Medidas de tendencia central

Transcripción

1 Medidas de tedecia cetral Por: Sadra Elvia Pérez Las medidas de tedecia cetral tiee este ombre porque so valores cetrales represetativos de los datos. Las medidas de tedecia cetral que se estudia e esta lectura so: a) Media aritmética. b) Moda. c) Mediaa. Media aritmética La media aritmética se defie como la suma de u cojuto de catidades dividida etre el úmero de ellas. Te suea coocida esta defiició? Geeralmete a la media aritmética se le cooce como promedio. Si se tiee u cojuto de datos datos como: x..., x, x x, se defie la media aritmética ( _ x ) de ese cojuto de El símbolo Σ se lee sumatoria de y sigifica que lo que esté efrete se debe de sumar. 1

2 Calcular la media aritmética para u úmero reducido de datos o es muy complicado y cuado el úmero de datos se icremeta cosiderablemete, es ecesario poer mayor ateció e su cálculo. Ve los siguietes ejemplos: Ejemplo 1 Calcula la media aritmética para el siguiete cojuto de datos: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7 Solució = 40 9 = 4.44 La media aritmética del cojuto de datos es Observa la iformació aterior y aaliza cuál fue el dato que más se repitió? La respuesta es 4, ya que se repite e 3 ocasioes. A este dato que aparece co mayor frecuecia se le cooce como moda. Existe cojutos de datos para los que o existe la moda, es decir, igú dato aparece más que el resto. Ejemplo 2 El celular de Rocío Rocío es ua iña de cuarto año de primaria y le pidió a su mamá como regalo de avidad u teléfoo celular; su mamá le respodió que si e el segudo bimestre obteía u promedio mayor o igual a 8.5, se lo compraría. Las calificacioes de Rocío e el segudo bimestre fuero: Español 7 Matemáticas 8 Ciecias Naturales 10 Ciecias Sociales 9 Tedrá Rocío su celular para avidad? Solució Los datos so:, 8, 10 x = 9 Para determiar el promedio de las calificacioes se suma cada ua de ellas y se divide etre el úmero de materias que está cursado, e este caso =4. 2

3 ( ) x = El promedio o media aritmética de las calificacioes de Rocío es 8.5. Como el promedio de Rocío es de 8.5, su mamá tedrá que cumplir su promesa y comprarle u celular como regalo e avidad. Observa los datos y respode existe la moda para los datos de este problema?, cuál es? Debido a que e las calificacioes de Rocío igua se repite más que las otras calificacioes, para este cojuto de datos o existe la moda. Ejemplo 3 Los quesos de Martí Martí es u productor de quesos que vive e Silao y recolecta leche de vaca de varios criaderos aledaños para hacer sus quesos. De su última producció, se dio a la tarea de pesarlos para coocer el peso promedio de sus quesos, lo cual ecesita saber porque su cliete pricipal acostumbra comprarle la producció e lotes de 25 quesos, si pesar cada pieza e particular. Martí quiere saber si está vediedo sus quesos a u precio justo. La producció de Martí de esta semaa alcazó para completar 7 caastos co 25 quesos cada uo y los pesos de cada caasto fuero: 18.7, 21.3, 23.8, 22.6, 24.1, 19.3, 20.7 (kilogramos) Cuál es el peso promedio de cada lote de 25 quesos? Solució Calcula la media aritmética aplicado la fórmula ( ) x, y se obtiee: ( x) = = El peso promedio de 25 piezas de queso resultó 21.5 kilogramos, por lo que esta iformació la puede utilizar Martí para calcular cuáto debe cobrar por cada lote de 25 quesos, depediedo de cuál sea el 3

4 precio del kilogramo de queso, si ecesidad de pesar cada queso. Él sabe que habrá lotes que pese más de 21.5 kilogramos pero tambié sabe que existirá lotes co pesos meores. Ejemplo 3 Los quesos de Martí Martí es u productor de quesos que vive e Silao y recolecta leche de vaca de varios criaderos aledaños para hacer sus quesos. De su última producció, se dio a la tarea de pesarlos para coocer el peso promedio de sus quesos, lo cual ecesita saber porque su cliete pricipal acostumbra comprarle la producció e lotes de 25 quesos, si pesar cada pieza e particular. Martí quiere saber si está vediedo sus quesos a u precio justo. La producció de Martí de esta semaa alcazó para completar 7 caastos co 25 quesos cada uo y los pesos de cada caasto fuero: 18.7, 21.3, 23.8, 22.6, 24.1, 19.3, 20.7 (kilogramos) Cuál es el peso promedio de cada lote de 25 quesos? Solució Calcula la media aritmética aplicado la fórmula ( ) x, y se obtiee: ( x) = = El peso promedio de 25 piezas de queso resultó 21.5 kilogramos, por lo que esta iformació la puede utilizar Martí para calcular cuáto debe cobrar por cada lote de 25 quesos, depediedo de cuál sea el precio del kilogramo de queso, si ecesidad de pesar cada queso. Él sabe que habrá lotes que pese más de 21.5 kilogramos pero tambié sabe que existirá lotes co pesos meores. Observa que ahora aparece e la fórmula el térmio correspodiete co la frecuecia (f). Otro puto a hacer otar es que la x para datos agrupados e distribucioes de frecuecia co itervalos represeta la marca de clase. Ve los siguietes ejemplos: Ejemplo 1 Calcula la media aritmética para los datos de la siguiete distribució de frecuecias simple. 4

