Coordinación de Matemática II (MAT022)

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1 Coorinación e Matemática II (MAT0) Primer semestre e 03 Semana 6: Lunes e Abril Viernes 6 e Abril CÁLCULO Contenios Clase : Funciones Trascenentales: Función logaritmo natural y eponencial. Propieaes algebraicas y analíticas. Clase : Las funciones trigonométricas inversas, sus erivaas y las antierivaas que las relacionan. Funciones hiperbólica. Propieaes. Derivaas e integrales e funciones hiperbólicas.. CLASE. Funciones Trascenentales.. Función Logarítmica Definición.. La función f (t )=, con t > 0 es continua, por lo tanto para cualquier positivo eiste el número: t t t Se llama Función Logarítmica (natural) a la función: ln :]0,[! R, efinia por ln()= t t Teorema.. Si a,b R + yrr entonces. ln()=0. ln = ln(a ) a

2 3. ln(a b)=ln(a )+ln(b) Å ã a 4. ln = ln(a ) ln(b) b 5. ln(a r )=r ln(a ) La función f ()=ln( ) es continua en too su ominio (R + ), aemás: Si >, entonces ln() > 0. Si 0 < <, entonces ln()= t t = t t < 0 Si =, entonces ln()= t = 0, t luego ln()=0, =. Notemos también que f 0 ()=, 8 R+ e one obtenemos que es estrictamente creciente. Es cóncava y cumple ln()! + para! +. ln( )! para! 0 +. Observación.. Graficar y = ln con la información obtenia... La Función Eponencial El principal objetivo e esta clase es efinir las funciones logarítmicas y eponenciales que fueron presentaas en mat0. Aquí las poemos efinir meiante integrales. Definición.. Se llama Función Eponencial a la función: ep : R! R +, efinia por ep() =ln (). Es ecir, y = ep(), = ln(y ). Entonces: En particular, se tiene que: Teorema.. Si e p () : R! R +, entonces:. ep es continua y creciente en R.. ep(0)= 3. ep( + y )=ep()ep(y ),8,y R ep(ln()) = ; si > 0 ln(ep()) = ; si R ep(ln()) =, ep(0)= ep(ln(e)) = e, ep()=e 4. ep( y )= ep() ep(y ), 8,y R 5. ep(r)=(ep()) r, 8 R, 8r R MAT0 (Cálculo)

3 6. 8 R : ep()=e 7. Es erivable y (ep()) 8. Es convea. 9. ep()! + para! + 0. ep()! 0 + para! = (e ) = e Observación.. Graficar con la información obtenia. Definición.3. Sea a > 0, R. Definimos a por: Teorema.3. Se cumplen las siguientes propieaes:. a > 0 y continua, 8 R. a 0 = 3. (a ) = a ln(a ) a ln(a )) = ep( ln(a )) = e 4. a es creciente si a >, ecreciente si a <, igual a si a =..3 Ejercicios Propuestos. Demuestre que para > y 6= 0 se cumple: + < ln( + ) <. Muestre que y = ep( ) es la única función erivable que cumple y 0 () = y () con y (0) =. 3. Calcular para a > y ar una interpretación geométrica e esta cantia. a lna ln+ e y y 0 4. Muestre que si 0 < a < b entonces 5. Muestre que la función es C (R). pab < b a lnb lna < a + b f () = e /t si t > 0 0 si t = 0 CLASE Antes e comenzar con las funciones hiperbólicas es conveniente un pequeño recuero e las funciones trigonométricas inversas, las restricciones que ebemos hacer en los ominios y coominios para poer invertir, las erivaas y algunas primitivas relacionaas, por ejemplo, las primitivas e la forma R p, R etc. Esto hace que los cálculos que se + realizarán en la clase parezcan más naturales. MAT0 (Cálculo) 3

