CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas

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1 TEMA 4. Expresiones algebraicas: 1. Una expresión algebraica es una expresión formada por operadores algebraicos que combinan operandos que pueden ser letras o números. Las letras se llaman variables y los números se llaman constantes. Ejemplos: +, +1,, En una expresión normalmente se omite el punto que representa la multiplicación, a menos que se encuentre entre dos números. Al sustituir las letras de la expresión por números se obtiene una expresión aritmética cuyo valor es el valor númerico de la expresión para esa sustitución. Cuando dos expresiones algebraicas tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que se asigne a las variables, se dice que son equivalentes. (En la práctica se consideran iguales) Ejemplo: (+) es equivalente a Monomios Se llama expresión entera, monomio o término algebraico a aquella que se forma como producto de un número (parte numérica) y una o más variables (parte literal) y la única operación que liga a las variables es la multiplicación o cualquiera que sea equivalente. No pueden aparecer letras en los exponentes, ni divisiones, raíces, potencias de exponente negativo o fraccionario, sumas, restas etc. Sí pueden aparecer variables elevadas a un exponente entero positivo, porque son equivalentes a una multiplicación repetida. Estas restricciones no afectan a la parte numérica, que puede incluir cualquier radical, fracción, etc. Siempre que no intervengan letras. También es una expresión entera cualquiera que sea equivalente a una expresión entera Estas restricciones no afectan a los números que forman la parte numérica. Se denomina grado del monomio a la suma de los exponentes a que están elevadas las letras. Ejemplos:,, () Para cada uno de las siguientes expresiones enteras, determina su parte numérica, parte literal y grado: P. numérica P. literal Grado h

2 Indica cuáles de las siguientes no son expresiones enteras y el motivo: 4. Operaciones con monomios:, 3,,3+, 3, 3 + El producto de dos monomios siempre es otro monomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los dos monomios que se multiplican. La parte numérica es el producto de las dos partes numéricas y la parte literal es el producto de las dos partes literales, agrupando las letras que sean iguales con los exponentes sumados. El cociente de dos monomios puede ser otro monomio, si el dividendo tiene al menos las mismas variables que el divisor y con el mismo número de veces. En caso contrario el resultado es una fracción algebraica. La suma o la resta de dos monomio pueden dar otro si los dos son semejantes, es decir, tienen la misma parte literal y solo difieren en la parte numérica. En caso de no ser así, el resultado es un binomio. Ejemplos: Multiplicación: ( ) División: ( ): Suma/resta: (el resultado es una fracción algebraica) (3 ):( ) (el resultado es un monomio) (dos términos semejantes se reducen a un único término) Polinomios (Dos términos no semejantes dan lugar a un binomio) Son expresiones algebraicas que combinan uno más términos mediante las operaciones de suma o resta.. Ejemplo: ++, 5 +1 Según el número de términos que lo componen puede denominarse monomio, binomio, trinomio, etc. El Grado de un polinomio es el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. El producto de un monomio por un binomio es igual a la suma de los productos del monomio por cada uno de los monomios que componen el polinomio. (propiedad distributiva) Ejemplo: (+)+ (+)+ (+)(+)+++ (3+)( )3 3 +

3 4.4 Productos notables Son expresiones que aparecen con frecuencia y conviene aprender de memoria Suma por diferencia: (+)( ) + (diferencia de cuadrados). Se aplica también cuando la suma y la diferencia aparezcan en diferente orden: ( +)(+) Ejemplos: (3 +)(3 )(3 ) () 9 4 ( + )( + )( ) ( ) 4 Cuadrado de una suma: (+) (+)(+) (suma de cuadrados más doble producto). Se aplica también cuando los dos términos tienen signo negativo: ( ) (+) Ejemplo: (3 +) (3 ) +() +(3 )() Cuadrado de una diferencia: (A B) (A B)(A B)AA AB AB+BBA +B (suma de cuadrados menos doble producto). Se aplica también cuando los dos términos tienen distinto signo: ( +) ( ) Ejemplo: (3 ) (3 ) +() (3 )() POLINOMIOS EN UNA SOLA VARIABLE Son polinomios en los que aparece una sola letra, normalmente. Se componen de una suma de potencias de multiplicadas por un coeficiente. Expresión general de un polinomio ordenado:

