1. Conocimientos previos. 2. Sucesión Progresiones aritméticas. 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1

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1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. Límites.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Repasar las operaciones básicas con expresiones algebraicas. Repasar la factorización de polinomios y Ruffini. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente. 2. Sucesión. Definición: Una sucesión de números reales es un aplicación del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales: s : N R de manera que a cada número natural le corresponde un número real. Los valores asociados a los números naturales se designan por s(n) o s n. Se puede usar cualquier letra para representar una sucesión c n, g n, serían ejemplos de sucesiones. Así por ejemplo: s : N R n s(n) = s n s() = s 2 s(2) = s 2 3 s(3) = s 3 En algunas ocasiones es posible expresar el término n-ésimo (término que ocupa el lugar número n) en función de n. A esta expresión se la denomina término general de la sucesión. Ejemplo: Si s n = n 2 + es el término general de una sucesión, sus elementos serán: s : N R n s(n) = n 2 + s() = 2 + = 2 2 s(2) = = 5 3 s(3) = = 9 En los dos siguientes apartados se estudiarán dos ejemplos de sucesiones muy usadas. 2.. Progresiones aritméticas. Una progresión aritmética es una sucesión cuyo término general es de la forma: a n = a + (n ) d

2 3 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN. 2 Básicamente lo que se hace es sumar un valor constante d a cada término de la sucesión para obtener el siguiente. A d se le denomina diferencia. Ejemplo: Sea la sucesión s n = 2 + (n ) 2. Sus elementos serán: s : N R n s(n) = 2 + (n ) 2 s() = 2 + ( ) 2 = 2 2 s(2) = 2 + (2 ) 2 = 4 3 s(3) = 2 + (3 ) 2 = 6 Se puede apreciar que cada término de la sucesión se obtiene sumando 2 al anterior Progresiones geométricas. Una progresión geométrica es una sucesión cuyo término general es de la forma: a n = a r n Básicamente lo que se hace es multiplicar un valor constante r a cada término de la sucesión para obtener el siguiente. A r se le denomina razón. Ejemplo: Sea la sucesión s n = 3 2 n. Sus elementos serán: s : N R n s(n) = 3 2 n s() = 3 2 = 3 2 s(2) = = 6 3 s(3) = = 2 Se puede apreciar que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando 2 al anterior. 3. Idea intuitiva de ite de una sucesión. Sea, por ejemplo, la sucesión s n = n. Se pueden estudiar sus elementos: s : N R n s(n) = n s() = = 2 s(2) = 2 = 0,5 3 s(3) = 3 = 0,333 0 s(0) = 0 = 0, 00 s(00) = 00 = 0,0 000 s(000) = 000 = 0,00 Se puede apreciar que cuanto mayor en n, s n es cada vez más bajo, más cercano a 0. Su evolución se puede ver en la figura.

3 3 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Figura : Gráfica de la sucesión s n = n. Otro ejemplo se puede ver con la sucesión a n = 3n+ n+3 : a : N R n a(n) = 3n+ n+3 a() = = 0 a(0) = = 2, a(00) = = 2, a(000) = = 2, a(0000) = = 2,9992 En este caso se puede apreciar como poco a poco cuanto mayor se n, más se acerca el valor de la función a 3. Su evolución se puede ver en la figura 2. En los ejemplos anteriores los valores de las sucesiones se van acercando a un valor al que, sin embargo, no terminan de llegar nunca. El valor al que se van acercando los valores de la sucesión se le llama ite de la sucesión. Definición: Si el ite de una sucesión de término general s n es L, se escribe: s n = L n Una sucesión, s n, tiende a L cuando n tiende a infinito, cuando la diferencia entre s n y L es cada vez menor. Es decir, cuando n, s n L 0.

