MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN. i = N Cuando los datos vienen dados por una tabla de frecuencias:
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- María Luz Vidal Acosta
- hace 6 años
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1 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Puesto que las represetacoes grácas o sempre cosgue orecer ua ormacó completa de ua sere de datos, es ecesaro aalzar procedmetos umércos que permta resumr toda la ormacó del eómeo e estudo e uos úmeros llamados parámetros estadístcos. Los parámetros estadístcos se puede clascar e: a) Meddas de cetralzacó.- Que represeta a toda la dstrbucó. Busca característcas del cetro de la dstrbucó. Los más mportates so la meda artmétca, la medaa y la moda. b) Meddas de poscó.- Idca, ua vez ordeados los datos, cuatos elemetos queda a la zquerda o derecha de uo dado: cuartles, decles, cetles o percetles. c) Meddas de dspersó.- Que dca s los valores está agrupados o dspersos. Los más mportates so rago o recorrdo, desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ MEDIA: 3... Cuado los datos vee dados por ua tabla de recuecas: Cuado los datos está agrupados e tervalos, el valor cetral de cada tervalo (marca de clase), es el que se asga a todos los dvduos que está e dcho tervalo. Ejemplo :Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla: 9
2 . de calzado. de alumos E este caso, la meda artmétca sería: Ejemplo El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Como la varable está agrupada e tervalos, tomamos la marca de clase. La meda sería: MODA Es el valor de la dstrbucó que se repte co mayor recueca. Puede o estr o puede o ser úca. Las dstrbucoes que cotee ua sola moda se llama umodales y las que cotee dos, bmodales. E geeral, cuado cotee varas modas se deoma multmodal. E ua represetacó gráca, la moda será el rectágulo más alto, e el caso del hstograma, y el pco más alto, e el caso del polígoo. Ejemplo: E la dstrbucó de cras:, 3, 3, 3, 5, 5...la moda es 3 E la dstrbucó de cras:,, 4, 5, 5, 6... las modas so y 5. E el caso de los datos agrupados e tervalos, la moda es apromadamete el puto medo de la clase que cotee la mayor recueca de casos (a la que se le llamaría clase modal) Ejemplo: De a De 4 a De 7 a De 9 a...6 0
3 E este ejemplo, la clase modal es 4-6 y la moda valdrá 5. Pero s queremos calcular más eactamete la moda (y o de orma apromada),se busca el tervalo de mayor recueca (tervalo o clase modal) y se aplca la órmula: Dode: MoL - C. ( L - es el límte eror del tervalo modal C es la ampltud del tervalo es la recueca del tervalo modal - es la recueca del tervalo ateror al modal es la recueca del tervalo posteror al modal E el ejemplo puesto, sería el tervalo (4,6], y aplcado la órmula: 5 6 Mo (5 6) (5 0) Otro ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Solucó: El tervalo modal sería el (40,50] 4 Mo ( 4) ( 6) - ) - ( ) MEDIAA S los dvduos de ua poblacó está colocados e orde crecete segú la varable que estudamos, el que ocupa el valor cetral se llama dvduo medao, y su valor la medaa. La medaa Me, está stuada de modo que ates de ella está el 50% de la poblacó y, detrás, el otro 50%. Por ejemplo, e la dstrbucó: 6,7,7,7,8,9,0,,5 M e 8 S el úmero de dvduos uera par, la medaa sería el valor medo de los dos cetrales. Por ejemplo, e la dstrbucó:
4 6,7,7,7,8,9,0,,5,6 M e 8.5 S los datos está agrupados e tervalos, supoemos que los datos de cada tervalo se reparte uormemete e él, hemos de buscar el tervalo cetral (e el que se ecuetre el o los valores cetrales) y aplcar la órmula: Me L - C. F Dode L - es el límte eror del tervalo es el úmero total de casos o datos F - es la recueca acumulada del tervalo ateror es la recueca absoluta del tervalo C es la ampltud del tervalo Ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Calcular la medaa. Solucó: Hemos de buscar el tervalo e el que esté los elemetos cetrales. Como hay 90 elemetos, el tervalo es (40,50]. Aplcamos la órmula: Me MEDIDAS DE POSICIÓ CETILES O PERCETILES Medaa: S los dvduos de ua poblacó está colocados e orde crecete segú la varable que estudamos, el que ocupa e valor cetral se llama dvduo medao, y su valor la medaa. La medaa, M e, está stuada de modo que ates de ella está el 50% de la poblacó y, detrás, el otro 50%. Por ejemplo, e la dstrbucó: 6,7,7,7,8,9,0,,5 M e 8 S el úmero de dvduos uera par, la medaa sería el valor medo de los dos cetrales. Por ejemplo, e la dstrbucó:
5 6,7,7,7,8,9,0,,5,6 M e 8.5 Cuartles: S e vez de partr la totaldad de los dvduos e dos mtades, lo hacemos e cuatro partes guales (todas ellas co el msmo úmero de dvduos), los dos uevos putos de separacó se llama cuartles. Cuartl eror Q es u valor de la varable que deja por debajo de él al 5% de la poblacó, y por ecma la 75%. Cuartl superor Q 3 es u valor de la varable que deja por debajo de él al 75% de la poblacó, y por ecma la 5%. Q sería la medaa. Por ejemplo, e la dstrbucó:,,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 9, 0 5% 5% 5% 5% Q M e Q 3 Q.5; M e 5; Q 3 7 Cetles o Percetles: S partmos la poblacó e 00 partes y señalamos el lugar que deja debajo k de ellas, el valor de la varable correspodete a ese lugar se desga por p k y se deoma cetl k o percetl k. La medaa es M e p 50 A la medaa, cuartles y cetles, se les llama meddas de poscó. Veamos uos ejemplos de estas meddas de poscó Ejemplo : Calcular M e, Q, Q 3, P 0 y P 80 e la dstrbucó:,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 0 Solucó: Hay 7 dvduos; 7/ la medaa es el valor del dvduo 9º...M e 5 7/ º lugar...q / º lugar...q 3 7 7/ º lugar...p 0 7/ º lugar...p 80 7 Ejemplo : E la sguete dstrbucó de úmero de hjos de 0 parejas, halla M e, Q, Q 3, P 0 y P 99 º hjos ( ) Para calcular la medaa, cuartles y Percetles e dstrbucoes dadas por tablas de recuecas, ecestamos las recuecas acumuladas y los % F E %
6 M e P 50 porque para la F supera el 50% Q P 5 porque para la F supera el 5% Q 3 P 75 3 porque para 3 la F supera el 75% P 99 5 porque para 5 la F supera el 99% P 0.5 porque para la F guala el 0%. Por tato el valor.5 es superor al 0% de la poblacó, e eror al 80% restate. Ejemplo 3: E la abrcacó de certo tpo de bombllas, se ha detectado alguas deectuosas. Se ha estudado 00 cajas de 00 bombllas cada ua, obteédose la sguete tabla: Deectuosas º de cajas Calcula la medaa, el cuartl superor y el percetl 0. Solucó: Formemos la tabla de recuecas acumuladas: X F % Medaa: Se ha ordeado las cajas segú el º de bombllas deectuosas, de meor a mayor. La medaa será la caja que ocupe el lugar cetral. Como el º de cajas es par (00), la medaa es el valor medo etre los dos cetrales. La caja º 00 tee 4 bombllas deectuosas y la º 0 tee 5 bombllas deectuosas. Por tato, M e (45)/ 4.5 El cuartl superor: correspode al 75% del total : La caja que ocupa el lugar º 50 tee 6 bombllas deectuosas. Por tato, Q 3 6. El 5% de las cajas tee 6 o más bombllas deectuosas. El percetl 0: correspode al 0% del total: La caja que ocupa el lugar 40 tee 3 bombllas deectuosas. Por tato, P 0 3. El 0% de las cajas tee 3 o meos bombllas deectuosas. 4
7 E caso de ua varable agrupada, las órmulas para hallar cetles, decles y cuartles so: h. C h L 00. c dode cada elemeto tee el msmo sgcado que e el cálculo de la medaa. Para hallar los cuarteles e este caso, ada más que hay que teer e cueta que: Q C 5 Q C 50 M e Q 3 C 75 Para hallar los decles, tedremos e cueta que: D C 0 D C 0 D 3 C 30. D 9 C 90 Veamos alguos ejemplos: Ejemplo: El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Calcular el cuartl superor Q 3, el cetl 45, C 45 y el decl tercero, D 3 Busquemos el tervalo dode se ecuetra el Q 3, que será e el que se ecuetre el elemeto que deja a su zquerda u 75% de la poblacó (el 75% de 90 es 67,5). Hacedo la tabla de las recuecas absolutas acumuladas: Cosumo Frec. Abs. F. Ab. acum (0,0] 8 8 (0,0] 0 (0,30] 0 30 (30,40] 4 44 (40,50] 65 (50,60] 6 8 (60,70] 9 90 Observamos que el tervalo que buscamos es el (50,60]. Aplcado la órmula: 3.90 Q ,565 5,565 Busquemos ahora el tervalo dode queda el elemeto que deja a su zquerda al 45% de la poblacó: (45% de 90 es 40,5). Observado la columa de las recuecas absolutas acumuladas, el tervalo (30,40] cotee el C 45. Aplcado la órmula: 5
