PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas. - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de.5 PRUEBA A 1.- La probabilidad de que u alumo matriculado e º Curso de Bachillerato abadoe los estudios es de 0,. Si e u cetro hay 100 alumos de ese ivel, se pide: a) De qué distribució se trata?. Qué codició debe cumplir para que se pueda aproximar a ua cotiua?. X= º de alumos, de los 100 matriculados, que abadoa los estudios Se trata de ua biomial de parámetros =100, alumos, y p=0., la probabilidad de que cada ua de ellos abadoe los estudios, es decir, X B(100, 0,) Las codicioes para que ua biomial se pueda aproximar por ua ormal, N p, p 1 p, so ( ( )) i) p=100 0,=0>5 ii) (1-p)=100 0,8=80>5 e este caso se cumple, por tato la variable X, se puede aproximar por la variable ( , ) ( 0, 4) Y N = N b) Hallar la probabilidad de que abadoe meos de 30 alumos. Y PX ( < 30) PY ( < 30) = P < = PZ ( <.5) = 1 PZ ( >.5) = = Observació: Para ser más exactos e la respuesta teiedo e cueta que ua variable biomial es discreta, al aproximarla por ua variable cotiua, se le debe hacer la Correcció de Yates, es decir, PX ( < 30) = PX ( 9) PY ( 9.5) Y PY ( 9.5) = P < = P( Z<.375) = 1 PZ ( >.375) = =

2 c) Halla la probabilidad de que abadoe etre 10 y 0 alumos. Nos pide la probabilidad P(10 X 0) Si hacer la Correcció de Yates sería 10 0 Y P(10 X 0) P(10 Y 0) = P < < = (,54 < Z < 0) = = P Z < 0 P Z <.5 = P Z < 0 P Z >.5 = 0,5 0, 006 = 0, 4938 ( ) ( ) ( ) ( ) Si hacemos la Correcció de Yates sería P(10 X 0) P(9.5 Y 0.5) Y P(9.5 Y 0.5) = P < > = P(, 65 < Z < 0.15) = = 1 P Z <.65 P Z > 0.15 = 1 P Z >.65 P Z > 0.15 = ( ) ( ) ( ) ( ) = = E este caso aplicar la correcció de Yates produce ua diferecia de aproximadamete 7 cetésimas.

3 .- U sociólogo está estudiado la duració del oviazgo e ua extesa área rural. Se tomó ua muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duració media fue de 3,4 años, co ua desviació típica de 1, años. a) Halla el itervalo de cofiaza, para la duració media del oviazgo, de la població de familias e dicha área al ivel de cofiaza del 95%. El itervalo de cofiaza para ua media muestral es: σ σ x zα, x + zα Datos del problema: = 56; x = 3, 4; σ = 1, ; α = 0, 05; α/ = 0, 05; z = 1,96 0,05 σ σ 1, 1, x zα, x + zα = 3, 4 1,96, 3, 4 + 1,96 = 3.085, ( ) b) Cuál debería ser el tamaño de la muestra para estar seguro al ivel cofiaza del 90% de que el error máximo cometido es del 5%? Datos del problema: σ = 1, ; E = 0.05; α = 0,1; α / = 0, 05; z = 1, 64 0,05 σ zα < E z0,05 < < < 0.05 < 0.05 > >

4 3.- Ua empresa de bebidas refrescates sabe que, si x es el precio (e décimas de euros) de ua botella de refresco, los beeficios de la empresa (e miles de euros) viee dados por la expresió bx ( ) = 10x- x - 1. Se pide: a) Etre qué valores de x el beeficio es positivo? Las raíces de la ecuació bx ( ) = 0 so 3 y 7, etre ellas la fució es positiva. b) Cuál es el precio de la botella que da el beeficio máximo. Teemos que derivar e igualar a cero la fució de beeficios b' ( x) = 10 x b' ( x) = 0 10 x= 0 x= 5 b'' ( x ) =, quiere decir que e x = 5 hay u máximo. bx x x ( ) = c) Cuál es ese beeficio?. Para el precio de 5 décimas de euros (0,5 euros) el beeficio es b = = (5) Cuado el precio es 0,5 euros el beeficio es 4000 euros

