Integrales de ĺınea complejas

Transcripción

1 Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos pr funciones vectoriles de vrible rel se trsldn inmeditmente ls funciones complejs de vrible rel grcis l identificción C = IR 2. Por otr prte, los resultdos pr funciones complejs en generl, son válidos tmbién pr ests funciones. Así pues, nos limitremos recordr un pr de definiciones dptds l notción complej: Definición. Se A IR bierto. Un función f: A C, con f = f + if 2, es derivble en un punto t A cundo f y f 2 son derivbles en t y, en este cso, f t = f t + if 2t. Definición.2 Se [, b] IR. Un función f: [, b] C, con f = f + if 2, es integrble en [, b] cundo f y f 2 son integrbles en [, b] y, en este cso, b f = b ft dt = b b f t dt + i f 2 t dt. Propieddes.3 Si f, g: [, b] C son integrbles en [, b] y w C, son cierts ls siguientes propieddes: f + g es integrble y b w f es integrble y b b f + g = b b w f = w f. f + b c Si < c < b, f es integrble en [, c] y [c, b] y d f es integrble y Demostrción: b y c son inmedits. b b f f. d Si f es integrble en [, b], se tiene que we iθ = w. Luego b f = w = we iθ = e iθ b b g. b f = c b f + f. c f = w C. Como w = w e iθ, con θ = Argw, se f = b e iθ f = b b Ree iθ f + i Ime iθ f Teorí de vrible complej. 39

2 Integrles de líne complejs como Im w =, se tiene que b b b f = Ree iθ f = = b e iθ f = b b Ime iθ f = y, por tnto, Ree iθ b f Ree iθ f f = b f. b e iθ f..2 Integrles de líne complejs Definición.4 Un cmino en C es un función continu : [, b] C. Si = b, el cmino se llm cerrdo. Un cmino : [, b] C se dice regulr cundo tiene derivd continu y distint de cero en todo punto de [, b]. Un cmino : [, b] C se dice regulr troos cundo el intervlo [, b] puede descomponerse en un número finito de subintervlos de mner que l restricción de cd uno de ellos se un cmino regulr. L longitud de un cmino regulr troos : [, b] C es, por definición, L = b t dt. Definición.5 Sen I = [, b], : I C un cmino regulr troos y f: I C un función continu. L integrl de líne de f lo lrgo de se design por f ó f d y está definid por f d = b ft t dt. Observción.6 Si f = u + iv y = + i 2, entonces f d = = = b b b ut + ivt t + i 2t dt ut t vt 2t dt + i b ut, vt t, 2t dt + i hciendo =, 2, F = u, v y F 2 = v, u, nos qued b b = F t t dt + i F 2 t t dt = vt t + ut 2t dt b vt, ut t, 2t dt F d + i F 2 d. Luego l integrl de líne complej se construye como ls integrles de líne reles de ls funciones F y F 2 sobre el cmino de IR 2. Ejemplo.7 Sen C y r un número rel positivo. El cmino : [, 2π] C definido medinte t = + re it, pr cd t [, 2π], es regulr y su imgen es l circunferenci de centro y de rdio r recorrid en sentido contrrio l de ls gujs del reloj. Su longitud es L = 2π ire it dt = 2π r dt = 2πr 4 Teorí de vrible complej.

3 . Integrles de ĺıne y si f: I C es un función continu, f d = 2π 2π f + re it rie it dt = ri e it f + re it dt. b Sen y w dos números complejos. El cmino : [, ] C ddo por l expresión t = +tw, es regulr y su imgen es el segmento de extremos y w recorrido desde hst w. Suele designrse por [[, w ]], y su longitud es L = y si f: I C es un función continu, f d = w dt = w f + tw w dt = w f + tw dt. Propieddes.8 Sen I = [, b], : I C un cmino regulr troos, f, g: I C continus. λ, µ C. Entonces, Pr todos λ, µ C, λf + µg d = λ f d + µ g d. b Si c b y y 2 ls restricciones de los intervlos [, c] y [c, b] respectivmente, se tiene que f d = f d + f d. 2 c Si f M, pr todo I, se tiene que donde denotmos d = t dt, es decir, Demostrción: y b se compruebn fácilmente. c fd f d ML, f d = ft t dt. f d = ft t dt ft t dt = ft t dt I I I M t dt = M t dt = ML. I I Definición.9 Dos cminos : [, b] C y β: [c, d] C se dicen equivlentes cundo existe un plicción supryectiv u: [c, d] [, b] con derivd continu y distint de cero y tl que β = u. Si u t > pr todo t, se dice que y β son positivmente equivlentes; y si u t <, se dice que son negtivmente equivlentes. I Teorí de vrible complej. 4

