8 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Transcripción

1 8 Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f() = representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: B(, 4) Creciente ( ): 0) (, +@) Decreciente ( ): (0, ) (, ) y = Aplica la teoría. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a) y = b) y = a) y' = 3 6 y' = 0 ò = 0, = Máimo relativo: A(0, 3) Mínimo relativo: B(, ) Creciente ( ): 0) (, +@) Decreciente ( ): (0, ) b) y' = 3 y' = 0 ò = 0, = Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(, ) Creciente ( ): (, +@) Decreciente ( ): Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = + y' = y' = 0 ò =, = Máimo relativo: A(, ) Mínimo relativo: B(, ) Creciente ( ): ) (, +@) Decreciente ( ): (, 0) (0, ) 3. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: 3 y = + y' = 6 ( + ) y' = 0 ò = 0 Máimo relativo:a(0, 3) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Decreciente ( ): (0, +@) 4. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = + 4 y' = y' = 0 ò = SOLUCIONARIO

2 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(0, ) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 5. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = ( )e y' = ( )e y' = 0 ò = Máimo relativo:a(, e) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Decreciente ( ): (, +@). Puntos de infleión y curvatura Piensa y calcula Dada y = representada en el margen, halla los puntos de infleión y los intervalos + de concavidad y conveidad. Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): Cóncava (»): (0, +@) f() = + Aplica la teoría 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a) y = b) y = a) y' = y'' = 6 8 y'' = 0 ò = 3 y''' = 6 y'''(3) = 6 0 Punto de infleión:a(3, ) Convea («): (3, +@) Cóncava (»): b) y' = y'' = y'' = 0 ò = y''' = 6 y'''() = 6? 0 Punto de infleión:a(, 0) Convea («): Cóncava (»): (, +@) 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = y' = + ( ) ( y'' = + 3) ( ) 3 y'' = 0 ò = 0 6( y''' = ) ( ) 4 y'''(0) = 6? 0 Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (, 0) (, +@) Cóncava (»): ) (0, ) 8. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: 3 y = + TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9

3 3( y' = ) ( + ) 6( y'' = 3) ( + ) 3 y'' = 0 ò = 3, = 0, = 3 8( y''' = ) ( + ) 4 y'''( 3) = 9/6? 0 y'''(0) = 8? 0 y'''( 3) = 9/6? 0 Puntos de infleión: A( 3, 3 3/4), O(0, 0), B( 3, 3 3/4) Convea («): ( 3, 0) ( 3,+@) Cóncava (»): 3) (0, 3) 9. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y = e y' = ( + )e y'' = ( + )e y'' = 0 ò = y''' = ( + 3)e y'''( ) = /e? 0 Punto de infleión:a(, /e ) Convea («): (, +@) Cóncava (»): ) 0. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la función y = L ( + 4) y' = + 4 ( y'' = 4) ( + 4) y'' = 0 ò =, = 4( y''' = ) ( + 4) 3 y'''( ) = /8 0 y'''() = /8 0 Puntos de infleión:a(, 3 L ), B(, 3 L ) Convea («): (, ) Cóncava (»): ) (, +@) 3. Problemas de derivadas Piensa y calcula La función f() = + a + b pasa por el punto A(0, 4) y tiene un mínimo en el punto B(, 0). Calcula mentalmente el valor de a y b f() = Aplica la teoría. Obtén los valores de los parámetros a, b y c para que la función f() = a 3 + b + c pase por el punto O(0, 0) y tenga un mínimo local en A(, ) a) Pasa por O(0,0) f(0) = 0 ò c = 0 b) Pasa por A(, ) f() = ò a + b + c = c) Tiene un mínimo local en A(, ) f'() = 3a + b f'() = 0 ò 3a + b = 0 Se resuelve el sistema: c = 0 3a + b = 0 a + b + c = ò a = /, b = 3/, c = 0 La función es f() = SOLUCIONARIO

4 . Calcula dos números cuya suma sea 00 y de forma que su producto sea máimo. a) Incógnitas y datos. = primer número. y = segundo número. + y = 00 b) Función que hay que maimizar. f(, y) = y Sujeto a: + y = 00 ò y = 00 c) Se escribe la función con una sola variable. f() = (00 ) f() = 00 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos. f'() = = 0 ò = 50 Si = 50 ò y = 50 e) Se comprueba en la segunda derivada. f''() = < 0 ( ) ò máimo relativo. f) El primer número es = 50; el segundo, y = 50 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. S'() = 3 3 = 0 ò = 6 Si = 6 ò y = 6 e) Se comprueba en la segunda derivada. S''() = < 0 ( ) ò máimo relativo. f ) El recinto mide 6 m por 6 m 4. Calcula el área del mayor triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio 4 cm a) Incógnitas, datos y dibujo. y = base del triángulo. h = altura del triángulo = BD A y 4 cm B O D 4 cm y C 3. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mida 64 m y su área sea máima. a) Incógnitas, datos y dibujo. = longitud de la base. y = altura. Perímetro = 64 m b) Función que hay que maimizar. S(, y) = y Sujeta a las condiciones: Perímetro = 64 m ò + y = 3 y S(,y) = y c) Se escribe la ecuación con una sola variable. + y = 3 ò y = 3 S() = (3 ) S() = 3 Sea = OD El triángulo ABC es rectángulo en A Por el teorema de la altura: y = BD DC = (4 + ) (4 ) = 6 b) Función que hay que minimizar. A(y, h) = yh Sujeta a las condiciones: y = 6 ò y = 6 h = 4 + c) Se escribe la ecuación con una sola variable. A() = 6 (4 + ) A() = (4 + ) 6 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. A'() = 6 (4 + ) 6 A'() = = 0 ò = 4, = Si = 4, no tiene sentido en el problema. Si = cm ò y = cm ; h = 6 cm TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3