5 x f Tabla 1. Distribució de frecuecias simples x dato y f frecuecia. Debido a que la fórmula requiere sumar térmios f x, que so el producto de la frecuecia absoluta co cada dato, coviee agregar ua columa a la tabla, realizar los productos y sumarlos. La tabla queda de la siguiete forma: x f f x =28 f x y Tabla 2. Distribució de frecuecias simples x dato, f frecuecia f x (multiplicació de frecuecia co el dato). El valor de se obtiee de sumar las frecuecias absolutas y para este caso particular: =28. Ahora se aplica la fórmula para determiar el valor de la media aritmética: f x 461 = Por lo tato, la media aritmética es Observa los datos y respode existe la moda para los datos de este problema?, cuál es? 5

6 Debido a que la moda es el dato que más se repite, e este cojuto de datos se observa que el dato co la frecuecia mayor es 17 (su frecuecia es 9) y por lo aterior la moda de este cojuto de datos es 17. La forma para calcular la media aritmética para ua distribució de frecuecias co itervalos es muy similar, el siguiete ejemplo muestra cómo hacerlo. Ejemplo 2 Ecuetra la moda y calcula la media aritmética para los datos de la siguiete distribució de frecuecias co itervalos. Clases f Tabla 3. Distribució de frecuecias por itervalos co tamaño de clase 8 y f frecuecia. Para el caso de ua distribució de frecuecias co itervalos, es ecesario calcular primero la marca de clase y luego hacer el mismo procedimieto que e el ejemplo aterior. Para ello, es recomedable agregar ua columa para la marca de clase y otra columa que cotega los térmios f x. La tabla queda como sigue: Clase Marca de clase x f f x , ,5 =50 f x 3559 = Tabla 4. Distribució de frecuecias por itervalos co tamaño de clase 8 y marca de clase x y f frecuecia. El valor de, se obtiee de sumar las frecuecias absolutas y para este caso particular =50. Ahora se aplica la fórmula para determiar el valor de la media aritmética: 6

7 f x x 3559 = = Por lo tato, la media aritmética es La moda para u cojuto de datos agrupados e ua distribució de frecuecias co itervalos es la marca de la clase co la frecuecia mayor. Para este caso la moda es 75.5, ya que su frecuecia absoluta es 14. Mediaa E la empresa de costrucció Maya, los sueldos de los empleados so distitos y depede de las fucioes que desempeña cada trabajador. Aguos ejemplos de estos sueldos so: 7000, 9500, 11000, 12000, 14000, 16000, 24000, Cuál es el promedio de sueldos para la empresa costructora Maya? Si aplicas la fórmula para la media aritmética obtieemos: = = Es decir, el promedio de los sueldos de Maya es $17,250, pero este resultado te parece adecuado y represetativo de los sueldos de los empleados de Maya? Observa que 7 de los 8 sueldos mostrados se ecuetra por debajo de la media. Para este caso e particular, la media aritmética o es ua medida adecuada para represetar a este cojuto de datos. La medida de tedecia cetral que se utiliza para estos casos, e los que existe datos e extremos distitos al resto de datos (como el sueldo de $45,000), es la mediaa. 7

8 La mediaa es el valor de los datos que ocupa la posició cetral cuado los datos se ordea segú el tamaño, es decir, es el dato tal que arriba de él se ecuetra el 50% de los datos y debajo de él el otro 50%. La mediaa se represeta co Md y para calcularla se debe cosiderar los siguietes dos casos: 1) Cuado el úmero de datos es par. 2) Cuado el úmero de datos es impar. Para el caso de los sueldos de Maya se tiee 8 datos, es decir, es u úmero par. Para este caso, la mediaa es la media aritmética de los dos valores itermedios Valores cetrales Etoces la mediaa es: Md = = = El valor $13,500 es más represetativo de los sueldos de la empresa Maya que $17,250. E este ejemplo se pudo observar que: La media aritmética es sesible a valores extremos, por ello e alguos casos se omite estos valores para que el valor de la media aritmética sea más represetativo. Para ejemplificar el cálculo de la mediaa para u úmero impar de datos, se retira del cojuto de sueldos de Maya, el valor $45, Cuado el tamaño de la muestra es impar, la mediaa es la observació que ocupa el lugar 2, por lo tato: 8