4 El término de mayor grado se denomina término principal, su coeficiente se denomina coeficiente principal, su grado es el grado del polinomio. El término de grado 0 se denomina término independiente. El polinomio se dice que es incompleto si alguno de sus coeficientes es cero. Se dice que está ordenado si sus términos aparecen de mayor a menos grado. Ejemplos: Polinomio Coeficiente principal Grado Término independiente completo no sí 1 0 no sí 4.6 Operaciones con polinomios: Suma y resta: Para sumar o restar dos polinomios se ordenan y completan (se puede completar con ceros o dejar un hueco donde falte un término), se colocan uno sobre otro y se suman entre sí los monomios de igual grado de ambos polinomio. Ejemplo: ( )+( +1+) SUMA: Para la resta se puede ir restando término a término o bien, cambiar de signo a todos los términos del sustraendo para posteriormente realizar una suma. Ejemplo: ( ) ( +1+) RESTA: Multiplicación: Se realiza aplicando la propiedad distributiva, es decir se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo. Para ello se ordena y completa el primer polinomio, se pone debajo el segundo. Se va multiplicando cada termino del segundo por 4

5 cada término del primero, formando una fila, colocando cada monomio en la posición que le corresponde según su grado. Finalmente se suman todas las filas. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los dos polinomios que se multiplican. Grado 0 Grado 1 Grado Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6 Grado División: La división de un polinomio (dividendo) entre otro (divisor) consiste en hallar dos polinomio cociente y resto que cumplan: a) Dividendo divisor cociente + resto b) El grado del resto es menor que el del divisor Para dividir dos polinomios se ordena y completa el dividendo. Se procede de forma repetitiva, el primer resto provisional es el propio dividendo, en cada paso se añade al cociente un término que se obtiene dividiendo el término principal del resto provisional entre el término principal del divisor. Después se multiplica ese término por el divisor y se resta al resto provisional, obteniendo un nuevo resto provisional de menor grado. El proceso termina cuando el grado del resto provisional es menor que el del divisor. Ejemplo: Dividir el polinomio entre el polinomio 3 +1 Empezamos ordenando el divisor y completándolo con huecos en los grados de coeficiente cero. A su derecha se coloca el divisor separado por unas líneas. En cada paso del proceso calculamos un término del cociente y lo colocamos bajo el divisor: Cociente: Primer término: Segundo término: 3 + Tercer término: 3 Cuarto término: Resultado: El cociente es: +3 5 y el resto es: 5

6 4.7 División por el método de Ruffini El método de Ruffini sirve para hacer más fácil la división cuando el divisor es un polinomio de grado 1. Si el coeficiente principal del divisor vale 1, su forma es, siendo a un número positivo o negativo. Si el dividendo es un polinomio de grado n, con la forma: El cociente será un polinomio de grado n-1, con la forma: Siendo sus coeficientes obtenidos por las siguientes fórmulas: Y el resto de la división es: + Estos cálculos se realizan disponiendo los elementos del siguiente modo: Ejemplo: Dividir el polinomio entre el polinomio: +3 En este caso es 3, dado que Resultado: el cociente es y es resto es 45 Cuando el polinomio divisor tiene la forma +, podemos dividirlo entre para que tenga la forma requerida para la operación. Una vez realizada la división, y dado que hemos dividido el polinomio divisor entre, tenemos que dividir el cociente por para que el resultado sea correcto. Ejemplo: Dividir el polinomio + entre el polinomio: 1 Antes de aplicar el método de Ruffini propiamente dicho, tenemos que dividir el polinomio divisor entre, resultando el polinomio:, que responde a la forma del caso anterior, por lo tanto será: y la división resulta: Resultado: El cociente es: + y el resto es