4 . Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas son efinias tomano combinaciones e os funciones eponenciales e y e. Estas funciones simplifican muchas epresiones matemáticas que aparecen en las aplicaciones, por ejemplo, en la tensión en un cable suspenio e sus etremos, movimiento e onas en sólios elásticos, etc. Daremos una breve introucción a las funciones hiperbólicas, sus gráficos, sus erivaas y antierivaas. Definición.. Se efinen las funciones hiperbólicas como: Seno Hiperbólico es la función sinh : R! R efinia por: sinh()= e Coseno Hiperbólico es la función cosh : R! R efinia por: e cosh()= e + e Tangente Hiperbólica es la función tanh : R! R efinia por: Cotangente Hiperbólica es la función coth : R tanh()= sinh() cosh( ) = e e e + e {0}!R efinia por: coth( )= cosh() sinh() = e +e e e Secante Hiperbólica es la función sech : R! R efinia por: Cosecante Hiperbólica es la función cosech : R sech( )= cosh() = e +e {0}!R efinia por: cosech()= cosh() = e e Observación.. Las funciones seno y coseno hiperbólico corresponen a las partes impar y par respectivamente e la función eponencial... Propieaes Los nombres e estas funciones están relacionaos con los nombres e las funciones trigonométricas ya que tienen comportamientos parecios por ejemplo:. sinh es una función impar. cosh es una función par 3. 8 R, cosh () sinh ()= 4. 8 R, tanh ()=sech () 5. 8,y R, cosh( + y )=cosh()cosh(y )+sinh()sinh(y ). 6. 8,y R, sinh( + y )=sinh()cosh(y )+cosh()sinh(y ) R, sinh() = sinh cosh 8. 8 R, cosh() = cosh + sinh MAT0 (Cálculo) 4

5 .. Derivaas e integrales Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales e las funciones iferenciables e y e luego son erivables en too punto one ellas estén efinias. Derivaas (sinh) = cosh (cosh) = sinh (tanh) = sech (coth) = cosech (sech) = sech tanh (cosech) = cosech coth Integrales sinh = cosh + C cosh = sinh + C sech = tanh + C cosech = coth + C sech tanh = sech + C cosech coth = cosech + C Ejemplo.. Calcular las siguientes erivaas e integrales: Å ãã ã. tanh Åp + t = sech Åp t + t p t + t cosh5. coth(5) = sinh5 = 5 ln sinh5 + C ln 0 sinh = 0 e sinh = 3 4 cosh ln = sinh 4..3 Gráficas Con las propieaes anteriores y las técnicas e mat0 poemos graficar las funciones hiperbólicas. Por ejemplo: (sinh) = cosh > 0 para too R, se sigue que sinh es creciente, aemás (sinh) = sinh y note que e e 0, e e,, 0 luego la función es convea para 0 y concava para < 0. También poemos calcular e e lim sinh = lim =+!+!+ MAT0 (Cálculo) 5

6 y no hay asíntotas para este gráfico. Se sigue: e lim sinh = lim!! e = f ()=sinh() De manera similar poemos graficar: f ()=cosh() 3 0 Dar como ejercicios los otros gráficos. f ()=tanh() MAT0 (Cálculo) 6

7 ..4 Funciones Hiperbólicas Inversas Las funciones hiperbólicas inversas son muy útiles en el cálculo e primitivas. Recoremos que y = sinh es inyectiva (es estrictamente creciente) y es sobreyectiva (es continua con lim! sinh = y lim!+ sinh =+) se sigue que posee una inversa que aemás es erivable por el teorema e la función inversa. No toas las funciones hiperbólicas son biyectivas en algunos casos ebemos restringir el ominio y coominio para poer efinir la inversa. Definición.. Las inversas e las funciones hiperbólicas se efinen como: arcsenh()=sinh ()=ln( + p + ), 8 R p arccosh()=cosh ()=ln( + ), arctanh( )=tanh ( )= ln + arccoth()=coth ()=tanh ( ) arcsech()=sech ()=cosh Ä ä, < 0 < apple ä arccosech( )=cosech ( )=sinh Ä p Observación.. Mostrar como se obtiene por ejemplo la efinición e arcsenh()=sinh ()=ln( + + ) Ejercicio.. Calcular arctanh Ä ä..5 Derivaas e las Funciones Hiperbólicas Inversas Función arcsenh() arccosh() arctanh() arccoth( ) arcsech() arccosech() Derivaa p, R + p, >, <, >, 0< < p, 6= 0 p + MAT0 (Cálculo) 7

