TEMA 8 : APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

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1 TEMA 8 : APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 1. MONOTONÍA Una función es creciente en un punto 0 cuando para puntos próimos a 0 se cumple que al aumentar también aumenta f() y al disminuir también disminuye f(). f es creciente en 0 si < f ()() f si > f ()() f Una función es decreciente en un punto 0 cuando para puntos próimos a 0 se cumple que al aumentar disminuye f() y al disminuir aumenta f(). f es decreciente en 0 si < f ()() f si > f ()() f Analizando la definición de derivada en un punto observamos que se cumple: Si f (a) > 0 f() es creciente en a. Si f (b) < 0 f() es decreciente en b. Luego la monotonía de una función depende del signo de su derivada. 1º) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las funciones en los puntos de abscisa indicados: a) f () 1 1 en 0 1 b) f () EXTREMOS RELATIVOS Diremos que f() tiene un máimo relativo en a si eiste un entorno de a en el que se cumple que: f ()() a f Diremos que f() tiene un mínimo relativo en a si eiste un entorno de a en el que se cumple que: f ()() a f En los máimos o mínimos relativos la tangente (si eiste) es horizontal y por tanto su derivada en ellos será cero. Si f() tiene un etremo relativo en a y eiste f () a f (a) 0 1/6 IBR-IES LA NÍA

2 º) Estudia los intervalos de monotonía y los etremos relativos de las funciones. a) f () b) c) d) e) f () f () + 1 f () f () º) Se calcula que entre las 000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f() -1+ donde f() indica los litros consumidos en una hora y viene epresada en miles de revoluciones por minuto. Averigua los tramos en que a mayor nº de revoluciones por minuto corresponde más consumo de gasolina. Halla las revoluciones con las que el consumo del motor es máimo y con las que es mínimo y dichos consumos. (Sep-0) 4º) Al vender un producto a un precio entre 40 y 65 el beneficio es y Obtén razonadamente el precio que maimiza el beneficio. Qué ocurre si el precio está entre 55 y 70? 5º) Se considera la siguiente función < 1 a) Estudia su continuidad y derivabilidad. f ( ) b) Representa gráficamente la función y a la vista su + 1 gráfica determina sus máimos y mínimos relativos así + 8 > como el crecimiento y decrecimiento. 6º) Sea la función < f () < 1 1 7º) Dada la función:. f ( ) a < a) Halla el valor de a para que f sea continua en todos los números reales. (a) 4 8 > b) Representa la función f y estudia su derivabilidad. [Pico en -] 8º) La calificación f() obtenida por un estudiante en cierto eamen depende de las horas de preparación a través de la función: a) Estudia el conjunto de valores positivos de para los que f() es creciente. Tiene sentido afirmar que a más tiempo de preparación corresponde más calificación? b) Hay algún punto en que estudiar un poco más puede ser muy rentable? Estudia su continuidad y derivabilidad. Estudia el crecimiento e investiga si hay asíntotas c) Se puede obtener la calificación 10? Justifica la respuesta. 9º) Dada la función: a) Halla el valor de a para que la función y f() sea continua en el intervalo [08]. b) Halla los máimos y mínimos absolutos de y f() en el intervalo [04]. Justifica que los puntos f ( encontrados son máimos y mínimos absolutos. c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y0 0 y la gráfica de yf(). f ( ) 5 0' + ) + + a a < 0 < 4 4 < 8 /6 IBR-IES LA NÍA

3 . SEGUNDA DERIVADA. CONCAVIDAD E INFLEXIÓN. Una función es cóncava hacia arriba en un punto o si en las proimidades de o la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en o. Una función es cóncava hacia abajo en un punto o si en las proimidades de o la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en o. Una función tiene un punto de infleión en o si en las proimidades de o la gráfica de la función cambia de posición respecto de la recta tangente en o. (la tangente atraviesa a la gráfica de la función). En los puntos de infleión la gráfica de la función pasa de ser cóncava a convea o al revés. El estudio de la concavidad se realiza con la segunda derivada: Si f (a) > 0 f() es cóncava hacia arriba en a Si f (b) < 0 f() es cóncava hacia abajo en b Si f() tiene un punto de infleión en c f (c)0 Criterio de la º derivada para la Clasificación de Etremos Relativos: Si f (a)0 y f (a)>0 f() tiene un mínimo relativo en a. (ya que es ) Si f (b)0 y f (b)<0 f() tiene un máimo relativo en b. (ya que es ) 10º) Determina los etremos relativos la concavidad y los puntos de infleión de las funciones: a) f () b) f () 4 c) f () + d) f () º) El beneficio diario obtenido por una empresa en función del nº de unidades producidas 1 viene dado por la función f ( ) Dibuja la gráfica de dicha función para 0 8 deduciendo para qué valores se obtienen los beneficios máimos y mínimos. /6 IBR-IES LA NÍA

4 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Realizaremos un estudio que comprenda los siguientes puntos: 1) Dominio ) Continuidad ) Asíntotas. Además de las asíntotas verticales y horizontales que ya conocemos calcularemos un tercer tipo de asíntotas: asíntotas oblicuas. Verticales: a siempre que lim() f a Horizontales: yb siendo b lim() f Oblicuas: ym+n siendo 4) Puntos de corte con los ejes 5) Monotonía 6) Etremos relativos f () m lim y n lim(()) f m 7) Concavidad Puntos de infleión. (Este último punto no será necesario si ya sabemos dibujar la gráfica de la función) 1º) Representación gráfica de las siguientes funciones: 1) + 1 f ( ) 1 ) f ( ) 1+ ) 1 f ( ) 1+ 4) f ( ) + 5) f ( ) ) f ( ) 7) 8) + f ( ) 1 f ( ) 9) f ( ) 1 8 1º) La función f() + a +b + c pasa por el punto (-10) y tiene un máimo en el punto (04). Halla los coeficientes de f() su mínimo y su punto de infleión. [f() - +4 I(1)] 14º) Calcula a y b para que la función f() +a +b+1 tenga un mínimo en el punto ( -15). [a0 b-1] 15º) Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del 100 tiempo que se esté jugando a través de la epresión: G() donde representa el tiempo de juego epresado en minutos. Se pide: a) Cuánto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia obtenida? Justifica la respuesta. b) Determina el tiempo de juego que proporciona la mayor ganancia.[0 min] c) Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo el juego dé pérdidas? Por qué? 4/6 IBR-IES LA NÍA