9 Como se tiee 7 datos (al retirar $45,000), la mediaa es el dato que ocupa la posició: = = Posició 1 Posició 2 Posició 3 Posició 4 Se puede cocluir que la mediaa del cojuto de datos es: Md= Si se calcula la media aritmética para este cojuto de 7 datos (si el sueldo de $45,000), se obtiee u resultado de $ Observa cómo este valor de la media sí es represetativo del cojuto de datos. Mediaa para datos agrupados e distribucioes de frecuecia simple La posició de la mediaa la determias uevamete co la fórmula: A cotiuació se preseta u ejemplo: Toma la distribució de frecuecias simple de la tabla siguiete: x f =82 Tabla 5. Distribució de frecuecias simples de 82 datos. Como =82, la mediaa será el valor que ocupa el lugar =

10 Para visualizar el dato que ocupa la posició 41.5 e la distribució de frecuecias simple, coviee agregar la columa de frecuecia acumulada: x f fa Datos que ocupa la posició al al al al al al al 82 =82 Tabla 6. Lugar que ocupa la mediaa e detro de los 82 datos. Como se busca el dato que ocupa la posició 41.5, observa que el dato x=4 se repite 18 veces y que ocupa la posició 32 a 49. Debido a que 41.5 se ecuetra etre 32 y 49, se cocluye que la mediaa para este cojuto de datos es Md=4. E este caso, a pesar de que se trató de u úmero par de datos, o fue ecesario calcular la media aritmética de los valores cetrales debido a que el dato e la posició 41 es 4, y el dato e la posició 42 tambié es 4, por lo que al promediarlos seguirá siedo 4. Mediaa para datos agrupados e distribucioes de frecuecia co itervalos El cálculo de la mediaa e ua distribució de frecuecias co itervalos implica ua serie de pasos que se describe a cotiuació: Determia la clase que cotiee a la mediaa. Esta clase se llama clase de la mediaa y es la que cotiee el valor que ocupa el lugar 2 N, e dode N es el úmero total de datos. Calcula la frecuecia acumulada que correspode a la clase imediata iferior a la clase de la mediaa. Determia la frecuecia de la clase de la mediaa. Determia el acho de la clase. Determia el límite iferior de la clase de la mediaa. Aplica la fórmula: fa Md = L + 2 i f e dode L = Límite iferior de la clase de la mediaa. N = Número total de datos. 10

11 fa = Frecuecia acumulada e la clase imediata iferior a la clase de la mediaa. f = Frecuecia e la clase de la mediaa. i = La logitud del itervalo o clase de la mediaa. A cotiuació se preseta u ejemplo: Determia la mediaa para los datos mecioados e la siguiete distribució de frecuecias co itervalos que se muestra e la tabla 7. Clase Marca de clase Datos que ocupa f fa x la posició al al al al al al 50 =50 Tabla 7. Lugar que ocupa cada uo los elemetos detro de cada itervalo de clase. 1. Ecuetra la clase de la mediaa. Calcula: 50 = = Como la clase de la mediaa es la clase que cotiee el dato que ocupe la posició 25, e este caso la clase de la mediaa es porque e esa clase se ecuetra el dato que ocupa la posició 25. E la última columa de la tabla 7 se idica que los datos de esta clase va desde el dato e la posició 25 al dato e la posició Determia la frecuecia acumulada (fa) de la clase imediata iferior a la clase de la mediaa. Al aalizar la tabla 7 se observa que la clase imediata iferior es 64 71, cuya frecuecia acumulada es fa=24. Clase Marca de clase Datos que ocupa f fa x la posició al al al al al al 50 =50 Tabla 8. Clase de la mediaa (dode se ecuetra el dato que ocupa la posició 25). 3. Determia la frecuecia de la clase de la mediaa. La frecuecia de la clase de la mediaa es : f=14 11

12 4. El acho de la clase es 56-48=8, por lo que i=8. 5. Halla el límite iferior de la clase de la mediaa. Este úmero es L= Ahora sólo falta sustituir los valores ecotrados e la fórmula: fa Md = L + 2 i f Md = Md = Co las medidas de tedecia cetral se puede aalizar el comportamieto de los datos e toro a valores cetrales. La moda idica el dato que más se presetó y la media aritmética sigifica el promedio de los datos, auque es sesible a datos extremos y la mediaa es u valor cetral que se prefiere a la media aritmética cuado existe valores extremos (más grades o más pequeños que el resto de los datos). Bibilografía Evas, J. R. & Lidsay, W. M. (2008). Admiistració y cotrol de la calidad (7a. ed.; F. Sáchez, Trad.). México: Cegage Learig. Fuelabrada, S. (2002). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. Magaña, L. (2003). Matemáticas III, Estadística y Probabilidad. México: Compañía Editorial Nueva Image. 12