Examen de Introducción a la Investigación de Operaciones Fecha: 14 de Diciembre de 2010

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Encarnación Salazar Duarte
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1 Emn Introuión l Invstigión Oprions Fh: 4 Diimr 00 INDICACIONES Durión l mn: 4 hrs. Esriir ls hojs un solo lo. Numrr ls hojs. Ponr nomr y éul inti n l ángulo suprior rho hoj. Esriir n l primr hoj l totl hojs ntrgs. Ls prts no lgils l mn s onsirrán no srits. S rquir un mínimo l 60% los puntos pr pror l mn. No s prmit l uso lulor. Justiiqu toos sus ronmintos. N n 0 n N + < n 0 n n < ( ) n 0 n Prgunt 0 Puntos ( 0 4) S l siguint r ponr l orm ( ( ϕ ( u) k( u)) on ϕ(u) l lujo signo y k (u) l pi l ro u rsptivmnt. (8) (0) (0) (44) (8) (8) (00) (8 9) (40) (90) ) Iniqu por qué l lujo signo s un lujo -. ) Iniqu l pi l ort - (PP ) trmino por P {}. ) Dtrmin l lujo máimo mint l lgoritmo For-Fulkrson prtino l signión lujo. ) S s por umntr l lujo máimo n l mnos un uni. Iniqu uáls ros rín umntr su pi y uáls rín sr los nuvos vlors. Soluión: ) Es un lujo - porqu l lujo signo ro s mnor qu su pi y pr noo istinto l unt y l trminl l lujo pril ntrnt s igul l lujo pril slint. A su v tmpoo hy lujo ntrnt l noo unt ni lujo slint l noo trminl. ) L pi l ort - o por P {} s igul l sum ls pis los ros hi l trior l onjunto P s ir ls pis los ros () () () () y () o s

2 ) Prtimos l lujo signo y plimos l lgoritmo For-Fulkrson. (+5) (8) (+8) (0) (- ) (0) (44) (8) (8) (00) (+) (8 9) (+) (40) (+5) (90) Dtrminmos l n umnto -- on +8. L r tuli s l siguint: (+5) (8) (+7) (90) (- ) (00) (44) (8) (8) (00) (+) (8 9) (+) (40) (+5) (90) Dtrminmos l n umnto --- on +. L r tuli s l siguint: (5) (+4) (8) (+6) (00) (- ) (00) (44) (8 9) (+) (+5) (8) (8) (40) (+5) (00) (90) Dtrminmos l n umnto ---- on +5. L r tuli s l siguint: (+5)

3 (65) (+9) (8) (+6) (00) (- ) (00) (44) (88) (8) (50) (+) (8 9) (+) (40) (+) (55) (90) Dtrminmos l n umnto --- on +. L r tuli s l siguint: (65) (+9) (8) (+6) (00) (- ) (00) (44) (88) (8) (50) (+) (9 9) (+) (50) (+) (55) (00) No hy vértis mros qu no hyn sio minos por lo tnto l lgoritmo trmin. S h trmino un lujo máimo vlor 5 y un ort - mínimo P {} on k(pp C ) 5. ) S umntr l mnos n un uni l pi qullos ros prtnints un ort - mínimo y qu son los qu limitn l nti lujo qu s pu nvir l noo unt l noo trminl. Sgún l prt ntrior s umntr n l mnos un uni l pi lguno los siguints ros: () 0 ó () 5 6 ó () 0.

4 Prgunt 5 Puntos Pr prouir os tipos iruitos imprsos A y B un proutor unt on un invntrio 00 rsistnis 0 trnsistors y 50 pitors. C iruito tipo A rquir 0 rsistnis 0 trnsistors y 0 pitors. C iruito tipo B rquir 0 rsistnis 0 trnsistors y 0 pitors. L gnni por l vnt un iruito tipo A s 50 ólrs y por l vnt uno tipo B ólrs. Formulr un molo Progrmión Linl qu prmit mimir l gnni. Soluión: A nti iruitos imprsos Tipo A prouir. B nti iruitos imprsos Tipo B prouir. M 5 A + B s 0 A + 0 B 00 0 A + 0 B 0 0 A + 0 B 50 A B 0

5 Prgunt 5 Puntos Usr l Métoo Simpl pr trminr un soluión óptim pr l siguint prolm Progrmión Linl: min s Soluión: Agrgno vrils holgur llvmos l prolm l orm stánr: min s Do qu no hy un soluión ási til iniil qu s vint grgmos un vril rtiiil y rsolvmos l siguint prolm Fs I: min y s y y 0 Comnmos ntons rmno l tlu pr l Fs I. 4 y Eliminno ls vrils ásis l unión ojtivo nos qu: 4 y L l rslt on ono osuro mr l pivot. L vril ntr l s mintrs qu y sl.