5 e) Se comprueba en la segunda derivada. A''() = (6 ) 6 A''() = 3 < 0 ( ) ò máimo relativo. f ) El triángulo tiene un área de 6 = 6 = 3 cm 5. Calcula la altura y el radio que debe tener un bote cilíndrico cuya área total, incluyendo las dos tapas, es de 50 cm para que su volumen sea máimo. a) Incógnitas, datos y dibujo. R = radio del cilindro. H = altura del cilindro. Superficie = 50 cm H R b) Función que hay que maimizar. V(R, H) = πr H Sujeta a las condiciones: Superficie = 50 cm ò πr + πrh = 50 c) Se escribe la ecuación con una sola variable. πr 50 πr + πrh = 50 ò H = 75 = R πr πr V(R) = πr 75 ( R πr ) V(R) = 75R πr 3 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'(R) = 75 3πR 75 3πR 5 = 0 ò R = = π 5 π Si R = ò H = π 0 π π 5 π π e) Se comprueba en la segunda derivada. 5 π V''(R) = 6πR òv'' ( ) < 0 ( ) ò máimo relativo. π 5 π 0 π f ) El cilindro mide cm de radio y cm de π π altura. 3 SOLUCIONARIO

6 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: La gráfica de la función f() = a 3 + b + c pasa por el punto (0, 0) y tiene un máimo local en el punto (, ). Obtén los valores de los coeficientes a, b y c a =, b =, c = 0 a = 4, b = 6, c = 0 a = 4, b = 6, c = 0 a = 4, b = 0, c = 6 Convea («): ) Cóncava (»): (, +@) Convea («): Cóncava (»): (0, +@) Convea («): Cóncava (»): Ö Halla los valores de a y b para que la función b f() = a + tenga un etremo relativo en el punto (, ) a =, b = a =, b = 7 Encuentra el valor de b é para que la función f() = b + tenga un mínimo cuando = 3 a = 0, b = a =, b = Descompón el número 5 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo. 8 Una institución de beneficencia estatal quiere determinar cuántos analistas debe contratar para el procesamiento de solicitudes de la Seguridad Social. Se estima que el coste (en euros) C() de procesar una solicitud es una función del número de analistas dada por: y 3 C() = 0,003 0,6 L y 0 siendo > 0 (L = logaritmo neperiano). 4 y El problema no tiene solución. Si el objetivo es minimizar el coste por solicitud C(), determina el número de analistas que deberían contratarse. 4 Se ha determinado que el coste total (en euros) que le supone a cierta empresa la producción de n unidades de un determinado artículo varía según la función: c(n) = n n Calcula el número de unidades que debe producirse para hacer mínimo el coste por unidad analistas 6 analistas 7 analistas 8 analistas Un comerciante ha estado vendiendo plumas estilográficas a 0 la unidad y las ventas mensuales han sido de 35 unidades. Quiere subir el precio y calcula que por cada euro de aumento en el precio, venderá dos unidades menos. Por otro lado, cada pluma le cuesta a la tienda 0. A qué precio debe vender las plumas para que el beneficio sea máimo? 5 6 Calcula los puntos de infleión de la función f() = + (0, ) (, 0) (3, ) No tiene puntos de infleión Calcula los intervalos de concavidad y conveidad de la función f () del ejercicio anterior. Convea («): (, +@) Cóncava (»): ) 4 30,5 3,75 0 Una parábola tiene la forma f() = a + b + Se sabe que en el punto (,3) tiene un máimo o un mínimo. Calcula el valor de a y b. Determina si el punto (,3) corresponde a un máimo o a un mínimo. a =, b =. El punto es un máimo. a =, b =. El punto es un mínimo. a =, b =. El punto es un máimo. a =, b =. El punto es un máimo. TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 33