7 Pero como el divisor original no era sino 1, tenemos que dividir el cociente entre, resultando: +1 el verdadero cociente. 4.8 Teorema del resto El valor numérico de un polinomio () para un determinado número es igual al resto de la división del polinomio () entre el polinomio Ejemplo: Antes hemos visto que el resto al dividir el polinomio () entre el polinomio +3 daba 454, vamos a comprobar que coincide con el valor numérico del polinomio cuando a le damos el valor 3 ( 3)6( 3) ( 3) +5( 3) Raíces de un polinomio Llamamos raíz de un polinomio, (), a un número,, para el cual, el valor numérico del polinomio es 0. Como acabamos de ver por el teorema del resto, cuando un número,, es raíz del polinomio, el resto de la división de ese polinomio entre el polinomio es 0, o sea que se trata de una división exacta. Por lo tanto hay una correspondencia entre las raíces del polinomio y los divisores del polinomio de la forma 4. Polinomios irreducibles Son polinomios que no se pueden expresar como producto de dos polinomios de menor grado. Cuando se trabaja en el campo de los números complejos, todos los polinomios irreducibles son de grado 1. Cuando se trabaja en el campo de los números reales existen polinomios irreducibles de grado y de grado 1. Los polinomios irreducibles de grado son de la forma ++ con discriminante negativo ( 4<0) Ejemplo: +5 Los polinomios irreducibles de grado 1 son polinomios de la forma + Ejemplo: 3 Los polinomios irreducibles de grado no tienen raíces reales, sus raíces son dos raíces complejas conjugadas, que no se tratan en este curso. Los polinomios irreducibles de grado uno cuya forma es + tienen la raíz Ejemplos: 3 tiene la raíz, + tiene la raíz, etc. 7

8 4.11 Descomposición factorial de polinomios: Se denomina descomposición factorial o Factorización de un polinomio a expresarlo como producto de factores irreducibles (polinomios de grado 1 o de grado ). Cada factor irreducible de grado 1 se corresponde con una raíz del polinomio. Si, en la descomposición de un polinomio, algún factor de grado 1 aparece repetido varias veces, se dice que la raíz del polinomio aparece con multiplicidad doble, triple, etc. Cada factor irreducible de grado se corresponde con un par de raíces complejas conjugadas del polinomio. Ejemplo: El polinomio ()( 3) (+1)( ++1), es un polinomio de grado 8, que tiene la raíz 3 con multiplicidad, la raíz 0 con multiplicidad 3, la raíz, con multiplicidad 1 y otras dos raíces complejas conjugadas, asociadas al polinomio irreducible ++1 En general, el número de raíces de un polinomio es igual a su grado. Si multiplicamos dos polinomios entre sí, las raíces del producto son las de los dos polinomios que se multiplican. Estrategias para la factorización de polinomios: 1. Factor común de potencias de : Consiste en sacar factor común la mayor potencia posible de, que corresponde a la raíz 0. El cociente resultante es un polinomio cuyo término independiente es no nulo. Ejemplo: ( ) 1. Productos notables: Cuando un polinomio responde a una expresión conocida de un producto notable, se puede descomponer de acuerdo con dicha expresión: Ejemplo: 4 9 tiene la forma de una diferencia de cuadrados, siendo Por lo tanto 4 9(+3)( 3). Factorización de polinomios de grado (+)( ) Cuando un polinomio es de grado, su forma es ++ y se pueden hallar sus dos raíces de forma explícita mediante la fórmula cuadrática: ± (la expresión que va dentro de la raíz cuadrada se denomina discriminante, en caso de que el discriminante sea negativo, el polinomio es irreducible. Si es nulo el polinomio tiene una raíz doble, es el 8