5 4.- Hacer u esquema de la gráfica de la fució f(x) = x 5x+6 calculado sus máximos y míimos relativos y los putos de cortes co los ejes. Halla el área de la regió compredida etre la curva aterior el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5. La fució f esta defiida e todo. Sus cortes co los ejes se obtiee de: i) x = Resolver la ecuació f( x) = 0 x -5x+ 6= 0 x = 3 ii) Evaluar f (0) = 6 Co lo cual so los putos (,0), (3,0) y (0,6). Para estudiar sus máximos y míimos teemos que derivar e igualar a cero la fució f( x) = x -5x+ 6 f ' x = x 5 f ' x = 0 x 5= 0 x=.5 ( ) ( ) ( ) f '' x =, quiere decir que e x =.5 hay u máximo absoluto. f o tiee máximos i míimos relativos. El área de la regió compredida etre la curva, el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5, se tiee que teer e cueta que la fució es egativa etre y 3. El área se obtiee de la siguiete forma: 3 5 Area = f ( x) dx f ( x) dx + f ( x) dx = x x x x x x = x x x = = = = + + = =

6 5- E u supermercado u cliete compra 1 latas de aceituas de u total de tres marcas distitas. Si el úmero de latas de la marca A es igual a 3 el úmero de latas de la marca B, y éste, a su vez, es igual a dos veces el úmero de latas de la marca C. Se pide: a) E qué parte del programa de matemáticas, que has dado, ubicas este problema? Este problema perteece al tema de sistemas de ecuacioes lieales, ya que se describe ua serie de relacioes etre uas catidades descoocidas. Estas relacioes ua vez se plasma como ecuacioes se observa que so lieales. b) Cuátas latas compró de cada marca? 1 A+ A+ A= 1 A+ B+ C = A= A = A= B B = A B = A B = C = B = C C = B = A= A C A 3 3 = 3

7 PRUEBA B 1.- El ivel medio de colesterol e sagre de la població adulta etre 50 y 60 años de edad es de 185 mg por cada 100 ml de sagre. La desviació típica es de 5 mg por 100 ml. Si las medidas se distribuye segú ua ormal, calcula: a) Qué porcetaje de la població tiee iveles superiores a 00 mg? X = Nivel de colesterol e sagre e u adulto etre 50 y 60 años ; X N( 185,5) La probabilidad de que ua persoa tega u ivel de colesterol e sagre superior a 00 es: X P( X > 00) = P > = P( Z > 0.6) = 0, Quiere decir esto que el 7.43% de la població adulta etre 50 y 60 años tiee u ivel de colesterol e sagre superior a 00 mg. b) Qué porcetaje de la població tiee iveles iferiores a 130 mg? X P( X < 130) = P < = P( Z <.) = P( Z >.) = 0, Quiere decir esto que el 1.39% de la població adulta etre 50 y 60 años tiee u ivel de colesterol e sagre iferior a 130 mg. c) Qué porcetaje de la població está compredido etre 130 y 00 mg?. E el gráfico podemos ver que esa probabilidad es: ( ) ( ) ( ) P 130 < X < 00 = 1 P X < 130 P X > 00 = 1 0, = 0,7118

8 .- Para hallar la proporció de jóvees que les gusta el balocesto se toma ua muestra de tamaño 500. El resultado fue que a 350 les gusta ese deporte. Calcula: a) Itervalo de cofiaza para u ivel de sigificació de 0,05. Se os pide hallar u itervalo de cofiaza al 95% para la proporció de jóvees que les gusta el balocesto ˆ( 1 ˆ) ˆ( 1 ˆ) Este itervalo es ˆ p p z p ˆ, p z p p α + α Datos del problema: 350 = 500; pˆ = = 0, 7; α = 0, 05; zα = z0,05 = 1, (1 0.7) 0.7(1 0.7) , = ( 0.66, 0.74) b) Error máximo que se comete. Tomado ˆp como aproximació para la proporció poblacioal, co u ivel de cofiaza del 95% el error máximo que se comete es: z α ( pˆ) pˆ 1 0.7(1 0.7) = 1.96 = Es decir, al tomar como proporció e la població p=0.7, co u ivel de cofiaza del 95% el error máximo que se comete es del 4%.