7 Ejercicios y problemas. Máimos, mínimos y monotonía 6. Identifica en las siguientes gráficas los máimos y los mínimos relativos y los intervalos donde la función es creciente y decreciente: a) b) f() a) Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(, ) Creciente ( ): (, +@) Decreciente ( ): ) b) Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo:a(, ), B(, ) Creciente ( ): (, 0) (, +@) Decreciente ( ): ) (0, ) 7. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a) y = 5 b) y = a) y' = 4 y' = 0 ò =, = Máimo relativo:a(, 4/5) Mínimo relativo: B(, 4/5) Creciente ( ): ) (, +@) Decreciente ( ): (, ) b) y' = y' = 0 ò =, = Máimo relativo:a(, 0) Mínimo relativo: B(, 7) g() Creciente ( ): ) (, +@) Decreciente ( ): (, ) 8. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a) y = 4 + b) y = 9 ( a) y' = 4 ) y' = 0 ò =, = Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(, ), B(, ) Creciente ( ): (, 0) (, +@) Decreciente ( ): ) (0, ) b) y' = 8 ( 9) y' = 0 ò = 0 Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): 3) ( 3, 0) Decreciente ( ): (0, 3) (3, +@) 9. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: e y = e y' = ( ) 3 y' = 0 ò = Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(, e) Creciente ( ): (, +@) Decreciente ( ): (0, ) 0. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = L ( + ) y' = + y' = 0 ò = 0 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 34 SOLUCIONARIO

8 . Puntos de infleión y curvatura. Identifica en las siguientes gráficas los puntos de infleión y los intervalos de concavidad y conveidad: a) b) f() a) Punto de infleión:a(, ) Convea («): ) Cóncava (»): (, +@) b) Punto de infleión: O(0, 0) Convea («): (, 0) (, +@) Cóncava (»): ) (0, ) f() 3. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = + y' = ( + ) (3 y'' = ) ( + ) 3 y'' = 0 ò = 3/3, = 3/3 4( y''' = ) ( + ) 4 y'''( 3/3) = 7 3/6? 0 y'''( 3/3) = 7 3/6? 0 Puntos de infleión: A( 3/3, /4), B( 3/3, /4) Convea («): ( 3/3, 3/3) Cóncava (»): 3/3) ( 3/3, +@). Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a) y = b) y = a) y' = y'' = y'' = 0 ò = /, = 0, = / y''' = y'''( /) = 60? 0 y'''(0) = 30? 0 y'''( /) = 60? 0 Puntos de infleión: A( /, 7 /8), O(0, 0), B( /, 7 /8) Convea («): ( /, 0) ( /, +@) Cóncava (»): /) (0, /) b) y' = 3 3 y'' = 3 6 y'' = 0 ò = 0, = y''' = 6 6 y'''(0) = 6? 0 y'''() = 6? 0 Puntos de infleión:a(0, ), B(, 6) Convea («): 0) (, +@) Cóncava (»): (0, ) 4. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = y' = ( ) (3 y'' = + ) ( ) 3 y''? 0 Puntos de infleión: no tiene. Convea («): (, ) Cóncava (»): ) (, +@) 5. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = 4 y' = 4 4 y'' = (4 ) 4 y''? 0 Puntos de infleión: no tiene. Convea («): Ö Cóncava (»): (, ) TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 35

9 Ejercicios y problemas 6. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = e y' = e y'' = (4 )e y'' = 0 ò = /, = / y''' = 4(3 )e y'''( /) = 4 / e? 0 y'''( /) = 4 / e? 0 Puntos de infleión:a( /, / e), B( /, / e) Convea («): /) ( /, +@) Cóncava (»): ( /, /) 7. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de la siguiente función: y = L +L y' = L L y'' = L 3 y'' = 0 ò = e 6 +L y''' = L 4 y'''(e ) =? 0 8e 4 Puntos de infleión:a(e,e /) Convea («): (, e ) Cóncava (»): (0, ) (e,+@) 3. Problemas de derivadas 8. Para cada valor de a, se considera la función: 3 f() = a + Calcula el valor de a para que f() tenga un mínimo relativo en = 3 f'() = + a ( + ) Si ha de tener un mínimo en = f'() = 0 8 a = 0 ò a = 8 8 4(a + 6) f''() = ( + ) 3 a + 6 f''() = > 0 para a = 8 6 Efectivamente, es un mínimo. 9. Epresa el número 60 como suma de tres enteros positivos, de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máimo. Determina el valor de dicho producto. a) Incógnitas y datos. = primer número y = segundo número z = tercer número + y + z = 60 y = ò z = 60 3 b) Función que hay que maimizar. f(, y, z) = yz Sujeto a: + y + z = 60 y = c) Se escribe la función con una sola variable. f() = (60 3) f() = d) Se calculan los máimos y mínimos relativos. f'() = = 0 ò = 0, = 40/3 Si = 0 ò y = 0 ò z = 60 Si = 40/3 ò y = 80/3 ò z = 0 e) Se comprueba en la segunda derivada. f''() = f''(0) = 40 > 0 (+) ò mínimo relativo. f''(40/3) = 40 < 0 ( ) ò máimo relativo. f ) El máimo se alcanza en = 40/3, pero el enunciado del problema pide que los números sean enteros positivos. Como 40/3 é[3, 4], se debe buscar la solución en los etremos del intervalo cerrado: f() = f(3) = = f(4) = = La solución entonces es = 3, y = 6, z = 30. Calcula el área máima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos valga 4 cm 36 SOLUCIONARIO