9 cuadrado de un binomio y si es positivo, el polinomio es producto de dos factores de grado 1 diferentes. Ejemplo 1: 3 5 Sus raíces son ± ± ± 1 La factorización del polinomio será: 3 5( 5)(+1) Ejemplo : +3+5 Al aplicar la fórmula cuadrática para calcular sus raíces, vemos que el discriminante resulta ser negativo: 3± ± 31 4 Por lo tanto se trata de un polinomio irreducible, no se puede descomponer en factores. Ejemplo 3: +6+9 Al aplicar la fórmula cuadrática para calcular sus raíces, vemos que el discriminante resulta ser nulo, por lo que ambas raíces coinciden, se trata de una raíz doble: 6± Por lo tanto la descomposición del polinomio es: 6± (+3)(+3)(+3) (el cuadrado de un binomio) 3. Prueba de raíces racionales (por el método de Ruffini) Cuando un polinomio tiene todos sus coeficientes enteros, sus posibles raíces racionales serán de la forma ±, siendo el numerador un divisor del término independiente y el denominador un divisor del término principal. Para factorizar el polinomio formamos una lista de candidatos, posibles raíces del polinomio que tendremos que descartar o confirmar usando el método de Ruffini. Cada vez que encontramos un divisor repetimos el proceso con el cociente de la división, bajando el grado del polinomio en una unidad, hasta que el cociente tiene grado Para hacer la lista de candidatos hallamos los posibles divisores del término independiente y del coeficiente principal. Y los combinamos formando todas las posibles fracciones que tienen como numerador un divisor del término independiente y como denominador un divisor del coeficiente principal. En la lista se eliminan las fracciones que estén repetidas. Ejemplo1: Las posibles raíces racionales de este polinomio serán de la forma ±, siendo el numerador un divisor del término independiente, 8 ( 1,,4,8 ) y el denominador un divisor del término principal, ( 1,,3,6,5,,,). 9

10 Formamos todos los posibles candidatos colocándolos en la siguiente tabla y tachando los que están repetidos: numerador denominador ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± ±1 ± 1 ± ± 4 ±4 ± 4 8 ±8 ± 8 Vamos probando los diferentes candidatos: ± 3 ± 4 3 ± 8 3 ± 6 ± 4 6 ± 8 6 ± 5 ± 4 5 ± 8 5 ± ± 4 ± 8 ± ± 4 ± ± 1 ± ± 4 ± Al llegar al -4 encontramos una raíz del polinomio. O, lo que es lo mismo, un factor del polinomio: (+4)( 11+) El cociente resultante es un polinomio de grado 3, por lo que tendremos que seguir probando candidatos con ese polinomio por el método de Ruffini, pero en la lista de candidatos tenemos que eliminar los que ya no son posibles, porque el término independiente ha cambiado (además de los que ya hemos descartado). numerador ±1 ± ±4 ±8 ± 1 ± ± 4 ± 8 denominador 3 ± ± ± 1 5 ± 1 ± 1 ± 1 ± 3 ± 6 ± 5 ± ± ± ± 4 3 ± 4 6 ± 4 5 ± 4 ± 4 ± 4 ± 8 3 ± 8 6 ± 8 5 ± 8 ± 8 ± 8

11 CEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas Comprobación de los candidatos: es una nueva raíz del polinomio, tenemos un nuevo factor ( +14 4) El nuevo cociente es un polinomio de grado, por lo que ya no es necesario probar candidatos, podemos hallar sus raíces directamente con la fórmula: ± 14±196 4 ( 4) 14±196 4 ( 4) Finalmente la factorización del polinomio será: 11 14± (+4) Ejemplo : + +, (+4)( 1)(5 1)(3+) 14±6 60 Cuando el polinomio que tenemos que factorizar no tiene sus coeficientes enteros, tenemos que multiplicarlo previamente por el mínimo común múltiplo de todos sus denominadores y factorizar el polinomio resultante. Antes de factorizar multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 4: ( ) Procediendo igual que en el caso anterior para el polinomio: Posibles candidatos: denominador numerador 1 ±1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± ± ± 4 14±