5 16º) El índice de inflación de cierto país fue variando durante el año 007 según la epresión: i() t t 8t 15 + donde t es el tiempo en meses desde principios del año. Se pide: 0 a. Durante qué meses el índice de inflación fue creciendo? b. A partir de qué mes se supera la inflación inicial del mes de enero? c. Si el gobierno tiene previsto devaluar la moneda cuando el índice de inflación alcance 165 en qué mes tomará la decisión? 17º) La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros y de una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de eistencia de la misma: f () + 7 a) A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas? b) En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máimas? A cuánto ascienden éstas? c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo? (Sep-08) 18º) Nos dicen que la función f(t)t- es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país cuando 0 t 5. Determina el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo. 19º) Los beneficios anuales B() en miles de euros previstos por una empresa para los próimos años vienen dados por la siguiente función donde representa el número de años a partir del actual: 5 B( ) + 16 a) En algún momento se alcanzará un beneficio de 500? [Si y 8 años] b) Puede esta empresa tener pérdidas algún año? Por qué? (Jun06) [No porque B() 0 ] c) Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máimo beneficio? Justifica que es máimo. [4 años beneficio de 15 ] 0º) Se sabe que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida 15000t vendrá dado durante los próimos años por la función: n ( t) siendo t el número t + de años transcurridos. Se pide: a) El tamaño actual de la población b) Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años 4 y 9?. Cuántos años deben pasar hasta que haya 7.50 individuos? c) Si esta función fuese válida indefinidamente se estabilizaría el tamaño de la población? d) Razona si el número de individuos está aumentando o disminuyendo y hasta dónde podría llegar. 5. OPTIMIZACIÓN: Un problema de optimización es aquel en el que es necesario determinar el valor que hace que una función de la que no tenemos su epresión analítica sea máima o mínima sometida a ciertas condiciones. Debemos determinar: 1. Las variables que intervienen normalmente una o dos (es más frecuente que sean dos).. La epresión analítica de la función que se desea optimizar (obtener el máimo o el mínimo).. Mediante los datos del problema obtener alguna condición (ecuación) que permita epresar la función utilizando una sola variable. Esto sólo es necesario cuando interviene más de una variable. 4. Obtener el máimo o el mínimo de dicha función. 5/6 IBR-IES LA NÍA

6 1º) Descompón 18 como suma de dos números positivos de manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. º) Disponemos de 400 m de tela metálica para cercar un rectángulo de terreno. Cuánto deben medir los lados del rectángulo para que el área encerrada en la cerca sea la máima posible? º) Entre todos los rectángulos de perímetro 1 cm cuál tiene la diagonal menor? Cuánto mide ésta? [cm cm d cm] 4º) Recortando un cuadradito de cada esquina de unos cartones rectangulares de dimensiones 6 y 8 cm se pueden construir cajas sin tapa. Qué medida deben tener estos cuadraditos para que el volumen de las cajas sea máimo? [1'1cm] 5º) Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya eistente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máima. [50/500] 6º) Calcula la longitud que deben tener los lados de un terreno rectangular de 400 m de área si queremos que el gasto en la cerca sea el mínimo posible. [100100] 7º) Una página rectangular ha de contener 00 cm de letra impresa. Los márgenes superior e inferior de la página son de 5 cm y los laterales tienen cm. Cuáles han de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel empleada sea mínima? [19 5 y 4 84] 8º) Disponemos de.880 para vallar un campo rectangular uno de cuyos lados da al camino. La valla de ese lado cuesta 8 el metro y la de los otros lados 1 el metro. Cuál es el área máima que podremos vallar con ese dinero? 9º) El coste de un marco para una ventana rectangular es de 14 por cada metro de alto y 10 por metro de ancho. Si queremos que la ventana tenga m de superficie cuáles deben ser las dimensiones del marco para que resulte lo más económico posible? 0º) Nos disponemos a cercar un terreno rectangular. Al vallar el terreno lo vamos a dividir en tres parcelas rectangulares iguales mediante dos vallas divisorias paralelas a los lados más pequeños del rectángulo. Si tenemos 8000 m de valla qué dimensiones del terreno maimizan el área vallada? 1º) Un agricultor tiene la cosecha sin recolectar. Actualmente hay kg de patatas y se las pagan a 10 céntimos el kilo. Cada semana la cosecha aumenta en 500 kg más pero el precio baja medio céntimo el kilo. Cuándo debe recolectar la cosecha para que su ganancia sea máima? Cuánto ganará? [4 semanas] º) En unos almacenes se tienen.000 kg de alimentos perecederos que se pueden vender a el kg pero si se venden más tarde el precio aumenta en 0 1 el kg cada día. Calcula cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máimos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 kg de ellos. Cuáles son estos ingresos máimos? Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justifica que es máimo. (Sep05) [615 ; 1750kg; 50 /kg] 6/6 IBR-IES LA NÍA