10 a) Incógnitas, datos y dibujo. = longitud de un cateto. y = longitud de otro cateto. + y = 4 y b) Función que hay que maimizar. y f(, y) = Sujeto a: + y = 4 ò y = 4 c) Se escribe la función con una sola variable. (4 ) f() = = d) Se calculan los máimos y mínimos relativos. f'() = f'() = 0 ò = Si = ò y = e) Se comprueba en la segunda derivada. f''() = f''() = < 0 ( ) ò máimo relativo. f ) El máimo se alcanza en = cm, y = cm, que es un triángulo rectángulo isósceles cuya área es cm Sujeta a las condiciones: R + H = 30 c) Se escribe la ecuación con una sola variable. H = 30 R V(R) = πr (30 R) V(R) = 30 R πr 3 d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. V'(R) = 60πR 3πR 60πR 3πR = 0 ò R = 0, R = 0 Si R = 0 ò H = 0 La solución R = 0 no tiene sentido. e) Se comprueba en la segunda derivada. V''(R) = 60π 6πR V''(0) = 60π < 0 ( ) ò máimo relativo. f ) El cilindro mide 0 cm de radio y 0 cm de altura. 3. Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de 500 cm 3 de volumen, para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Halla la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la menor posible. a) Incógnitas, datos y dibujo. y 3. Halla la base y la altura y de una cartulina rectangular de 60 cm de perímetro, que, al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical, genera un cilindro de volumen máimo. a) Incógnitas, datos y dibujo. H R = longitud de la arista de la base. y = altura de la caja. Volumen = y = 500 b) Función que hay que minimizar. A(, y) = + 4y Sujeta a las condiciones: y = 500 R = radio del cilindro. H = altura del cilindro. R + H = 30 cm b) Función que hay que maimizar. V(R, H) = πr H c) Se escribe la función con una sola variable. A(, y) = + 4y 500 y = A() = A() = TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 37

11 Ejercicios y problemas d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. 000 A'() = A'() = 0 ò = 0 Si = 0 ò y = 5 e) Se comprueba en la segunda derivada A''() = + 3 A''(0) = 6 > 0 (+) ò mínimo relativo. f ) La caja mide 0 cm de arista de la base y 5 cm de alto. El área es A = 300 cm Para ampliar 33. Dada la gráfica de la función f(), haz en cada caso un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f'(): a) b) f() f() c) La derivada de una parábola es una recta. La función tiene en = un máimo. Luego f'() = 0. Así, a la izquierda del máimo f es creciente (f' > 0), y a la derecha, f es decreciente (f' < 0) f'() f() c) d) f() f() d) La derivada de una cúbica es una parábola. f'() a) La derivada de una función constante es cero. f() f'() f() En = 0 hay un máimo, f'(0) = 0, f' > 0 a la izquierda de = 0, y f' < 0 a la derecha de = 0 En = hay un mínimo, f'() = 0, f' < 0 a la izquierda de =, y f' > 0 a la derecha de = En = hay un punto de infleión. La función f' pasa de decreciente a creciente, es decir, f' tiene un mínimo. b) La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. f() f'() 38 SOLUCIONARIO

12 34. Dada la gráfica de la función f(), haz en cada caso un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f'() y de la gráfica de la segunda derivada f"(): a) b) f() f() c) La derivada de una cúbica es una parábola. f'() f''() f': En = hay un máimo, f'( ) = 0, f' > 0 a la izquierda de = y f' < 0 a la derecha de = c) d) f() f() En = hay un mínimo, f'() = 0, f' < 0 a la izquierda de = y f' > 0 a la derecha de = En = 0 hay un punto de infleión. La función f' pasa de decreciente a creciente, es decir, f' tiene un mínimo. f'': En = 0, f''(0) = 0, y a la derecha de cero la función es cóncava (f'' > 0) y a la izquierda de cero la función es convea (f'' < 0) a) f': La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. f'': La derivada de una constante es cero. d) La derivada del seno es el coseno. f''() f'() f'() f''() f: En los puntos de máimo relativo, f' = 0, y a la izquierda del valor f' > 0, y a la derecha del valor f' < 0 f'': En los puntos de infleión, f'' = 0, y en los intervalos de concavidad f'' > 0, y en los intervalos de conveidad f'' < 0 b) La derivada de una parábola es una recta. 35. Se considera la curva de ecuación y = 3 6 Halla, si eisten, las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. f'() f''() f': La función tiene en = un mínimo. Luego f'( ) = 0. Entonces, a la izquierda del mínimo, f es decreciente (f' < 0), y a la derecha, f es creciente (f' > 0) f'': La derivada de una función de primer grado es una constante que coincide con la pendiente de la recta. Como f es cóncava, f'' > 0 y' = 3 6 y'' = 6 y' = 0 ò =, = Máimo relativo:a(, 4 ) Mínimo relativo: B(, 4 ) 36. Dada la función f() = a) determina sus máimos y sus mínimos relativos. b) calcula sus puntos de infleión. TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 39