8 Ejemplo.. Muestre que arccosh( )= p, > Desarrollo: Por el teorema e la función inversa si consieramos f () = cosh entonces Ä f ä 0 () = = = = f 0 f ( ) sinh Ä cosh ä cosh Ä cosh ä p p recorar que cosh sinh = e one sinh = cosh. Teorema.. En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: Å ã = arcsenh + C, a > 0 pa + a Å ã = arccosh + C, > a > 0 p a a 8 > < a = > : a arctanhä ä a + C si < a a arccothä ä a + C si > a = pa Å a arcsech a = pa Å + a arccosech a ã + C, 0< < a ã + C, 6= 0 ya> 0 Ejemplo.3. Calcular la integral Desarrollo: Hacemos u = entonces u = y 0 0 p3 + 4 = p = 0 0 u p 3 + u u q Ä p 3 ä + u = arcsinh p3 MAT0 (Cálculo) 8

9 Coorinación e Matemática II (MAT0) Primer semestre e 03 Semana 6: Lunes e Abril Viernes 6 e Abril COMPLEMENTO Contenios Clase : Subespacios Vectoriales: Concepto y criterio. Combinación lineal. Clase : Espacio generao. Depenencia e inepenencia lineal. Ejemplos. CLASE. Subespacios vectoriales Definición... Sea (V,+, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V, S 6= ;. Se ice que S es un subespacio vectorial e V si (S,+, ) es un espacio vectorial sobre K.. Si las operaciones + y están claramente efinias, entonces escribiremos V en lugar e (V,+, ) para un espacio vectorial sobre K. 3. Si (S,+, ) es un subespacio vectorial e (V,+, ) usaremos la notación S apple V. Observación.. La efinición anterior no permite averiguar, e manera simple, si un eterminao subconjunto es o no subespacio e un espacio vectorial ao. El siguiente teorema nos brina un métoo sencillo para este efecto. Teorema.. Sea (V,+, ) un espacio vectorial sobre el cuerpo K y sea S V, S 6= ;. (S,+, ) es un subespacio vectorial e (V,+, ) si y solo si se satisfacen las siguientes os coniciones:. Si u,v S entonces u + v S.

10 . Si K, u S entonces u S. Ejercicio.. Si S apple V entonces 0 V S. Too espacio vectorial tiene, e manera natural, os subespacios vectoriales, llamaos subespacios vectoriales triviales el espacio vectorial V. Estos son: el mismo espacio vectorial V, vale ecir, V apple V y el espacio vectorial nulo, vale ecir el espacio vectorial cuyo único elemento es el neutro aitivo e V : {0 V }applev. Ejemplo.. Consiere W = {(,y ) R : y = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial e R. Para ello, ebemos verificar:. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0,0) W.. (,y ),(u,v ) W ) (,y )+(u,v ) W. En efecto: (,y ),(u,v ) W ) y = 0 ^v = 0. Por lo tanto, (,y )+(u,v )=(,0)+(u,0)=( +u,0). Es ecir, la seguna componente e la suma e os vectores en W a como resultao un vector que también pertenece a W. 3. R, (,y ) W ) (,y ) W. En efecto: (,y ) W ) y = 0. Por lo tanto, (,y )= (,0)=(,0) W. Como las tres coniciones se satisfacen, hemos probao que W apple R. Ejemplo.. Consiere W = {(,,, n ) R n : n = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial e R n. Para ello, ebemos verificar:. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0,0,,0) W.. (,,, n ),(u,u,,u n ) W ) (,,, n )+(u,u,,u n ) W. En efecto: (,,, n ),(u,u,,u n ) W ) n = 0 ^ u n = 0. Por lo tanto, (,,, n )+(u,u,,u n )= (,,,0)+(u,u,,0)=( + u, + u,,0). Es ecir, la n ésima componente e la suma e os vectores en W a como resultao un vector que también pertenece a W. 3. R,(,,, n ) W ) (,,, n ) W. En efecto: (,,, n ) W ) n = 0. Por lo tanto, (,,, n )= (,,,0)=(,,,0) W. Como las tres coniciones se satisfacen, hemos probao que W apple R n. Ejemplo.3. Sea (, ) R y consieremos W = {(,y ) R : (,y )= (, ), R}. Probemos que W es un subespacio vectorial e R.. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0,0)=0 (, ) W.. Debemos probar ahora que (, ),(u,u ) W ) (, )+(u,u ) W. En efecto: (, ),(u,u ) W )9, R : (, )= (, ), (u,u )= (, ). Por lo tanto, (, )+(u,u )= (, )+ (, )=( + ) (, ) W, pues + R. 3. Probemos ahora que R, (, ) W ) (, ) W. En efecto: (, ) W ) (, )= ( (, )) = ( ) (, ) W, pues R. Gráficamente, este subespacio vectorial se representa por una recta en el plano, en la misma irección que el vector (, ). MAT0 (Complemento)