4 Integrles de líne complejs Proposición. Se : [, b] C un cmino regulr troos y se β: [c, d] C un cmino equivlente. Entonces, pr tod función continu f se tiene fd = fd si y β son positivmente equivlentes, mientrs que fd = fd si y β son negtivmente equivlentes. Demostrción: Cierto, por serlo pr ls integrles de líne reles. β β Proposición. Sen I = [, b], A un subconjunto bierto de C y f un función nlític en A. Si : I C es un cmino regulr troos tl que I A entonces f d = fb f. En prticulr, si es cerrdo, de tiene que f d =. Demostrción: Podemos considerr regulr, pues si no lo es bst dividir l integrl en un sum finit de integrles en cd un de ls cules se verific el resultdo. Se g = g + ig 2 : [, b] C definid por gt = ft. Como es regulr y f nlític, g es continu en [, b] y derivble en, b, y g t = f t t. Luego b b f d = f t t dt = g t dt = = g b g + i g 2 b g 2 = = gb g = fb f. b b g t dt + i g b + ig 2 b ] b g 2t dt = g t g + ig 2 + ig 2t ] b Ejemplo.2 Se f = n, pr n Z. Si n =,, 2,..., l función f es l derivd de g = n+ n+ cmino regulr troos que un con 2, se verific que n d = n+ 2 n+ ; y, si = 2, entonces n + en C, luego pr todo n d =. Si n = 2, 3, 4,..., l función f es l derivd de g = n+ n+ en C {}, luego pr todo cmino regulr troos que un con 2 y que no pse por el origen, se verific que n d = n+ 2 n+ ; y, si = 2, entonces n + n d =. Observr que si ps por el origen, l función f = y no tiene sentido l integrl. n no es integrble en l curv 42 Teorí de vrible complej.

5 .2 Teorems de Cuchy-Gourst Si n =, l función f = es l derivd de Log en C A el semieje rel negtivo, luego pr todo cmino regulr troos que un con 2 y que no pse por el conjunto A, se verific que d = Log 2 Log ; y, si = 2, entonces d =. Si ps por el origen, l función f = no es integrble en l curv y no tiene sentido l integrl; sin embrgo, si l curv ps por A {}, l integrl tiene sentido, unque no puede plicrse el resultdo nterior. Por ejemplo, si θ = re iθ es l prmetrición de un circunferenci de rdio r que rode l origen, d 2π = rie iθ 2π re iθ dθ = i dθ = 2πi. De hecho, esto puede generlirse culquier cmino cerrdo sin más que tener en cuent que, por l observción.6, l integrl se puede escribir medinte dos integrles de líne reles d = x y, x 2 +y 2 x 2 +y 2 u, v d + i v, u d ; y x, x 2 +y 2 x 2 +y 2 y, como u, v = y v, u = son ls funciones que precen, respectivmente, en el ejercicio propuesto 3.7 y en el ejercicio resuelto 3.48, sobre el teorem de Green, plicndo los resultdos que llí se obtienen: d = u, v d + i v, u d = n + i2nπ = 2nπi, donde n indic el número de vuelts que d l curv lrededor del origen..2 Teorems de Cuchy-Gourst Se, b, c un tern de números complejos distintos. Designremos por T, b, c el triángulo de vértices, b y c y por su contorno que está formdo por los tres segmentos [[, b]], [[b, c]] y [[c, ]]. Teorem de Cuchy-Gourst pr un triángulo.3 Sen A un subconjunto bierto de C, p A, f: A C un función continu en A y nlític en A {p}. Entonces pr todo tiángulo T contenido en A se verific fd =. #Demostrción# Hremos l demostrción seprándolo en tres csos: Cso : Supongmos en primer lugr que p / T y descompongmos el triángulo T, b, c en los cutro triángulos T, c, b, T 2 b,, c, T 3 c, b, y T 4, b, c, donde, b y c son los puntos medios de los segmentos [[b, c]], [[c, ]] y [[, b]] respectivmente. Teorí de vrible complej. 43