4 4 LÍMITES DE FUNCIONES Figura 2: Gráfica de la sucesión a n = 3n+ n Límites de funciones. Teniendo en cuenta que las sucesiones son un caso particular de las funciones, se puede extender el concepto de ite al caso de las funciones. En este caso el ite de la función puede tender a otros valores, no sólo a. Ejemplo: Se va a estudiar el ite de la función f(x) = x2 x, cuando x : x f(x) = x2 x 0,4 f(0,4) = 0,42 0,4 =,4 0,5 f(0,5) = 0,52 0,5 =,5 0,6 f(0,6) = 0,62 0,6 =,6 0,7 f(0,7) = 0,72 0,7 =,7 0,8 f(0,8) = 0,82 0,8 =,8 0,9 f(0,9) = 0,92 0,9 =,9 f() = 2 = 0 0!!, f(,) =,2, = 2,,2 f(,2) =,22,2 = 2,2,3 f(,3) =,32,3 = 2,3 El valor de f() no se puede calcular, pues vale 0 0 que es una indeterminación. Pero por los valores de la función se puede apreciar que: x 2 f(x) = x x x = 2 Esto se puede ver mejor en la figura 3. En la figura 3 también se puede apreciar que el f(x) = + y f(x) =. x

5 4 LÍMITES DE FUNCIONES Figura 3: Gráfica de la función f(x) = x2 x. En los apartados siguientes se van a estudiar métodos para calcular ites de funciones sin necesidad de usar una tabla de valores. 4.. Propiedades de los ites. Las propiedades de los ites son las siguientes: El ite de una suma es la suma de los ites: El ite de un producto es el producto de los ites: f(x) + g(x) = f(x) + g(x) f(x) g(x) = El ite de un cociente es el cociente de los ites: El ite de una potencia es la potencia de los ites: ( f(x) ) f(x) f(x) g(x) = g(x) ( ) g(x) f(x)g(x) = f(x) g(x) En los casos anteriores p puede ser un número, + o. Las expresiones anteriores son válidas a no ser que se obtenga una indeterminación. En los siguientes apartados se verán las operaciones con indeterminaciones.

6 5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un punto. Se va a estudiar el caso del cálculo de ites en los cuales p es un número real: f(x) En principio sólo habrá que sustituir el valor de p en f(x). Por lo tanto: Por ejemplo: f(x) = f(p) x 2 x2 + 2x + = ( 2) ( 2) + = = Salvo en el caso de que se obtengan indeterminaciones. En este caso, según la indeterminación que se haya obtenido, habrá que aplicar una determinada regla. 5.. Indeterminación 0 0. Conviene simplificar el numerador y denominador dividiéndolos entre el factor x p que haya causado la indeterminación. Es decir, hay que factorizar cada uno de los polinomios que forman el ite (usando Ruffini) y simplificar: x 2 x 2 4 x 3 + 2x 2 + 5x + 0 = 0 0 = (x + 2)(x 2) (x + 2)(x 2 + 5) = En el caso de que existan raíces, sería conveniente multiplicar por el conjugado: (x 2) (x 2 + 5) = 4 9 x 2 x x 2 = 0 0 = ( x + 2 2)( x ) x 2 (x 2)( x 2 = x ) x 2 (x 2)( x ) = = x 2 x Indeterminación. Se realizará la operación, suma o diferencia, con lo que, probablemente se transformará en otro del tipo 0 0 : ) ( + 6x2 + 3x 3 x 3 8x 2 ) x 2 = = + 6x2 + 3x 3 = 2x 3 x 3 x 3 (x 3)(x + ) ( (x 3 8x 2 )(x + ) + 6x 2 ) ( + 3x 3 x 4 7x 3 + 8x 2 ) + 3x 3 = = (x 3)(x + ) x 3 (x 3)(x + ) ( x 3 4x 2 ) 4x + = = 5 x 3 x + ( x 3 8x 2 x 3 x 3 = x Indeterminación. Hay que recordar la regla: Por ejemplo: f(x)g(x) = e (f(x) )g(x) (x + ) 3 x = = e x3 x 0 x = e 3 x 0

7 6 LÍMITES LATERALES Límites laterales. Sea el caso de la función f(x) = x. La gráfica de esta función se puede ver el la figura Figura 4: Gráfica de la función f(x) = x. Se puede apreciar que en el 0, el ite por la izquierda del 0 tiende a. El ite por la derecha del 0 tiende a. Esto se indicará poniendo un + o un - en el punto en el que se calcula el ite según sea por la izquierda o la derecha: Límite por la izquierda f(x) = x 0 Límite por la derecha x 0 + Numéricamente esto se puede ver haciendo una tabla de valores que se vayan aproximando cada vez más al punto en el que se desea calcular el ite. Por ejemplo, en el caso que nos ocupa el ite por la izquierda vendría dado por: x f(x) = x De lo que se deduce que f(x) = x 0 El ite por la derecha sería: f( ) = = 0, f( 0,) = 0, = 0 0,0 f( 0,0) = 0,0 = 00 0,00 f( 0,00) = 0,00 = 000 x f(x) = x f() = = 0, f(0,) = 0, = 0 0,0 f(0,0) = 0,0 = 00 0,00 f(0,00) = 0,00 = 000