11 Ejemplo.4. Como en el ejemplo anterior, sea V un espacio vectorial real, y sea u 0 V, con u 0 6= 0 V. Consieremos W = {v V : v = u 0, R}. Probemos que W es un subespacio vectorial e V.. W 6= ;, lo cual es cierto pues tomano 0 R, obtenemos que 0 u 0 = 0 V W.. Probemos que v,v W ) v + v V. En efecto: v,v V nos asegura que eisten, R e manera que v = u 0 y que v = u 0. Luego, v + v = u 0 + u 0 =( + ) u 0 V 3. Probemos ahora que R, v W ) v W. En efecto: v W nos asegura que eiste R tal que v = u 0. Luego, v = u 0 =( ) u 0 W. Debio a la analogía con el ejemplo anterior (4.-), este espacio vectorial recién escrito se enomina recta vectorial, con irección u 0. Ejemplo.5. Sea E = {(,y,z ) R 3 : + y = 0}. Probemos que E apple R 3.. E 6= ;, lo cual es cierto pues (0,0,0) E.. Probemos que: (,y,z ),(u,v,w ) E ) (,y,z )+(u,v,w)=( + u,y + v,z + w ) E. Este último vector pertenece a E () ( +u )+y +v = 0, conición que se cumple pues como (,y,z ),(u,v,w ) E ) +y = u +v = 0 e one + y + u + v = ( + u )+y + v = 0. Luego, la suma e los vectores pertenece a E. 3. Análogamente para el proucto por escalar. Ç a b Ejercicio.. Verificar que si S = c å M (R): a = b y c =, entonces S applem (R). Ç a b Ejercicio.3. Verificar que si T = c å M (R): a =, entonces T no es subespacio vectorial e M (R). Proposición.. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W,W apple V. Luego:. W \ W apple V.. W + W apple V, one el conjunto suma e W + W se efine como: W + W = {u + v : u W,v W } Definición.. Si W,W apple V y W \ W = {0 V } entonces el subespacio suma W + W es llamao suma irecta y se escribe W W. Observación.. La unión e subespacios no es necesariamente un subespacio vectorial. Consiere por ejemplo V =,y R : = 0 y V =,y R : y = 0. MAT0 (Complemento) 3

12 .. Ejercicios. Sea S = {A M n n : A t = A} Probar que S apple M n n.. Sea T = {A M n n : A t = A} Probar que T apple M n n. 3. Muestre que S T = M n n (R) 4. n m ) C n [a,b] apple C m [a,b]. 5. Consiere los siguientes subespacios vectoriales e R 3 : E = {(,y,0) :,y R}, F = {(0,0,z ) : z R}, G = {(0,y,z ) : y,z R}. Determine: E \ F, E \G, G \ F, E + F, E +G, G + F. Haga una escripción geométrica y ibuje caa uno e estos subespacios.. Combinaciones lineales Definición.3. Sean,,, n K y sean u,u,,u n V, one V es un espacio vectorial real. La epresión P n i = i u i es una combinación lineal e los vectores u,u,,u n. Observación.3. 0 v es combinación lineal e cualquier conjunto e vectores. Ejemplo.6. El vector e R 3, (0,, 3) es una combinación lineal e los vectores (,0,0),(,,0),(,,). Para probarlo, escribimos (0,, 3)= (,0,0)+ (,,0)+ (,,) luego, ebemos encontrar,, R que satisfagan las siguientes ecuaciones: 0 = + + = + 3 = Resolvieno, eterminamos que = 3, = 5, =. Notar que (0,, 3) no es combinación lineal e los vectores (,,0),(,,), pues, usano el mismo razonamiento, si (0,, 3)= (,,0)+ (,,) entonces 0 = + = + 3 = lo cual es obviamente contraictorio... Ejercicios. Consiere los vectores u =(,, ), v =(,,) R 3. Escriba, si es posible, los vectores a =( 4, 5,8) y b = (4,, 5) como combinación lineal e u y v. Determine los valores e para los cuales el vector (,4, 7) es una combinación lineal e u y v.. Daos u =(,,,), u =(,,,3), u 3 =(0,,,0) R 4, etermine los valores e y para que uno e los vectores sea combinación lineal e los otros os. 3. Deciir si p (t ) = t t + es combinación lineal e p (t ) = (t ) y p (t ) = t Ç å Ç å Ç å 0 4. Deciir si es combinación lineal e y. 0 0 MAT0 (Complemento) 4

