Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Transcripción

1 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación). Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b) Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11 Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4 Si x= 0, entonces h(0) = 4 Si x= 98 entonces h(98) = 4 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

2 Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas. Ahora veamos como graficar una función. Ejemplos Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y = 2x y y = - 3x + 4 Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta. Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 1. y = 2x Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores. Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2, -4) Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1, 2) X y = 2x

3 2. y = - 3x + 4 Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores. Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1, 7) Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2, -2) y = - 3x + X

4 Función afín La función afín es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

5 n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. 1. y = 2x - 1 x y = 2x

6 2. y = -¾x - 1 x y = -¾x Función Cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

7 Representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Parábola del puente, una función cuadrática. Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son: Orientación o concavidad (ramas o brazos) Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) Punto de corte con el eje de ordenadas Eje de simetría Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) : Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 3x 5

8 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = 3x 2 + 2x + 3 Además, cuanto mayor sea a (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.

9 Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Veamos: Representar la función f(x) = x² 4x + 3 Representar la función f(x) = x² 4x 3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3 El eje de las ordenadas (Y) está cortado en 3 Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

10 Eje de simetría o simetría Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por: Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

11 La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, de la parábola (recuerde el discriminante) según sea la orientación FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es: siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a 1. También se suele denotar la función como exp (x). La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

12 Características Dominio: El dominio son todos los números reales. Recorrido: El recorrido son todos los números reales positivos. Derivada de la función exponencial: En el caso particular en el que a sea igual al número e (e = 2, ), la derivada de la función f(x) = ex es ella misma. Es la única función que cumple esta propiedad. Integral de la función exponencial: Todas las funciones exponenciales son continuas. Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente. La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.

13 Así pues, las funciones exponenciales siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). La función exponencial es inyectiva. Propiedades Todas las funciones exponenciales exp (x) cumplen las siguientes propiedades:

14 Ejercicio Sea la función exponencial con a = 2, definida por la función: La función es continua en todos los números reales. Como a = 2 > 1, la función es creciente. La gráfica de la función pasa por los puntos (0, 1) y (1, 2). Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + zt)

15 Funciones periódicas Función seno La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que: sen (x + 2π) = sen x Función tangente La función f(x) = tg x es periódica de periodo π, ya que cumple que: tg (x + π) = tg x

16 Función mantisa La función mantisa, f(x) = x - E(x), es periódica de periodo 1. Cálculo del periodo Si tenemos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo: Ejemplos Hallar el periodo de las funciones: 1. f(x) = sen 2x 2. f(x) = tg (1/2)x 3. f(x) = E (1/2)x

17 Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Ejemplos x 1/8-3 1/4-2 1/

18 8 3 x 1/8 3 1/4 2 1/

19 Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1.

20 Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1 er y 3 er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí. Definición de logaritmo Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

21 Ejemplos

22 5. De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

23 Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

24 5. Cambio de base: Logaritmos decimales Son los que tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Función trigonométrica f(x) = sen x Función del seno Dominio: Recorrido: [ 1, 1] Período:

25 Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Impar: sen( x) = sen x Cortes con el eje OX: Función del coseno f(x) = cos x Dominio: Recorrido: [ 1, 1] Período: Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en:

26 Máximos: Mínimos: Par: cos( x) = cos x Cortes con el eje OX: Función de la tangente f(x) = tg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período:

27 Creciente en: Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene. Impar: tg( x) = tg x Cortes con el eje OX: Función de la cotangente f(x) = cotg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período:

28 Decreciente en: Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene. Impar: cotg( x) = cotg x Cortes con el eje OX: f(x) = sec x Función de la secante Dominio: Recorrido: (, 1] [1, ) Período: Continuidad: Continua en

29 Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Par: sec( x) = sec x Cortes con el eje OX: No corta Función de la cosecante f(x) = cosec x Dominio: Recorrido: (, 1] [1, ) Período:

30 Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Impar: cosec( x) = cosec x Cortes con el eje OX: No corta