8 6 LÍMITES LATERALES. 8 De lo que se deduce que x 0 + f(x) = En general, si al resolver un ite se obtiene un número dividido entre 0, el valor del ite será + o. Habrá que estudiar los ites laterales para ver el valor del ite. Los ites por la izquierda y por la derecha deben coincidir para que el ite exista. Es decir: Propiedad: El ite f(x) existe f(x) = f(x) = f(x) + Ejemplo: Se va a calcular el ite: Operando se obtiene: x x (x 2 ) (x 2 ) = 2 = 0 Como se ha obtenido 0 hay que estudiar los ites laterales: Límite por la izquierda: Por lo que se llega a la conclusión Límite por la derecha: x f(x) = (x 2 ) 0,9 f(0,9) = (0,9 2 ) = 5, ,99 f(0,99) = (0,99 2 ) = 50, ,999 f(0,999) = (0,999 2 ) = 500, ,9999 f(0,9999) = (0, ) = 5000, x (x 2 ) = x f(x) = (x 2 ), f(,) = (, 2 ) = 4, ,0 f(,0) = (,0 2 ) = 49, ,00 f(,00) = (,00 2 ) = 499, ,000 f(,000) = (,000 2 ) = 4999, Por lo que se llega a la conclusión x + (x 2 ) = + Se tiene que x (x 2 = ) x + (x 2 = + por lo que el ) x (x 2 no existe. )

9 7 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN + O. 9 Ejemplo: Se calcula el ite: Operando se obtiene: x 2 x 2 (x 2) 2 (x 2) 2 = (2 2) 2 = 0 Como se ha obtenido 0 hay que estudiar los ites laterales: Límite por la izquierda: Por lo que se llega a la conclusión Límite por la derecha: x f(x) = (x 2) 2,9 f(,9) = (,9 2) 2 = 99, ,99 f(,99) = (,99 2) 2 = 9999, ,999 f(,999) = (,999 2) 2 = , ,9999 f(,9999) = (,9999 2) 2 = , x 2 (x 2) 2 = x f(x) = (x 2) 2 2, f(2,) = (2, 2) 2 = 99, ,0 f(2,0) = (2,0 2) 2 = 0000, ,00 f(2,00) = (2,00 2) 2 = , ,000 f(2,000) = (2,000 2) 2 = , Por lo que se llega a la conclusión x 2 + (x 2) 2 = En este caso los ites laterales son iguales, x 2 (x 2) 2 = =. Por lo que: x 2 + (x 2) 2 x 2 (x 2) 2 = x 2 (x 2) 2 = x 2 + (x 2) 2 = 7. Límite de una función en + o. Antes de empezar, se estudiarán los ites de la función f(x) = x. Se empieza con el ite para x : x f(x) = x f() = = 0 f(0) = 0 = 0, 00 f(00) = 00 = 0,0 000 f(000) = 000 = 0,00

10 7 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN + O. 0 Este ite se puede ver que: x = 0 De forma similar se puede estudiar el ite cuando x : x f(x) = x f( ) = = 0 f( 0) = 0 = 0, 00 f( 00) = 00 = 0,0 000 f( 000) = 000 = 0,00 Este ite se puede ver que: x x = 0 Nota: En general se puede decir que para cualquier número n: Cualquier número divido por ± vale 0. n x = n = 0 x n x = n = 0 Otra propiedad interesante es el ite de f(x) = x, cuando x : Este ite se puede ver que: x f(x) = x f() = 0 f(0) = 0 00 f(00) = f(000) = 000 x = De forma similar se calcula el ite de f(x) = x, cuando x : x f(x) = x f( ) = 0 f( 0) = 0 00 f( 00) = f( 000) = 000 Este ite se puede ver que: x = x