6 Integrles de líne complejs Es clro que f d = 4 k= k f d pues, l hcer l integrl en 4, sus ldos se recorren en sentido contrrio como se recorren cundo formn prte de los otros triángulos. Entonces, si designmos por T uno de los triángulos T k pr el que l integrl correspondiente tiene módulo myor o igul que el de ls otrs tres, se tiene que f d 4 f d, donde L = L. 2 p T 3 b T 4 T T 2 Descomponiendo hor el triángulo T en otros cutro triángulos medinte los puntos medios de sus ldos y repitiendo el ronmiento nterior, se obtiene otro triángulo T 2 pr el que f d 4 f d, donde L 2 = L = L Continundo el proceso, se obtiene un sucesión de triángulos T T T 2 T n con, llmndo L = L, longitudes de los perímetros L n = L 2 y verificndo que n fd 4n fd. n Entonces, si T n es el triángulo T n n, b n, c n, se tiene que L n = n b n + b n c n + c n n = L 2 n, luego lim n = lim b n = lim c n = y, en consecuenci, existe un único punto perteneciente n n n todos los triángulos de l sucesión. Como f es derivble en, puede escribirse f f f = f + f + f = f + ϕ+ f donde ϕ = f f f. Entonces, f d = f d + ϕ d + f d n n n n y, como el primer y tercer sumndos son nulos ejemplo.2, f d = ϕ d n ϕ d. n n Pero lim ϕ =, luego pr cd ε > existe un δ > tl que ϕ < ε cundo < δ. Además, existe un n IN tl que < δ pr todo T n, luego tmbién se verific que < L 2 pr todo T n n. Entonces fd ϕ d L2 n n 4 n ε y, por tnto, fd 4n fd L2 ε n y como ε es rbitrrio, fd =. n c c b 44 Teorí de vrible complej.

7 .2 Teorems de Cuchy-Gourst Cso 2: Supongmos hor que p es un vértice de T, por ejemplo, p =. Si, b y c están en líne rect, es evidente que l integrl es nul. En otro cso, elijmos c [[, b]] y b [[, c]] los puntos medios de los segmentos y los triángulos de vértices T, c, b, T c, b, b y T b, c, b. Entonces c fd = fd + fd + fd, pero como los dos últimos triángulos no contienen p, por el cso nterior, sus integrles son nuls. Procediendo como en el Cso, se construye un sucesión de triángulos T n, con L n = L 2 n, verificndose que fd = fd sup f L n T 2 n luego tmbién l primer integrl es nul. T b 6 T T 7 Cso 3: Si p está sobre el perímetro o en el interior de T, bst dividir T en triángulos con un vértice en p y plicr el Cso 2. Es decir, como en ls figurs siguientes: c b p 6 T T 2 7 c b T3 T 2 p T c b f d = 2 k= k f d = ; Por consiguiente, pr culquier T, se tiene que f d = f d =. 3 k= k f d =. Teorem de Cuchy-Gourst pr un bierto convexo.4 Sen A C bierto y convexo, p A y f: A C un función continu en A y nlític en A {p}. Entonces, pr todo cmino cerrdo regulr troos y contenido en A se verific que fd =. #Demostrción# Se A. Como A es convexo, pr cd A el segmento [[, ]] está contenido en A y, por tnto, podemos construir l función F : A C definid por F = dw. [, ] Si probmos que F = f, pr todo A, entonces, por l proposición., f d = F d =. Teorí de vrible complej. 45

8 Integrles de líne complejs En efecto. Se un punto culquier de A. Entonces, F F f = dw dw f [[,]] [, ]] como dw = dw y grupndo ls dos integrles, nos qued [[,]] [[,]] = dw f [[,]] [[, ]] y como [[, ]] [[, ]] son dos de los tres ldos del triángulo T,, contenido en A por ser A convexo, por l proposición nterior, = dw f [[,]] usndo hor que dw =, nos qued [[, ] = dw f [[,]] = f dw. [[, ] dw [,]] Ahor bien, como f es continu en, pr cd ε > existe un δ > tl que si w < δ entonces f < ε. Pero como, si < δ, tmbién se verific que w < δ pr cd w [[, ]], entonces F F f f dw < [[,]] ε dw = ε, [[,]] si < δ y, en consecuenci, F = f pr todo A..3 Fórmul integrl de Cuchy Definición.5 Sen I = [, b] y : I C un cmino cerrdo regulr troos. Se llm índice de un punto / I respecto de y se design por Ind α l número Ind = d. 2πi Observción.6 Como el intervlo I = [, b] es cerrdo y cotdo y : I C es un función continu, el conjunto I es cerrdo y cotdo; luego divide l plno complejo en troos disjuntos, que son ls componentes conexs del conjunto C I. Como I está cotdo, existe un entorno E de centro el origen contiene I, y, en consecuenci, el conjunto conexo C E está contenido en C I, luego C E está contenido en un componente conex de C I. Por consiguiente, entre ls componentes conexs de C I hy un no cotd. Proposición.7 Sen I = [, b] y : I C un cmino cerrdo regulr troos, entonces: Ind Z, pr todo C. b L función Ind : C I Z es constnte en cd un de ls componentes conexs de C I y es nul en l componente no cotd. 46 Teorí de vrible complej.

