientras no haya evidencia en sentido contrario.

12 ERRORES TIPO I Y TIPO II Es posible tomar la decisión equivocada 1. Declarando culpable a un inocente (Rechazar H siendo cierta) 2. Declarando inocente a un culpable (No rechazar H siendo falsa) El error en el veredicto de culpabilidad es mas grave que en el veredicto de inocencia, es peor condenar a un inocente que dejar ir a un culpable. El error tipo I es mas grave que el error tipo II

13 ERRORES DEL TIPO I Y DEL TIPO II Las posibilidades de decisión se puede esquematizar en la siguiente tabla Decisión Aceptar H H 1 Verdadero Decisión correcta Estado H 1 Verdadero Error del Tipo II Aceptar Error del Tipo I Decisión correcta H

14 NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Y POTENCIA DE LA PRUEBA El tamaño del error tipo I o nivel de significancia de la prueba es la probabilidad de cometer error tipo I. se denota por. P cometer error tipo I P rechazar H H es verdadero La probabilidad de cometer error tipo II se denota. El complemento de se denomina potencia de la prueba. Prechazar H H es verdadero P cometer error tipo II P aceptar H H es verdadero

15 NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Y POTENCIA DE LA PRUEBA Ejemplo: Un lote de productos tiene un costo medio de S/. 3, bajo la sospecha de que el precio ha subido, se comprará un lote si este no es mayor a S/. 3. Para esta prueba los riegos y son como sigue: Acción Comprar No comprar H : 3 H1 3 Decisión correcta P a 3 1 P a 3 Decisión correcta La potencia de la prueba: 1 P a 3 1

16 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. Formular las hipótesis de acuerdo con el problema que se tiene. 2. Escoger el nivel de significación o riesgo. 3. Escoger la estadística de prueba adecuada cuya distribución muestral sea conocida cuando sea verdadero. 4. Establecer la región de rechazo para la estadística de prueba, determinando el valor o valores críticos, en base al nivel de significación. 5. Calcular el valor la estadística de prueba en base a la información dada por la muestra. H 6. Decisión de rechazar si el valor de la estadística de prueba cae en la región crítica y aceptarla en caso contrario. H

17 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LOS PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN

18 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES CONOCIDA Hipótesis Estadística de Prueba Región crítica H : H: H : H: x Z N,1 n H : H: Regla de decisión Z Z Z Z 1 2 Z Z 1

19 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES CONOCIDA Ejemplo: Se sabe que el tiempo medio de secado de un tipo de pintura es de 75 min con una desviación estándar de 9 min. Los químicos han propuesto un nuevo aditivo diseñado para disminuir el tiempo promedio de secado. Se toma una muestra de 25 observaciones de tiempo de secado y se obtiene un tiempo medio de 72.3 min, con un nivel de significación de 1% se puede afirmar que el medio de secado ha disminuido.

20 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES CONOCIDA Ejemplo: 1. Hipótesis: 2. Nivel de significación: 3. Estadística de prueba: 4. Punto crítico: H : 75 H : Z 1.5 Z Z Decisión: No se puede rechazar H. No existe evidencia estadística para afirmar que el tiempo medio de secado ha disminuido

21 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Hipótesis Estadística de Prueba Región crítica H : H: H : H: x Z N,1 s n H : H: Regla de decisión Z Z Z Z 1 2 Z Z 1

22 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Ejemplo: Se midió la temperatura de fusión en una muestra de 49 observaciones de cierta marca de aceite vegetal hidrogenado, se encontró una media de C y una desviación estándar de 1.2 ºC. Con un nivel de significación de 5%, se puede afirmar que la temperatura de fusión difiere de 95 C.

23 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Ejemplo: 1. Hipótesis: H 1 : Nivel de significación: 3. Estadística de prueba: 4. Punto crítico: H : Decisión: Se rechaza H..5 Z 3.96 Z Z 1.96 La temperatura de fusión es diferente de 95 C con 5% de nivel de significación

24 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Hipótesis Estadística de Prueba H : H: t H : H: x n1 s n t H : H: Región crítica Regla de decisión t t, n t t, n1 2 t t, n 1

25 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Ejemplo: Un fabricante de pilas indica que el tiempo de duración de las pilas AA que fabrica, tiene un promedio de duración es al menos de 55 horas. Un distribuidor mayorista ha solicitado un pedido de pilas, pero antes de aceptar el pedido analiza una muestra de 16 pilas cuyos resultados arrojan una media de 48.5 con una desviación estándar de 3.19 horas. Qué decisión tomará el mayorista al 5% de nivel de significación?.

26 P.H. PARA LA MEDIA CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA Y n 3 Ejemplo: 1. Hipótesis: H 1 : Nivel de significación: 3. Estadística de prueba: 4. Punto crítico: H : Decisión: Se rechaza H..5 t 8.15 t t 1.753, n.5,15 Con 5% de nivel de significación se puede afirmar que el tiempo medio de duración de las pilas AA es menor de 55 horas

27 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA Hipótesis Estadística de Prueba Región crítica H : 2 2 H: 2 2 H : 2 2 H: 2 2 n 1 s , n1 H : 2 2 H: 2 2 Regla de decisión 2 2 1, n , n , n 1 2 2, n 1

28 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA Ejemplo: El Director de un colegio está interesado en que sus alumnos que terminan la secundaria ingresen a la universidad. Él indica que una varianza superior a 2 en las calificaciones es negativa para el ingreso a la universidad. Propone un programa de preparación a la universidad y al final del curso se elige una muestra de 1 alumnos y se toma un test de conocimientos que arroja como resultado una varianza de 18. Se puede afirmar que la varianza ha disminuido con 5% de nivel de significación.

29 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA Ejemplo: 1. Hipótesis: 2 H : 2 2 H 1 : 2 2. Nivel de significación: 3. Estadística de prueba: Punto crítico: Decisión: No se puede rechazar H. 1, n.95, Con 5% de nivel de significación se puede afirmar que el programa de preparación no ha hecho que la varianza disminuya

30 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES Hipótesis Estadística de Prueba Región crítica H : H: p Z N,1 H : H: 1 n H : H: Regla de decisión Z Z Z Z Z Z 1 2 1

31 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES Ejemplo: Según datos de ventas del año pasado proporcionados por la gerencia comercial de una conocida tienda por departamentos, de cada 1 compras efectuadas 1 eran por Internet. Se selecciona una muestra en el presente año de 2 compras para determinar qué proporción de compras se efectuaron por Internet. Esta muestra indica que el 14% de las compras fueron por Internet. A nivel de significancia del 1%, puede concluirse que la proporción de compras por Internet ha cambiado significativamente?.

32 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES Ejemplo: 1. Hipótesis: 2. Nivel de significación: 3. Estadística de prueba: 4. Punto crítico: H : Decisión: No se rechaza H. H :.1 1 Z 1.88 Z Z Con 1% de nivel de significación no se puede afirmar que el porcentaje de compras por internet haya cambiado