12 La factorización de este polinomio será: 4 (+1)+ Y la del polinomio original: + Ejemplo 3: 1 Las posibles raíces racionales del polinomio son: 1 y -1 + (+1) Con las dos raíces 1 y -1 hemos factorizado el polinomio hasta tener un cociente de grado, para el que ya es aplicable la fórmula cuadrática: ± 0± ± 4 En este caso el polinomio es irreducible, porque su discriminante es negativo. Por lo tanto la factorización del polinomio es: 1( 1)(+1)( 1) 4. Polinomios sin términos de grado impar Cuando todos los términos de un polinomio son de grado par, se puede hacer el cambio, (cada potencia de se transforma en una potencia de dividiendo el exponente entre. Así se tiene un polinomio en, cuyo grado es la mitad del original y se puede descomponer en factores. A continuación se deshace el cambio anterior ( ) y se descompone cada factor por separado. Ejemplo: Al ver que todos sus términos son de grado par, realizamos el cambio y todas las potencias de se cambian por potencias de t 11t 9t+36 Se factoriza el polinomio en t, siguiendo el proceso anterior: Se deshace el cambio previo: ( ) 4t 11t 9t+36( 3) (4 5) (+1) ( 3)(4 5)( +1) Por último se descomponen los dos primeros factores teniendo en cuenta que se trata de un polinomios de grado o bien como un producto notable. El tercer factor es irreducible ( +1) 4.1 Fracciones algebraicas: Son expresiones algebraicas de la forma (), siendo () y () polinomios () Ejemplo:

13 Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo resultado: () () ~() ()() ()() () Simplificación: Consiste en eliminar los factores comunes del numerador y el denominador, obteniendo una fracción equivalente cuyos términos son primos entre sí. Ejemplo: ()()() ()() 33 () () ()() Operaciones con fracciones algebraicas: Suma y Resta: () () +() ()()()() () ()() Ejemplo: + ()() ()() Multiplicación: () () () ()() () ()() Ejemplo: ()() División: () () :() () ()() ()() Ejemplo: : ()() 13

14 Ejercicios 1. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando los valores de reemplazo que se indican: Expresión algebraica Reemplazar :a ; b 5; c 3; d 1; f 0 5a bc 3d Resultado a 3 f 3 a b c d 3( a b) + ( c d) 3 c b a ( b+ c) 5. Realiza las siguientes operaciones con monomios: 7 1 a) 3x 5x x x a) b) 6x 4x 4 7 b) 3 3 x x 3 c) x x c) d) e) f) 3z y y y a a 5 1 x x x d) 4x 6x e) 5 3 7x 5x 5 7 f) ( 3) x 6x 4 g) 9 7x 3 3 h) ( 11) x ( ) x 4 4 i) ( 5) x ( 6) x 3 5 j) 4x ( 1) x 3 k) ( 6) x 7x l) x x m) x x x x n) Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios: a) ( )(3 5) d) ( + )( ) b) (5 3 4)(7 + 1) c) (5 +5+)( +3 3) e) (+1) (+) f) (+3)( +3 1) 4. Desarrolla la siguiente expresión: 1 3( ) +( 3)(+3) ( ++1) 14

15 5. Realiza las siguientes divisiones por el método general. Repite las dos últimas por el método de Ruffini. a) Dividendo Divisor Cociente Resto b) c) ++4 d) e) Halla el valor numérico del polinomio 4 3 para, 3,0 7. Halla el valor de para que el número sea raíz del polinomio Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 4 9 b) 4 +9 c) 4 34 d) +5 e) + f) g) h) i) Escribe un polinomio cuyas raíces sean: 3,3,,,0 y 1 4 sea 0 y cuyo coeficiente principal. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas, simplificando el resultado si es posible a) b) : c) : d) +