13 Ejercicios y problemas f'() = + a) f'() = 0 ò =, = Máimo relativo: A(, 3/3) Mínimo relativo: B(, /6) b) f''() = + f''() = 0 ò = / f'''() = Punto de infleión: C( /, 5/) a) las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b) los intervalos donde es creciente y decreciente. f'() = 4 f'() = 0 ò = 0, = 4 Máimo relativo:a(4, 3/3) Mínimo relativo: O(0, 0) Creciente ( ): (0, 4) Decreciente ( ): (4, +@) 37. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función siguiente: f() = + f'() = f'() = 0 ò = /, = / Creciente ( ): /) (/, +@) Decreciente ( ): ( /, 0) (0, /) 38. Dada la curva siguiente: y = + calcula los máimos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 4 f'() = ( + ) f'() = 0 ò = 0 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(0, ) Creciente ( ): (0, +@) Decreciente ( ): 4. La gráfica siguiente corresponde a la función f'(), primera derivada de una cierta función f() a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f() interpretando la gráfica de f'() b) Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de la función f() utilizando solo la gráfica de f'() a) La función derivada se hace cero en = A la izquierda de =, f'() < 0; luego f() es decreciente en ) A la derecha de =, f'() > 0; luego f() es creciente en (, +@) En = la función f() tiene un mínimo. b) f'() es creciente en. Por lo tanto, la función f() es convea en ; luego no tiene puntos de infleión. f'() 39. Dada la función siguiente: f() = + determina sus máimos y mínimos relativos. f'() = ( + ) f'() = 0 ò =, = Máimo relativo:a(, /) Mínimo relativo: B(, /) 40. Sea la función f() = 3 3 Calcula: 4. Calcula dos números positivos tales que su producto es 9 y la suma de tres veces el primero más el segundo es mínima. a) Incógnitas y datos. = primer número. y = segundo número. y = 9 b) Función que hay que minimizar. f(, y) = 3 + y Sujeto a: y = 9 ò y = 9 40 SOLUCIONARIO

14 c) Se escribe la función con una sola variable. 9 f() = 3 + d) Se calculan los máimos y mínimos relativos derivando. f'() = = 0 ò = 8, = 8 Si = 8 ò y = 4 El valor = 8 no es válido, ya que piden números positivos. e) Se comprueba en la segunda derivada. 384 f''() = 3 f''(8) = 3/4 > 0 (+) ò mínimo relativo. f ) El primer número es = 8; el segundo, y = 4, y la suma pedida, f() = Sea P() un polinomio de grado cuatro tal que verifica las tres condiciones siguientes: P() es una función par. Dos de sus raíces son =, = 5 P(0) = 5 Halla sus puntos de infleión. a) Si es función par: P() = a 4 + b + c b) Si = es raíz y = 5 es raíz: P() = 0 ò a + b + c = 0 P( 5) = 0 ò 5a + 5b + c = 0 c) Si P(0) = 5: c = 5 Se resuelve el sistema: a + b + c = 0 5a + 5b + c = 0 c = 5 a =, b = 6, c = 5 La función es: P() = Sus puntos de infleión serán: P'() = 4 3 P''() = P''() = 0 ò =, = P'''() = 4 P'''( ) = 4? 0 P'''() = 4? 0 Puntos de infleión: A(, 0), B(, 0) Problemas 44. Dada la gráfica de la función f(), haz, en cada caso, un dibujo aproimado de la gráfica de la función derivada f'(): a) b) f() f() b) Como f() es creciente, f'() > 0. Como f() es cóncava, f'() es decreciente, y cuando tiende a por la derecha, f'() debe tender a infinito, es decir, la recta tangente debe ser una recta vertical. f'() f() a) f'() f() Como f() es creciente, f'() > 0. En 0) la función es convea, por lo que f'() debe ser creciente, y en (0, +@) la función f() es cóncava, luego f'() es decreciente. En = 0 la tangente a la gráfica sería vertical y las derivadas laterales tenderían a infinito. TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 4

