Límites y continuidad

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Gabriel Ricardo Quintana Río
hace 6 años
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1 Límites elementales Límites y continuidad Límites elementales Ejercicio. a) 7+4 b) c) d) Solución. a) 7+4 = 7 b) = 0 c) d) = + Ejercicio 2. a) 4 ( 4) ( 4), b) , c), d), Calcular los siguientes límites = 2 ( 2)(+2) 2 = = 4 Calcular los siguientes límites. Solución 2. ( a) 4 ( ) 4) 4 = 6. b) = 0. c) = +. d) No eiste ya que los límites laterales no coinciden. Más concretamente, + = = + +, que, dependiendo de por dónde nos acerquemos a tiende a 2 o 2. Ejercicio 3. Calcular los siguientes límites

2 Límites elementales a) 0 + b) 0 + c) d) + + Solución 3. a) Multiplicamos y dividimos por el conjugado, 0 + = = 0 2 ( + + ) =. b) Multiplicamos por los conjugados de numerador y denominador, = = c) No hay ninguna indeterminación: = d) Multiplicamos y dividimos por el conjugado, + = = + + = = 2. Ejercicio 4. Calcular los siguientes límites a) b) 2 c) d) / e) 0 e / + Solución 4. a) Estudiamos los límites laterales = = 0 b) Calculamos los límites por la derecha y por la izquierda. ( + ) = =, ( + ) = 0 + =. 2 + = ( )( + ) = + + = 2, + 2 = ( )( + ) = ( + ) = 2. + c) El límite por la izquierda vale y el límite por la derecha +. 2

3 d) 0 + e) / 2 2 / = 2. = 0 y 0 e / + = 0 y 0 e / + =. 2 Límites y continuidad Ejercicio 5. a) b) Sean f, g : R R las funciones definidas por, si 0 +e f () = / 0, si = 0 g() = e, si < 0, si 0 < 5, si Estudiar la continuidad de f y g y la eistencia de límites de f y g en + y. Solución 5. a) En primer lugar estudiemos la continuidad de, si 0 f () = + e/ 0, si = 0 El carácter local de la continuidad nos da que f es continua en R. Veamos qué ocurre en el origen. Para ello estudiamos los límites laterales en 0: = 0, y = e/ 0 + e/ Por tanto f no es continua en el origen. Por último + e / = 2, y + + e / = 2. b) La función g() = e, si < 0, si 0 < 5, si es continua en R \ {0, } por el carácter local. Veamos los límites laterales en 0 y : e 0 = y, por tanto, g no puede ser continua en 0. Como = = + 5 = = g(), 3

4 g es continua en. Por último, los límites en infinito valen e f () = = 0, y f () = = +. Ejercicio 6. Sea f : R + R la función definida por f () = log(), para todo R + \ {e}. Estudiar el comportamiento de f en 0, e, +. Solución 6. a) Veamos en primer lugar el comportamiento en 0: 0 log() = = 0 log() = 0, por tanto tenemos una indeterminación del tipo 0 0. Tomemos logaritmos para resolverla: ( log 0 log() b) En e vamos a estudiar los límites laterales: ) log() = = = 0 log() log() = e = e. 0 log() = e = 0, y log() e e + = e + = +. c) Por último, en + de nuevo tomamos logaritmos para resolver la indeterminación: ( ) log log() log() = + + log() = = log() = e = e. + Ejercicio 7. Sea f : ] [ ( 0, π 2 R la función definida por f () = sen(). tan()) Probar que f tiene límite en los puntos 0 y π 2 y calcular dichos límites. Solución 7. En primer lugar, veamos el límite en 0: ( ) sen() ( ) sen() cos() cos() sen() = = 0 tan() 0 sen() 0 sen() sen() = =, ya que 0 sen() sen() =, usando que 0 + =. En π 2, ( ) sen() cos() sen() = π 2 tan() π 2 sen() sen() = 0 = 0. Ejercicio 8. Sea f : ] 0, π 2[ R la función definida por f () = ( + sen()) cotan(). Estudiar la continuidad de f y su comportamiento en 0 y π/2. Solución 8. La función f es continua en ]0, π 2 [ ya que + sen() es una función continua y positiva en dicho intervalo y, cotan() también es una función continua en este intervalo. Veamos el comportamiento en π 2 : π ( + sen())cotan() = 2 0 =. 2 En 0, 0 ( + sen()) cotan() = con lo que aplicamos la regla del número e para resolverlo: 0 cotan()( + sen() ) = cos() = = ( sen())cotan() = e. 4