9 .3 Fórmul integrl de Cuchy Demostrción: Si está en l componente conex no cotd, no encierr y, por el tercer cso del ejemplo.2, se tiene d =. Pr otr componente conex, todos los puntos están rodedos por de l mism form mismo número k de vuelts luego pr todos ellos, Ind = 2πi d = 2πik = k Z. 2πi Proposición.8 Se : [, 2π] C l circunferenci de centro y rdio r recorrid en sentido contrrio l de ls gujs del reloj. Entonces Ind = Demostrción: Es un cso prticulr de l proposición nterior. {, si < r, si > r. Fórmul integrl de Cuchy.9 Sen A C bierto y convexo, y f: A C un función nlític. Entonces, pr todo cmino cerrdo regulr troos : [, b] C contenido en A y pr todo A [, b] se verific f Ind = f d. 2πi Demostrción: Se C [, b]. De l condición de derivción de un cociente se deduce que l función g: A C definid por { f f g =, si f, si = es nlític en A { }. Además, g es continu en, puesto que lim g = lim f f = f = g. Por el teorem de Cuchy-Gourst pr biertos convexos se tiene que / [, b], result f f = d = f d f d = g d = y, como f d 2πif Ind. Corolrio.2 En ls condiciones de l proposición nterior, si es un circunferenci de centro recorrid en sentido positivo, entonces l fórmul integrl de Cuchy se reduce f = f d. 2πi Teorí de vrible complej. 47

10 Integrles de líne complejs Proposición.2 Si f es nlític en E, r y y 2 son dos circunferencis de centro y cuyos rdios verificn que < ρ < ρ 2 < r, entonces, pr todo tl que ρ < < ρ 2 se verific que f = 2πi 2 donde y 2 se recorren en sentido positivo. w dw 2πi w dw Demostrción: Se A = { C : ρ < < ρ 2 }, el nillo circulr encerrdo por ls circunferencis y 2. Consideremos los segmentos α, α 2, α 3 y α 4 que dividen A en cutro conjuntos A, A 2, A 3 y A 4, de form que está en uno de ellos; y consideremos ls curvs que roden dichos conjuntos, como en l figur. Si denotmos ess curvs, respectivmente, por β = 2 α 2 α β 2 = 22 α 3 2 α 2 2 β 3 = 23 α4 3 α 22 α 3 2 α 2 A β 4 = 24 α 4 A 2 α 4 se verific que 2 4 k= β k w dw = 2 w dw w dw. Ahor bien, como cd uno de los A k puede meterse en un bierto convexo contenido en E, r, plicndo l fórmul integrl de Cuchy cd un de ells, se tiene que: 2 w dw 4 w dw = k= β k = 2πi w dw = α 3 α α 4 α A 3 A 4 α 4 α 4 4 2πif Ind βk k= f = 2πif, pues Ind βk = si A k y si / A k, obteniendose el resultdo propuesto Desrrollo de un función nlític en serie de potencis Teorem de Tylor.22 Sen A C bierto y f: A C un función nlític. Pr cd entorno E, r contenido en A existe un desrrollo en serie de potencis n n, con rdio de convergenci myor o igul que r, tl que f = E, r. Los coeficientes de este desrrollo vienen ddos por n= n = f d, pr n =,, 2,..., 2πi n+ n= n n, pr todo donde es culquier circunferenci de centro y rdio ρ < r, recorrid en sentido positivo. Demostrción: Se A y E, r A. Se E, r y consideremos un circunferenci de centro y rdio ρ < r que encierre. Es decir, el conjunto = {w C : < w =ρ < r}. 48 Teorí de vrible complej.