8 C ,5 37,5 4 Calculemos el D 3 P 30 Busquemos el tervalo dode se ecuetra el elemeto que deja a su zquerda el 30% de la poblacó (30% de 90 es 7). Observado la tabla de recuecas, el tervalo (0,30] cotee al dvduo que ocupa el lugar 7, y aplcado la órmula de los percetles: D 3 P MEDIDAS DE DISPERSIÓ RAGO O RECORRIDO Es la dereca etre el valor mayor y el meor s la varable es o agrupada. S la varable es agrupada, se calcula la dereca etre el límte superor del últmo tervalo y el límte eror del prmer tervalo. El valor del recorrdo sólo tee e cueta los valores etremos; e su valor o luye los demás elemetos de la dstrbucó. Cuato meor es el rago o recorrdo de ua dstrbucó, mayor es el grado de represetatvdad de los valores cetrales Ejemplo: Mercedes y Paco mde 69 y 7 respectvamete. Aa y Luís es otra pareja que mde 45 y 95 respectvamete. Ambas dstrbucoes tee la msma meda: 70, pero evdetemete ade los coudría por la calle. El rago de la pareja Mercedes y Paco: 7-69 El rago de la pareja Aa y Luís: Dremos por tato que la ª pareja está más dspersa que la ª Ejemplo : Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla:. de calzado. de alumos El rago o recorrdo será Ejemplo : El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: 6
9 Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Al ser agrupada, el rago o recorrdo es DESVIACIÓ MEDIA Es la meda de las desvacoes de los valores de la varable respecto a la meda de la dstrbucó (sedo la desvacó respecto de la meda: - ):. DM..... k. k Es ua medda muy poco utlzada por la complcacó de su cálculo. S la DM es muy pequeña, dca que hay ua gra cocetracó de valores e toro a la meda. S la varable está agrupada e tervalos, tomamos la marca de la clase. VARIAZA Es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto de la meda. Se represeta por σ, y vee dada por la epresó: σ ( ). ( ).... ( ) (vamos a obteer ua seguda epresó para σ que vamos a utlzar co recueca) ( ) ( )... ( ) ( ) k.. ( ).. 7
10 DESVIACIÓ TÍPICA Es la raíz cuadrada de la varaza. Se represeta por S S ( ). ( ). (... Es la udad de dspersó más usada. Es sempre postva. Se calcula drectamete e las calculadoras cetícas. Ejemplo : Se ha pregutado a u grupo de 70 alumos sobre el úmero de zapatos que calza, obteedo los resultados de la sguete tabla:. de calzado. de alumos Haced u cuadro dode aparezca la desvacó meda, la desvacó típca y la varaza. ). ( ). ( ) ( - ) ( - ) Por tato: La desvacó meda DM 94.34/
11 La varaza S /70.99 La desvacó típca S.7973 Ejemplo : El cosumo de carburates, e ltros, de ua lota de camoes a lo largo de u día está tabulado e la sguete tabla de recuecas: Cosumo Camoes (0,0] 8 (0,0] (0,30] 0 (30,40] 4 (40,50] (50,60] 6 (60,70] 9 Haced u cuadro dode aparezca la desvacó meda, la desvacó típca y la varaza. Calculamos Cosumo Camoes - -. ( - ) ( - ). (0,0] (0,0] (0,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] DM 375. / S / S Ejemplo 3: Se ha aotado el peso de 88 persoas, obteédose los sguetes resultados: Peso (Kg) [38,44) [44,50) [50,56) [56,6) [6,68) [68,74) [74,80) º persoas Calcula el rago, la desvacó meda, la varaza y la desvacó típca. Calculemos prmeramete la meda artmétca: 504/88 59,4 9
12 Rago: rago Kg Desvacó meda: D 639,08/88 7,6 Kg Varaza: s 7846,3/88 89,6 Kg Desvacó típca: s 9,44 Kg 0