5 Ejercicio 9. Estudiar el comportamiento en cero de las funciones f, g : R R definidas por ( ) ( ) 7 5 f () = arctan arctan, g() = f (). Solución 9. Comencemos con la función f. Dado que = + y =, se tiene que 0 + f () = π 2 ( π 2) = π y, análogamente, 0 f () = π 2 π 2 = π. La función f está acotada (es suma de dos funciones acotadas) y, por tanto, 0 g() = 0, por ser producto de algo que tiende a cero y algo acotado. Ejercicio 0. Probar que eiste un número real positivo tal que log() + = 0. Solución 0. Consideremos la función f : R + R definida como f () = log() +. La función f es continua y esta definida en un intervalo. Además f () = + y f () =. + 0 Por tanto f cambia de signo y tiene que anularse en R +. Ejercicio. Probar que la ecuación + e + arctan() = 0 tiene una sola raíz real. Da un intervalo de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz. Solución. Consideremos f () = + e + arctan(), R. f es una función continua definida en un intervalo, además f ( ) < 0 < f (0) y por tanto f se anula en el intervalo ], 0[. Para comprobar que sólo se anula en un punto basta observar que f es una función estrictamente creciente, en particular inyectiva, por ser suma de tres funciones estrictamente crecientes. Ejercicio 2. Determinar la imagen de la función f : R R definida por f () = arctan(log ). Solución 2. Como la función es par, f () = f ( ), se tiene que f (R ) = f (R + ). En este caso, f es la composición de la función arcotangente y la función logaritmo neperiano. Dado que ambas son estrictamente crecientes, su composición también lo es. Por tanto ] [ ] f (R ) = f (R + ) = f (), f () = π 0 + 2, π [. 2 Ejercicio 3. Sea f : [0, ] [0, ] una función continua en [0, ]. Pruébese que f tiene un punto fijo: [0, ] : f () =. Solución 3. Consideremos la función g : [0, ] R definida como g() = f (). La función g es continua por ser diferencia de funciones continuas, además g(0) = f (0) 0 y g() = f () 0. Si se da la igualdad en 0 o en ya hemos encontrado un punto fijo, en caso contrario la función g cambia de signo y el Teorema de los ceros de Bolzano nos asegura la eistencia de un cero de g o, lo que es mismo, un punto fijo de f. Ejercicio 4. Un escalador comienza, desde su campamento base, a subir a una montaña el sábado a las 7 horas, alcanzando la cima a las 8 de la tarde. A las 7 horas del domingo inicia el descenso hacia el campamento base tardando el mismo tiempo que le costó la subida. Demostrar que eiste una determinada hora, a lo largo del domingo, en la que el escalador se encuentra eactamente a la misma altura que a esa misma hora del sábado. 5

6 Solución 4. Sea f : [7, 20] [0, h] la función que indica la altura del escalador en la subida y g : [7, 20] [0, h] la que indica la altura bajando, donde h es la altura de la montaña. Por tanto f (7) = g(20) = 0 y f (20) = g(7) = h. La ecuación que queremos resolver es f () = g() o lo que es lo mismo buscamos un cero de la función h() = f () g(). Dado que h es continua, está definida en un intervalo y h(7) = h < 0 < h(20) = h, el Teorema de los ceros de Bolzano nos asegura la eistencia de un punto donde se anula h. 6

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