15 Ejercicios y problemas 45. Sea la función f() = + con? 0 a) Halla las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. Estudia la monotonía. b) Determina los intervalos de concavidad y conveidad. a) f'() = f'() = 0 ò =, = Máimo relativo:a(, ) Mínimo relativo: B(, ) Creciente ( ) (, +@) Decreciente ( ): (, 0) (0, ) b) f''() = 3 f''() 0 para todo Punto de infleión: no tiene. Convea («): (0, +@) Cóncava (»): f''() = 0 ò = 6, = 6 6(0 f'''() = ) 6 f'''( 6) = /9? 0 f'''( 6) = /9? 0 Puntos de infleión: C( 6, 5 6/36), D( 6, 5 6/36) 48. Calcula los máimos y mínimos relativos de: f() = L f'() = L f'() = 0 ò = /e Máimo relativo:a(/e, /e) Mínimo relativo: no tiene. 49. Dada la función f() = + halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 46. Dada la función 9 3 f() = para? 0 y?, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 3(3 f'() = + ) ( ) f'()? 0 para todo Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): Ö Decreciente ( ): 0) (0, ) (, +@) 47. Dada la función f() =, calcula: a) los máimos y los mínimos relativos. b) los puntos de infleión. 3 a) f'() = 4 f'() = 0 ò = 3, = 3 Máimo relativo:a( 3, 3/9) Mínimo relativo: B( 3, 3/9) b) f''() = ( 6) 5 3 ( 4) f'() = ( + ) f'() = 0 ò = 0, = 4 Máimo relativo: O(0, 0) Mínimo relativo:a(4, 8/9) Creciente ( ): ) (, 0) (4, +@) Decreciente ( ): (0, ) (, 4) 50. Sea f() = e ( ). Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento. f'() = ( )e f'() = 0 ò = 3, = Máimo relativo:a(, 4e) Mínimo relativo: B( 3, 0) Creciente ( ): ( 3, ) Decreciente ( ): 3) (, +@) 5. La gráfica siguiente corresponde a la derivada f'() de una cierta función f(). Determina a partir de la gráfica si eisten máimos relativos, mínimos relativos o puntos de infleión en los puntos de abscisa = y = f'() 4 SOLUCIONARIO

16 En =, f'() = 0.A la izquierda de =, f'() > 0 y la función f() es creciente; y a la derecha de =, f'() < 0 y la función f() es decreciente. Luego f() en = tiene un máimo relativo. En =, f'() tiene un mínimo relativo. Luego a la izquierda de = la función derivada, f'(), es decreciente y, por lo tanto, la función f() es cóncava; y a la derecha de =, f'() es creciente, con lo que f() es convea. Por lo tanto, la función f() tiene un punto de infleión en = 5. Un solar rectangular de 50 m se divide en tres zonas rectangulares para venderlo como muestra la figura. Se valla el borde del campo y la separación entre las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. e) Se comprueba en la segunda derivada L''() = 3 L''(50) = 6/5 > 0 (+) ò mínimo relativo. f ) La longitud se hace mínima para = 50 m, y = 75 m 53. Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 8π m 3 de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30 /m, y las dos bases con un material que cuesta 45 /m a) Determina la relación que hay entre el radio, R, de las bases circulares y la altura, H, del cilindro, y da el coste, C(R), del material necesario para construir el depósito en función de R b) Qué dimensiones ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios sea el mínimo posible? c) Cuál será, en este caso, el coste del material? a) Incógnitas, datos y dibujo. y y = largo del solar. = ancho de una parcela. b) Función que hay que maimizar. L(, y) = 6 + 4y Sujeta a las condiciones: y = 50 ò y = c) Se escribe la función con una sola variable L() = L() = 6 + d) Se calculan los máimos y mínimos derivando. L'() = L'() = 0 ò = 50, = 50 Si = 50 ò y = 75 El valor negativo no tiene sentido. a) R = radio del cilindro. H = altura del cilindro. Volumen = R H = 8π m 3 C(R) = 30 RH + 45 πr 8 C(R) = 60 R + 90 R 4 860π C(R) = + 90πR R b) Para calcular el coste mínimo, se deriva: C'(R) = 4 860π + 80πR R 4 860π + 80πR = 0 ò R = 3 R Si R = 3 m ò H = 9 m Se comprueba en la segunda derivada: 9 70π C''(R) = + 80 R 3 R C''(3) = 540π > 0 (+) ò mínimo relativo. c) C(3) = 430π = 7 634,07 H R TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 43