13 CLASE. Espacio generao Recoremos que para los propósitos e estas notas, los cuerpos que estamos consierano son: el cuerpo e los números reales R, el cuerpo e los números complejos C y el cuerpo e los números racionales Q. Pero las efiniciones aquí aas funcionan para cualquier cuerpo. Ejercicio.. Verificar que la intersección e una colección e subespacios e un espacio vectorial V es también un subespacio vectorial e V. El propósito el ejercicio anterior es poer justificar la siguiente efinición. Definición.. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea X V, X 6= ;. Elespacio generao por X, enotao por hx i ó por G(X ), es ao por la intersección e toos los subespacios e V que contienen al conjunto X. Teorema.. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Los elementos e G(X ) son los elementos el espacio vectorial formao por toas las combinaciones lineales posibles e elementos e X. Si X es finito, igamos X = {,,, k }, entonces ( kx hx i = i i, i = i K ) Observación.. Si W = hv,v,...,v n i ecimos que v,v,...,v n generan a W o que es un conjunto generaor e W. Ejemplo.. Si W = {(,y ) R : (,y )= (, ), R} entonces W = h(, )i, es ecir, (, ) genera a W. Observemos que (, 4) también genera a W y, e manera más general, si 6= 0, entonces (, ) genera W. Los vectores (0,0) y (, ) también forman un conjunto generaor e W. Ejemplo.. Si W = {v V : v = u 0, R} entonces W = G(u 0 )=hu 0 i. Ejemplo.3. En R consiere los vectores u =(,), v =(,), w =(,4). Probemos que R = G(u,v)=G(u,v,w) y que R 6= G(u). Para probar que R = G(u,v), ebemos emostrar que ao cualquier (,y ) R, eisten, R tal que (,y )= (,)+ (,). La iguala implica = y = + e one = + y 3, = y. 3 MAT0 (Complemento) 5

14 Esto significa que ao cualquier vector (,y ) R poemos eterminar eplícitamente, en función e e y, los valores e y. Ya que {u,v } {u,v,w}, se puee fácilmente concluir que R = G (u,v,) G (u,v,w ), e one concluimos que G (u,v,w )=R. Otra manera e concluir lo mismo es proceer e mana análoga al caso anterior. Para probar que R = G(u,v,w), ebemos emostrar que ao cualquier (,y ) R, eisten,, R tal que (,y )= (,)+ (,)+ (,4). Notar que si tomamos, arbitrariamente, = 0, los valores e y obtenios arriba emuestran la afirmación. Si asignamos otro valor a, también poemos resolver el sistema para y. En general, entonces, poemos ecir que: = + y 5 3, = y 7 3 one es un parámetro real. Por lo tanto, en este caso también es posible eterminar eplícitamente los valores e, y. Para probar que R 6= G(u) basta encontrar un vector en R que no sea combinación lineal e u. Por ejemplo, si tomamos el vector (,0) R vemos que no eiste R : (,0)= (,). Ejemplo.4. Claramente Análogamente, G((,0),(0,)) = h(,0),(0,)i = h(,),(3, )i = G((,0),(,),(5,3)) = R R [] = G(,, ) = h, +, i = h, +,+ + i Ejemplo.5. R n []=G(,,,, n ) Ejemplo.6. hsin( ),cos()i = {f () C (R) : f ( )= sin()+ cos(),, R}. Ejemplo.7. M (R)=G Ç å, Ç å, Ç å, Ç å Ejercicio.. Caracterizar el espacio generao por los vectores (0,, ),(, 3, ) y (, /, 3) Ejercicio.3. Encontrar un conjunto generaor el subespacio Ç å a b : a,b,c R applem b c (R) MAT0 (Complemento) 6

