Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría. 1. Por un punto fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta.

Transcripción

1 Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría Debido a que los conceptos de Geometría están siempre presente en Matemáticas, Física e Ingeniería, se hará un repaso de estas materias y se presentará un resumen con los Teoremas elementales, métodos y fórmulas empleadas en la resolución de problemas. Se supondrá conocidas las nociones de punto, recta, circunferencia, ángulo, perpendicular, paralela, perímetro, área, volumen, así como sus propiedades básicas tales como: 1. Por un punto fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta. 2. Por un punto fuera de una recta pasa una única perpendicular a esa recta. 3. Una transversal determina sobre rectas paralelas ángulos alternos internos y ángulos corres-pondientes iguales. 4. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180. Triángulos Es un polígono de tres lados. Según la medida de los lados del triángulo, se presentan tres posibilidades: 1. Triángulo equilátero: Tiene sus tres lados iguales. 2. Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales. 3. Triángulo escaleno: Tiene sus tres lados desiguales. Congruencia: Métodos para demostrar que dos triángulos son congruentes: 1. Tienen los tres lados iguales. 2. Tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido igual. 1

2 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 2 3. Tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido igual. 4. Tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al lado mayor igual. Semejanza: Métodos para demostrar que dos triángulos son semejantes: 1. Tienen dos ángulos iguales. 2. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. 3. Tienen los tres lados proporcionales. 4. Tienen los tres lados paralelos. Concurrencia: 1. Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto, el cual es el centro de la circunferencia inscrita. 2. Las tres simetrales de los lados de un triángulo se cortan en un punto, el cual es el centro de la circunferencia cincunscrita. 3. Las tres alturas en un triángulo se cortan en un punto llamado el ortocentro del triángulo. 4. Las tres transversales de gravedad en un triángulo se cortan en un punto, el cual es el centro de gravedad del triángulo. Perímetro y área: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados y su área es la mitad de la base por la altura. P = a + b + c A = b h 2

3 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 3 Pitágoras: Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al de la hipotenusa: a 2 + b 2 = c 2 Recíproco: Si en un triángulo se cumple la ecuación entonces el triángulo es rectángulo. a 2 + b 2 = c 2, Ternas Pitagóricas: Los números enteros que satisfacen la ecuación del Teorema de Pitágoras son los triples a = m 2 n 2 b = 2mn c = m 2 + n 2, m > n, donde uno de los enteros m, n es par y el otro impar, sin divisores comunes. Todo múltiplo de (a, b, c) satisface por cierto la misma ecuación. Teoremas usuales: 1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos iguales. 2. La recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralela al tercer lado. 3. En un triángulo equilátero de lado a, la altura es igual a 3 2 a y su área es 3 4 a2.

4 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 4 h = 3 2 a A = 3 4 a2 4. Fórmula de Herón: El área A, de un triángulo de lados a, b, c es igual a S(S a)(s b)(s c), donde S denota el semiperímetro S = a + b + c Rectas paralelas determinan, sobre los lados de un ángulo, triángulos semejantes. 6. Si una recta divide a dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, es paralela al tercer lado. 7. La bisectriz interior de ángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adjuntos. 8. La bisectriz exterior de un ángulo determina sobre el lado opuesto segmentos proporcionales a los otros dos lados. 9. La altura de un triángulo rectángulo determina dos triángulos semejantes entre sí y al triángulo completo Desigualdades en un triángulo: 1. A mayor ángulo se opone mayor lado. 2. La suma de dos lados es mayor que el tercero. 3. En un triángulo agudo, el cuadrado de un lado es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

5 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 5 4. En un triángulo obtuso, el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Cuadriláteros Se clasifican entre otros de paralelógramos, rombos, rectángulos, cuadrados, trapezoides. Algunas definiciones al respecto: 1. Un cuadrilátero es un paralelógramo si y sólo si sus pares de lados opuestos son paralelos. 2. Un cuadrilátero es un rombo si y sólo si sus cuatro lados tienen igual longitud. 3. Un cuadrilátero es un rectángulo si y sólo si tiene sus cuatro ángulos rectos. 4. Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. 5. Un cuadrilátero es un trapecio si y sólo si tiene al menos un par de lados paralelos. Paralelógramos: Métodos para demostrar que un cuadrilátero es un paralelógramo: 1. Los lados opuestos son paralelos. 2. Los lados opuestos son iguales. 3. Un par de lados opuestos son iguales y paralelos. 4. Los ángulos opuestos son iguales. 5. Un par de ángulos opuestos son iguales y un par de lados opuestos son paralelos. 6. Un par de ángulos opuestos son iguales y un par de lados opuestos son iguales. 7. Las diagonales se dimidian. Teoremas usuales: 1. Un paralelógramo es un rectángulo si tiene un ángulo recto. 2. Un paralelógramo es un rectángulo si las diagonales son iguales.

6 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 6 3. Un paralelógramo es un rombo si una diagonal es a su vez bisectriz 4. Un paralelógramo es un rombo si las diagonal son perpendiculares. 5. Un paralelógramo es un cuadrado si tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos iguales. Perímetro y área: En un rectángulo de lados a y b, el perímetro es igual a 2a + 2b y su área es a b. P = 2a + 2b = 2(a + b) A = a b Circunferencia Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un punto interior llamado centro. La circunferencia con centro en O y radio r es el conjunto de todos los puntos en el plano con P O = r. Medidas de ángulos: 1. En una circunferencia de radio 1, la medida de un ángulo central en radianes es igual a la medida del arco subtendido por el ángulo.

7 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 7 Angulo AOB = x 2. El área del sector circular determinado por un ángulo de α radianes es α 2 r2. Area sector circular = 1 2 ar2 3. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central y a la mitad del arco subtendido. α = 1 2 x

8 Geometría - Conceptos básicos Elementos de Geometría 8 Perímetro y área: 1. El perímetro de una circunferencia de radio r es igual a 2πr. P = 2πr 2. El área de un círculo de radio r es igual a πr 2. A = πr 2