17 Ejercicios y problemas 54. Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos segmentos de longitud y 00. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. 55. A partir de una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 0 cm de lado. Decide si la observación es correcta o no cm a) Determina el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar b) Con el estudio de la derivada de f obtén cuándo f es creciente y cuándo es decreciente. c) Obtén de forma razonada para qué valor de se obtiene que las sumas de las áreas del triángulo y el cuadrado es mínima. a) h 60 cm a) Incógnitas, datos y dibujo. 60 cm 60 cm f(, h) = h + 3 La altura del triángulo: h = = 3 6 ( ) ( ) f() = Dom (f) = (0, 00) ( ( ) ) b) Función que hay que maimizar. V() = (60 ) V() = c) Se calculan los máimos y mínimos derivando. V'() = V'() = 0 ò = 0, = 30 d) Se comprueba en la segunda derivada. V''() = b) f'() = f'() = 0 ò = Creciente ( ):, Decreciente ( ): 0, ( ( c) f''() = > 0 para todo del dominio. 7 Luego el área será mínima. ) ) V''(0) = 40 < 0 ( ) ò máimo relativo. V''(30) = 40 > 0 (+) ò mínimo relativo. e) Como el máimo se obtiene para = 0, la observación es correcta. 56. Se considera la función real de variable real definida por f() = + 3 Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de infleión de abscisa positiva. 44 SOLUCIONARIO

18 f'() = ( + 3) 6( f''() = ) ( + 3) 3 f''() = 0 ò =, = 4(3 f'''() = ) ( + 3) 4 f'''() = 3/6 0 Punto de infleión: A(, /4) Recta tangente en A: y /4 = f'()( ) y /4 = ( ) 8 3 y = 8 Para profundizar 58. Si es posible, dibuja de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga al menos un máimo relativo en el punto (, ) y un mínimo relativo en el punto (3, 3). Si la función fuese polinómica, cuál habría de ser como mínimo su grado? Se observa que f tiene al menos 4 etremos. Por lo tanto, f' se anula 4 veces, es decir, es de grado cuatro. Si la función es polinómica, para que f' sea de grado cuatro, f debe ser de grado Se considera la función siguiente: f() = 4 a) Halla los etremos relativos de la función f() y sus intervalos de concavidad y conveidad. b) Halla el máimo y el mínimo absolutos en el intervalo [, ] a) f'() = (4 ) f'() = 0 ò = 0 (3 f''() = + 4) ò f''(0) = > 0 (4 ) 3 8 Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(0, /4) Punto de infleión: no tiene. Convea («): (, ) Cóncava (»): ) (, +@) b) Para calcular los máimos y mínimos absolutos, se observa que la función es continua en [, ], es decreciente en (, 0) y es creciente en (0, ) Como: f( ) = /3 f() = /3 se tiene: el mínimo absoluto es A(0, /4), que coincide con el mínimo relativo, y el máimo absoluto se alcanza en los etremos del intervalo. 59. Para cada valor de a se considera la función f() = + a 4 L a) Calcula el valor del parámetro real a, sabiendo que la función tiene un etremo relativo en el punto de abscisa =. Clasifica el etremo. b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento para a = 3 4 a) f'() = + a Si tiene un etremo en = ò f'() = 0 + a 4 = 0 a = 0 a = 4 f''() = a + 4 Para a = ò f''() = + f''() = 6 > 0 (+) ò mínimo relativo. Para = se tiene un mínimo relativo. 4 b) f'() = + 6 f'() = 0 ò = /3, = = no pertenece al dominio de f() Si = /3, f(/3) = 8/3 4 L(/3) Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo: (/3, 8/3 4 L(/3)) Creciente ( ): (/3, +@) Decreciente ( ): (0, /3) TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 45

19 Ejercicios y problemas 60. Se sabe que la función f() = 3 + a + b corta a su función derivada en = y que además, en dicho punto, f tiene un etremo. a) Determina los valores de a y b b) Determina la naturaleza del etremo que f tiene en = c) Tiene f algún otro etremo? a) Si f y f'se cortan en = : f'() = 3 + a 3 + a = + a + b Si en = hay un etremo, f'() = a = a = 0 Resolviendo el sistema: 3 + a = + a + b a = 3, b = b) f''() = 6 f''() = 6 > 0 (+) ò mínimo relativo. c) f'() = 3 3 f'() = 0 ò =, = f''( ) = 6 < 0 ( ) ò máimo relativo. 6. Dada la función f() = a 4 + 3b 3 3 a, calcula los valores de a y b sabiendo que la función tiene dos puntos de infleión, uno en = y otro en = f'() = 4a 3 + 9b 6 a f''() = a + 8b 6 f''() = 0 ò a + 8b 6 = 0 ò a + 3b = f''(/) = 0 ò 3a + 9b 6 = 0 ò a + 3b = Resolviendo el sistema: a =, b = 6. De la función f() = a 3 + b se sabe que tiene una gráfica que pasa por (, ) y que en ese punto tiene una tangente paralela a 3 + y = 0. Halla a y b Si pasa por (, ) ò f() = a + b = Si en (, ) la tangente es paralela a y = 3, f'() = 3 f'() = 3a + b 3a + b = 3 Resolviendo el sistema: a + b = 3a + b = 3 a =, b = La función f() = 3 + a + b + c verifica que f() =, f'() = 0 y f() no tiene un etremo relativo en =. Calcula a, b y c f'() = 3 + a + b f''() = 6 + a f() = ò + a + b + c = ò a + b + c = 0 f'() = 0 ò 3 + a + b = 0 ò a + b = 3 Si no hay etremo relativo y f'() = 3, hay un punto de infleión: f''() = 0 ò 6 + a = 0 Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones: a = 3, b = 3, c = El número total de bacterias (en miles) presentes en un cultivo después de t horas viene dado por: N(t) = t(t 0) + 50 a) Calcula la función derivada. b) Durante las 0 primeras horas, en qué instante se alcanza la población máima y la mínima? N'(t) = (3t 40t + 00) N'(t) = 0 ò t = 0/3, t = 0 Máimo relativo:a(0/3, 9 350/7) Mínimo relativo: B(0, 50) Se comprueban los etremos del intervalo [0, 0] f(0) = 50 El mínimo se alcanza en los etremos, es decir, en t = 0 y t = 0 con bacterias, y el máimo se alcanza en t = 0/3 con 9 350/7 = bacterias. 65. La capacidad de concentración de una saltadora de altura en una reunión atlética de tres horas de duración viene dada por la función f(t) = 300t(3 t), donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los intervalos en los que disminuye. Cuándo es nula? b) Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca? a) f'(t) = 600 t f'(t) = 0 ò t = 3/ Máimo relativo:a(3/, 675) Mínimo relativo: no tiene. Creciente ( ): (0, 3/) Decreciente ( ): (3/, 3) 46 SOLUCIONARIO