11 .4 Desrrollo de un función nĺıtic en serie de potencis Por l fórmul integrl de Cuchy, f = 2πi w dw. Vemos que pr todo w, w puede expresrse como un serie de potencis. como w pr todo w, se tiene w = w w = w w w = w w como < w, se tiene que w < y, por tnto, que = w n = w n= n= n. w w w + = w w w Además, f es continu en A luego existe M > tl que < M pr todo w, luego n w w M ρ ρ n, pr todo w, y, en consecuenci, l serie n w w n= converge uniformemente en. Entonces, f = 2πi w dw = 2πi = 2πi = n= n= 2πi n= w w n dw = 2πi w w w n+ dw n = n= n= n dw w n+ n dw n n y n = 2πi w n+ dw, donde l circunferenci verific que < ρ. Pero l integrl no depende del elegido y su vlor es el mismo pr culquier circunferenci, luego n = dw 2πi w n+ pr culquier circunferenci contenid en E, r. Corolrio.23 Sen A un subconjunto bierto de C y f: A C un función nlític. Entonces f tiene derivds de todos los órdenes en cd punto de A. Demostrción: L función sum de un serie de potencis tiene derivds de todos los órdenes. Corolrio.24 Sen A un subconjunto bierto de C y f: A C un función nlític. Entonces, pr cd A se verific f n = n! f d, pr n =,, 2,... 2πi n+ donde es culquier circunferenci de centro contenid en A, recorrid en sentido positivo. Teorí de vrible complej. 49

12 Integrles de líne complejs Demostrción: Por l proposición nterior, existe un círculo bierto E, r A tl que, pr todo E, r se verific que f = n= n n, siendo n = f d, pr n =,, 2,..., 2πi n+ y es culquier circunferenci de centro y rdio ρ < r. Ahor bién, como n = f n n!, se tiene que f n = n! n = n! f d, pr n =,, 2,.... 2πi n+ Corolrio.25 Sen f y g nlítics en E, r, con f = g =. Si g, entonces f lim g = lim f g. Demostrción: Como f y g son nlítics en E, r y f = g =, en ese entorno pueden expresrse por f = n n y g = b n n. Luego n= f lim g = lim n= n= n= n n b n n = lim n= n= n n = f = lim b n n b g. De ls fórmuls integrles pr ls derivds sucesivs de un función nlític resultn inmeditmente ls llmds desigulddes de Cuchy: Lem.26 Si f es un función nlític en el entorno E, r y f M, pr todo E, r, entonces f n n!m, n =,, 2,... rn Demostrción: Se l circunferenci definid por t = + ρe it, t [, 2π], donde ρ < r. Entonces, pr n =,, 2,..., se tiene y, por tnto, f n = n! 2πi y como se cumple pr todo ρ < r, f n! 2π d = n+ 2πρ n f n n! 2π 2πρ n f + ρe it dt n!m ρ n f n n!m inf ρ<r ρ n f + ρe it e int dt = n!m, pr n =,, 2,... rn 5 Teorí de vrible complej.

13 .5 Ejercicios Teorem de Liouville.27 Si f es un función enter y cotd, entonces f es constnte. Demostrción: Como f es nlític en C, pr cd C existe un desrrollo en serie n= n n con rdio de convergenci infinito cuy sum coincide con f pr todo C y, por ls desigulddes de Cuchy, pr n =, 2,..., f n n = n! M r n, pr todo r >, luego n = pr n =, 2,... y, por tnto, f =. Teorem fundmentl del Álgebr.28 Todo polinomio no constnte P = n n con coeficientes complejos y n, tiene l menos un ri en C. Demostrción: Si P pr todo C, entonces l función f = P es nlític en C. Además, como lim P = lim P = lim n n = lim n + n + + n n + n se tiene que lim = lim n lim + n + + n n = + n n = P = y pr cd pr cd ε > existe un K > tl que pr > K, es decir, l función P P < ε está cotd fuer del entorno cerrdo E, K; y por ser continu tmbién está cotd en E, K luego está cotd en C. En consecuenci, es un función nlític y cotd en todo el plno y, por el teorem de Liouville, es un función constnte, lo que es bsurdo..5 Ejercicios Clculr ls integrles f d, pr los siguientes csos:. f = e 2 Re y el segmento [[, + i]]..2 f = cos y el segmento [[ π 2, π + i]]..3 f = y l semicircunferenci = con Im. Pr, se tom l rm de l función pr l cul es =..4 f = e cosπ f =.6 f = cos 3 sen sen 2.7 f = sen π y es l circunferenci = recorrid en sentido positivo. y l circunferenci = 2 recorrid en sentido positivo. y l circunferenci = recorrid en sentido positivo. y l circunferenci = recorrid en sentido positivo. Teorí de vrible complej. 5