15 . Depenencia e inepenencia lineal Definición.. Sean u,u,,u n V. Diremos que {u,u,,u n } es un conjunto:. linealmente inepeniente (l.i.) ssi nx i u i = 0 V ) i = 0 8i =,,n. i =i También se ice que los vectores anteriores son linealmente inepenientes (l.i.).. linealmente epeniente (l..) ssi 9,, n K, no toos nulos : nx i u i = 0 V i =i También se ice que los vectores anteriores son linealmente epenientes (l..). Ejemplo.8. El conjunto {(,0),(0,)} R es un conjunto l.i. En efecto, si consieramos (0,0)= (,0)+ (0,)=(, ) entonces obtenemos que = 0, = 0. Ejemplo.9. El conjunto {(,),(3, )} R es un conjunto l.i. En efecto, si consieramos entonces, tenemos el sistema lineal a resolver Obtenemos que = 0, = 0. (0,0)= (,)+ (3, )=( + 3, ) + 3 = 0 = 0 Ejemplo.0. El conjunto {(,),(3, ),(5,)} R es un conjunto l.. Como antes, si tenemos la iguala (,)+ (3, )+ 3 (5,)=(0,0) se sigue = = 0 Este es un sistema e ecuaciones con 3 incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Luego, hemos probao que {(, ),(3, ),(5, )} es l.. Es importante mencionar que, si bien = = 3 = 0 es una posible solución el sistema, no es la única. Lo que hemos probao es que eisten valores i, no toos nulos, que satisfacen la conición e la efinición. Ejemplo.. El conjunto {(,0,0),(0,,0),(0,0,)} R 3 es un conjunto l.i. MAT0 (Complemento) 7

16 Ejemplo.. El conjunto {(,0,0),(0,,0),(,,0)} R 3 es un conjunto l.. Basta notar que (,,0)=(,0,0)+(0,,0). En otras palabras, eisten valores e,, 3 no toos nulos tales que (,0,0)+ (0,,0)+ 3 (,,0)=(0,0,0). En efecto, basta tomar =, =, 3 =. Ejemplo.3. El conjunto {(0,,0),(,,0)} R 3 es un conjunto l.i. Ejemplo.4. El conjunto {sin(), cos()} C(R) es un conjunto l.i. reales y e manera que valga la siguiente iguala En efecto, supongamos que tenemos valores sin()+ cos()=0. Derivano, obtenemos una seguna ecuación, que nos permite eterminar y, aa por cos() sin()=0. Multiplicamos la primera ecuación por y la seguna por, las sumamos y como este sistema ebe satisfacerse para toos los valores posibles e R, necesariamente, + = 0. La única posibilia es que = = 0. Ejemplo.5. El conjunto {e,e } C [0,] es un conjunto l.i., siempre que 6=. Ejemplo.6. El conjunto {,,,, n } R n [] es un conjunto l.i... Observaciones. Too conjunto e vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.. En particular, el conjunto {0 V } es l... Si un conjunto M e vectores es l.i., too subconjunto e M también es l.i. 3. Si un conjunto e vectores N es l.., too conjunto que contenga a N será l.. 4. Si bien en la efinición e conjuntos linealmente inepenientes o epenientes hemos consierao conjuntos finito, la finitu se puee eliminar. Es ecir, si tenemos un conjunto X V, X 6= ;, entonces iremos que X es un conjunto linealmente inepeniente si too subconjunto no vacío finito e este es linelamente inepeniente. En caso contrario, ecimos que este conjunto es linealmente epeniente. 5. Si X es un conjunto finito o infinito, X 6= ;, entonces uno puee consierar toas las combinaciones lineales posibles usano una cantia finita e vectores e X. Este conjunto resulta ser el espacio generao por X. Teorema.. Sea X V, X 6=, X 6= {0 V }. Entonces, 9Y X tal que Y es un conjunto l.i. y G(X )=G(Y ). Este teorema afirma que cualquier subconjunto no vacío e vectores, salvo el que contiene sólo al 0 V, tiene un subconjunto l.i. e vectores. Notemos también que no hace referencia a si el conjunto X es finito o no. De toas maneras, en este curso en general trabajaremos con juntos finitos X e vectores. MAT0 (Complemento) 8