9 3.- El estudio de ua muestra aleatoria de 100 jóvees que se preseta a ua prueba, para u puesto de trabajo e u ayutamieto, revela que la media de edad es de 0, años. Sabiedo que la variable estudiada se distribuye ormalmete e la població, co desviació típica 10, podemos aceptar co u 95% de cofiaza el valor de años como media de edad de todos los que asiste a la prueba?. Se os platea u cotraste de hipótesis Bilateral de la forma: H0 : µ = µ 0 H0 : µ = H1 : µ µ 0 H1 : µ σ σ Para este cotraste, la regió de aceptació es R.A.= µ 0 zα, µ 0 + zα Si x RA.. aceptamos la hipótesis ula y e caso cotrario la rechazamos. Datos del problema: = 100; x = 0, ; µ = ; σ = 10; α = 0, 05; z = z = 1,96 0 α 0,05 σ σ RA.. = µ 0 zα, µ 0 + zα = 1.96, = 0.04, ( ) Como 0. ( 0.04, 3.96) aceptamos la hipótesis ula, es decir, aceptamos que µ =. La resolució de este cotraste se podía haber hecho de forma equivalete utilizado el x µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae e la regió de rechazo, que para este test σ z, z = 1.96, bilateral es: R.R.= ( ) ( ) z aceptamos que µ =. α α = = ; como 1.8 ( 1.96, 1.96), aceptamos la hipótesis ula, es decir, Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el itervalo de cofiaza de la media muestral perteeciera a ( ; ) co el mismo ivel de sigificació? Nos está pidiedo el tamaño muestral para que el error máximo fuera 1.78, co u ivel de cofiaza del 95% σ 10 19, 6 E = zα = 1, 78 1,96 = 1, 78 < < > 11. 1, 78 Por tato se ecesita que 1

10 4.- El coste de fabricació de x uidades de lavadoras viee dado por la fució C(x)= x, dode C(x) viee dado e pesetas. Se pide: a) Halla el coste de fabricació de 3 lavadoras. Cx ( ) = x C(3) = = pesetas b) Si el coste de fabricació ha sido de u milló de pesetas, cuátas lavadoras se ha fabricado? Cx ( ) = x = x = x= 950 lavadoras c) Si el coste de fabricació es de pesetas, Cuátas lavadoras se ha fabricado?. Razoa la respuesta. Cx ( ) = x = x = x= 10 Esto es imposible, o se ha fabricado igua lavadora. La fució esta defiida para x 0 y el coste míimo es

11 5.- Las ecesidades míimas diarias, de uidades de tres vitamias A, B y C, e la dieta de u determiado aimal, so respectivamete 6,4 y 16. Existe dos tipos de piesos P y Q que puede sumiistrar esas vitamias, cuyos coteidos, e uidades por kilogramo de peso, viee dados e la siguiete tabla: Uidades de Uidades de Uidades de vitamia A vitamia B vitamia C Pieso P 1 5 Pieso Q El coste de cada kilogramo de pieso tipo P es de 80 pesetas, mietras que el coste de cada kilogramo de pieso tipo Q es de 75 pesetas. Cómo se ha de cofigurar la dieta de costo global míimo? Se trata de miimizar la fució de coste global del pieso. Esta fució es: f ( xy, ) = 80x+ 75y Co las siguietes restriccioes para cubrir el aporte vitamíico y de o egatividad de las variables : Vitamia A x+ y 6 Vitamia B 5x+ 3y 4 Vitamia C x+ 4y 16 x 0; y 0 Mi f ( x, y) = 80x + 75y sa..: r x+ y 6 1 r 5x+ 3y 4 r x+ 4y 16 3 x 0; y 0 r r 3 1 r REGION FACTIBLE Los putos extremos que se obtiee so: x+ y = 6 x = 3 f (3,3) = = 465 5x+ 3y = 4 y = 3 5x+ 3y = 4 x = 4 f (4,) = = 470 x+ 4y = 16 y = x+ y = 6 x = 3,43 (3, 43,, 8) R. Factible 5x+ 3y = 4 y =, 8 x = 0 f (0,8) = = 600 y = 8 x = 8 f (8, 0) = = 640 y = 0 El costo míimo se cosigue co 3 kilos de pieso P y 3 kilos de pieso Q.