13 EJERCICIOS RESUELTOS ) U spector de autobuses toma ota de los mutos de retraso co que llega los autobuses a ua parada. Su trabajo queda relejado e el sguete dagrama de barras: Halla la varaza y el rago. Resolucó: Formemos la sguete tabla: Meda, 445/4 0.6 mutos Rago mutos S 90. / m ) Elaborad ua tabla de recuecas co las estaturas de 40 adolescetes: Resolucó: El º de valores dsttos que hay es grade (mayor que 0), por eso lo adecuado es clascarlos e tervalos. Para ello procedemos así: - localzamos los valores etremos: el meor 49 y el mayor 78. Hallamos su dereca: (este es el valor del recorrdo). - Puesto que el º de datos es pequeño (solo 40), decdmos que el º de tevalos sea pequeño (por ej, 6). Buscamos u º mayor que el recorrdo y que sea múltplo de 6, por ej. 30 (el recorrdo era 9). De este modo, cada uo de los ses tevalos tedrá ua logtud gual a 5
14 - Formamos los tervalos comezado por u º algo meor que el 49 y de modo que los ses tervalos abarque a la totaldad de los datos. - Repartmos los cuareta datos e los ses tervalos. (Es coveete tomar los tervalos co etremos o eteros para que o haya duda de s u valor perteece a u tervalo o al sguete. Itervalos recuecas (48.5, 53.5] (53.5, 58.5] 4 (58.5, 63.5] (63.5, 68.5] 4 (68.5, 73.5] 5 (73.5, 78.5] 4 3) Calcula la meda y la desvacó típca del ejercco ateror. Resolucó: costruyamos la sguete tabla Itervalos (48.5, 53.5] (53.5, 58.5] (58.5, 63.5] (63.5, 68.5] (68.5, 73.5] (73.5, 78.5] Meda: cm Varaza: σ Desvacó Típca: σ cm Vemos e este ejemplo la vetaja de la seguda epresó de σ para hallar su valor umérco a partr de ua tabla de recuecas. 4). Costrur la tabla estadístca de las edades de las persoas que acude a u logopeda a lo largo de u mes, sabedo que so: 3,,, 3, 4, 3,, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 3,, 5, 6, 7, 5, 4,,, 4, 3, 6, 9, 3, 6, 7, 6, 3, 6, 5,, 6 Como hay datos, el úmero de clases que debemos ormar puede ser apromadamete la raíz cuadrada de, es decr 6 clases. S el tervalo los etedemos de 0 hasta 30, al dvdr por 6 se tee que la ampltud de cada clase debe ser 5. Este sería u ejemplo de tabla estadístca para ua varable estadístca cotua (la edad de ua persoa o tee por qué ser u úmero etero).
15 Clases Marcas h F H de clase [ 0, 5) [ 5, 0) [ 0, 5) [ 5, 0) [ 0, 5) [ 5, 30) Las calcacoes e la asgatura de hstora de los/as 40 alumos/as de ua clase vee dada por la sguete tabla: Calcula la medaa. Calcacoes º de alumos/as F < > La medaa es M e 5, dado que es el prmer valor de la varable cuya recueca absoluta acumulada,, ecede la mtad del úmero de datos, Cosderemos la sguete tabla de recuecas: Calcula la medaa F 3
16 > Como 50 cocde co la recueca acumulada del valor 7, la medaa vedrá 7 8 dada por la semsuma de 7 y el valor sguete, 8. Por tato M e 7' Se ha aplcado u test sobre satsaccó e el trabajo a 88 empleados/as de ua ábrca, obteédose los sguetes resultados: Calcula la medaa. º de trabajadores/as Putuacoes [ 38, 44) 7 [ 44, 50) 8 [ 50, 56) 5 [ 56, 6) 5 [ 6, 68) 8 [ 68, 74) 9 74, 80 6 [ ) F [ 38, 44) 7 7 [ 44 50) [ 50 56) [ 56 6) [ 6 68) [ 68 74) [ 74 80), 8 5, 5 30 < 44, 5 55 > 44, 8 73, 9 8, La clase medaa es el tervalo [ 56, 6). 88 M e 5 59' Observacoes. La medaa es partcularmete útl e los sguetes casos: 4
17 a) Cuado etre los datos este alguo muy etremo que aecta a la meda. b) Cuado los datos está agrupados e clases y algua de ellas es aberta.. Como cosecueca de decó de medaa, se tee que el 50% de los datos so meores o guales que ella y el 50% restate so mayores o guales. 3. La medaa depede del orde de los datos y o de su valor. 8- Las calcacoes e la asgatura de hstora del arte de los 40 alumos/as de ua clase vee dada por la sguete tabla: Calcacoes º de alumos/as Rago: 9-8 Varaza y desvacó típca: Meda: 53 ' 96 Varaza: s ( 53 ' ) 4' 3 40 Desvacó típca: s 4' 3 ' 08 5
Muestra: es un subconjunto, extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población
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