20 Es nula en: f(t) = 0 ò t = 0 y t = 3 b) Cuando se alcanza el máimo de concentración en t = 3/ 66. Sea la función f() = 4 + a) Determina los etremos relativos de la función. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f() que pasan por el punto (3, 5) a) f'() = 4 f () = 0 ò = Máimo relativo: no tiene. Mínimo relativo:a(, ) b) Una recta que pasa por el punto (3, 5) es: y + 5 = m( 3) ò y = m 3m 5 Para que la recta sea tangente a la parábola, ésta y la recta solo deben tener un punto en común, es decir, el sistema formado por la ecuación de la función y la recta debe tener solución única. Se observa que el punto (3, 5) no está en la parábola. y = 4 + y = m 3m 5 (4 + m) + 3m + 7 = 0 Para que tenga una solución, el discriminante debe ser cero: (4 + m) 4(3m + 7) = 0 m 4m = 0 m =, m = 6 Las rectas tangentes son: y = + y = 6 3 TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 47

21 Linu/Windows Paso a paso 67. Dada la función: y = a) dibuja la función. b) calcula los máimos y los mínimos relativos. c) determina la monotonía. d) calcula los puntos de infleión. e) halla la curvatura. Resuelto en el libro del alumnado. 68. Calcula el valor de los coeficientes a, b y c para que la función f() = 3 + a + b + c corte al eje en el punto A(, 0) y tenga un punto de infleión en el punto B(3, ) Resuelto en el libro del alumnado. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris y Derive. 69. Se desea fabricar una caja abierta con base cuadrada y con un área de 300 dm. Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen sea máimo? Resuelto en el libro del alumnado. 70. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Dadas las siguientes funciones: a) dibuja la función. b) calcula los máimos y los mínimos relativos. c) determina la monotonía. d) calcula los puntos de infleión. e) halla la curvatura. 7. y = SOLUCIONARIO

22 Windows Derive 7. y = 73. Halla los puntos singulares de la función: f() = 5 + TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 49

23 Linu/Windows 74. Para la función f: 8 definida de la forma f() = determina su monotonía y sus etremos relativos. 75. Dada la función: f() = calcula los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de dicha función. 50 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive 76. Se ha determinado que el coste total (en euros) que le supone a cierta empresa la producción de n unidades de determinado artículo varía según la función: c(n) = n n Calcula el número de unidades que debe producirse para hacer mínimo el coste por unidad. 77. Calcula los puntos de infleión de la función: f() = + y los intervalos de concavidad y conveidad. 78. Halla el máimo y el mínimo absolutos de la función: f() = en el intervalo [, ] TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5

25 Linu/Windows 79. Obtén los parámetros r, s y t para que la función f() = 3 + r s + t tenga un máimo en =, un mínimo en = 0 y pase por el punto (, ) 80. La gráfica de la función f() = a 3 + b + c pasa por el punto (0, 0) y tiene un máimo local en el punto (, ). Obtén los valores de los coeficientes a, b y c 5 SOLUCIONARIO

26 Windows Derive 8. Halla los valores de a y b para que la función b f() = a + tenga un etremo relativo en el punto (, ) 8. Encuentra el valor de b é para que la función f() = b + tenga un mínimo cuando = TEMA 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 53

27 Linu/Windows 84. Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm 3. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado? 83. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro mida 64 m y su área sea máima. 85. Descompón el número 5 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo. 54 SOLUCIONARIO

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