6 4 y Como no hy ostos ruios ngtivos s lnó l in l Fs I y s h trmino un soluión ási til iniil pr l prolm originl. El tlu iniil pr Fs II s ntons: L vril ntr l s y l qu sl s 4. El nuvo tlu s l siguint: 4 0 -/ -/ / 0 -/ ½ 9/ No hy ostos ruios ngtivos inlió l Fs II y l soluión óptim l prolm originl s: 9/ y / on vlor óptimo 9.

7 Prgunt 4 5 Puntos (5 5 5) Consir un sistm ils spr M/M/ on srvior tin ts lints por minuto y l ts rrios s rrios por minuto. ) Pror qu l sistm s stl y trminr ls proilis los stos. ) Clulr l tmño mio l il. ) Pru qu l proili qu l llgr un lint nuntr l sistm vío s igul l proili qu nuntr tmnt un srvior oupo. Soluión: El igrm l sistm s l siguint: 0 ) Utilimos ls oniions quilirio: Lugo rorno qu los p n son un istriuión proili: Por lo tnto l sistm s stl. ) El tmño mio l il s pu lulr omo

8 ) Por l propi PASTA l proili qu un lint nuntr l sistm vío s igul l proili qu l sistm sté vío; y ést último s igul. Por otr prt l proili qu hy tmnt un srvior oupo s igul. Por lo tnto ms proilis son iguls.

9 Prgunt 5 5 Puntos (5 5 5) D un CMTDH X on spio stos E { } y l siguint mtri proilis trnsiión (sino α un prámtro rl n l intrvlo [0]): P 0 ½ ½ ½ ½ 0 0 α α 0 0 ) Disutir sgún α l lsiiión stos l n sgún rurrni y prioii. ) Clulr p () y p () n unión α.. ) Clulr l istriuión limit l n pr α si ist. Si no ist justiiqu umnt. Soluión: ) L n tin l siguint gro soio: / / / / α α S pu osrvr qu istn os omponnts urtmnt ons (CFC) n l spio stos qu son {} y {} inpnintmnt l vlor qu tom α. Como l rurrni y l prioii son propis ls los stos un mism CFC s lsiin l mism mnr. A su v los {} s pun onsirr omo un CMTDH inpnint y n un CTMDH hy l mnos un sto rurrnt. Por lo tnto pomos onluir qu los stos y son toos rurrnts y son prióios y qu hy ilos lrgo y. El sto s trnsitorio y qu to v qu l proso s nuntr n l sto ist un proili no nul nun rtornr y por lo tnto prióio. ) El únio mino posil pr ir l sto l sto n tmnt psos s --- qu tin proili ( α).(/). Por lo tnto p () ( α)/. Pr ir l sto l sto n tmnt psos mos onsirr los minos -- y -. Por lo tnto p () α( α)/. ) Pr α s quivlnt nlir l istriuión límit l n trmin por los stos {} y qu l sto s trnsitorio. Como l n trmin por {} s

10 rgói (irrutil por sr un úni CFC y los stos son prióios y rurrnts positivos por sr un n init) smos qu simpr ist l istriuión límit y qu oini on l istriuión stionri. Psmos ntons trminr l istriuión stionri l n trmin por {} mint l siguint sistm uions: P qu oprno nos qu: L soluión l sistm s l vtor istriuión stionri ) ( ) ( qu omo ijimos nts oini on l istriuión límit.

11 Prgunt 6 0 Puntos (0 0) ) Enunir y mostrr l Torm Funmntl l Rljión Lgrng. ) Enunir y mostrr ls uions Chpmn-Kolmogorov. Soluión: ) Vr Torm 4 l Sión.5.. ) Vr Sión 7.. l mtril tório.

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