11 7 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN + O. Y qué sucede si un ite que tiene a ± se eleva a una potencia? No es difícil comprobar que xn =. Y que x xn =, si n es par y x xn = si n es impar. Nota: n = { ( ) n + si n par = si n impar Otro caso es el de la suma de infinitos. Es fácil demostrar que la suma de infinitos es infinito. Nota: + = Otro ite interesante es el ite de una función constante. Si f(x) = 3, se puede ver sin gran esfuerzo que 3 = 3 ó que 3 = 3. x Por lo tanto: Nota: Si n es un número real R, el ite cuando x p, donde p puede ser un número real, + o valdrá: El ite de un número será el propio número. n = n Por último una propiedad con la que habrá que tener mucho cuidado: Nota: n 0 = ± Siempre habrá que comprobar numéricamente si el ite tiende a + o a. Nota: En general, para calcular el ite de una función cuando x o x, se aplicarán las propiedades de los ites, además de: n x = n = 0 n x x = n = 0 x = x = x n =

12 7 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN + O. 2 n 0 { ( ) n + si n par = si n impar + = n = n = ± Siempre habrá que comprobar numéricamente si el ite tiende a + o a. Ejemplo: Se van a calcular los siguientes ites: x2 + 2x + Aplicando las propiedades de los ites vistas anteriormente y un poco de sentido común: x2 + 2x + = x2 + 2x + = = + + = Otro ite: Con las propiedades anteriores: x2 4x + 5 x2 4x + 5 = x2 4x + }{{ } +5 Es una indeterminación En el caso de encontrar una indeterminación, habrá que aplicar las técnicas que se verán en apartados por anteriores. Más ites: ( x 2 + 4x + 5 ) ( ) n+ = x2 + 4x + 5 n + = = Se estudian ahora las operaciones a realizar en el caso de encontrar una indeterminación. 7.. Indeterminación de funciones racionales. En el caso de tener una indeterminación de este tipo, y se tenga un cociente de polinomios se deberán tener en cuenta los siguientes trucos: En cualquier fracción se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número, o un polinomio y el resultado no varía. Por ejemplo: 2 = 4 2 = = 2 6 = 2 En cualquier expresión se puede sumar o restar un mismo número y la expresión no varía: 5 = = = 5 Muchísimo cuidado: En el caso de polinomios procurar verificarlo usando números. Por ejemplo, se puede hacer: x 2 x + = x2 + x x x + Pero no se cumpliría: x 2 x + x2 + x x + x

13 8 INDETERMINACIÓN. 3 En caso de duda, sólo hay que dar valores a la x de la expresión para comprobar si la operación ha sido correcta. Para resolver las indeterminaciones, se usarán las reglas anteriores de una forma más o menos ingeniosa. Por ejemplo: Se dividen el numerador y el denominador entre x 2 : 6x 2 +3x+ x 2 2x 2 +4x+3 x 2 = 6x 2 + 3x + x 2 x 2 x 2 2x 2 + 4x + 3 = x 2 x 2 x 2 6x 2 + 3x + 2x 2 + 4x x + x x + 3 x 2 = = = 6 2 = 3 Por qué se ha dividido entre x 2? Básicamente porque es el monomio de mayor grado de los 2 polinomios. Otro ejemplo: 6x 2 + 3x + 2x 3 + 4x + 3 En este caso se divide entre el monomio x 3, ya que es el monomio de mayor grado: 6x 2 +3x+ x 3 2x 3 +4x+3 x 3 = 7.2. Indeterminación 6x 2 + 3x + x 3 x 3 x 3 2x 3 + 4x + 3 = x 3 x 3 x 3 6 x + 3 x 2 + x x x 3 = de funciones irracionales = = 0 2 = 0 Se consideran ites en los que hay radicales en el numerador o en el numerador de la fracción. Por ejemplo: 3x 3 + 3x 2x 3x + 3 Se procede de forma similar al caso anterior. Hay que buscar el monomio de mayor grado y dividirlo entre numerador y denominador. Importante: Se debe tener en cuenta que si el monomio está dentro de una raíz se cumple que m a n = a n/m. Así, en el caso anterior, el monomio de mayor grado sería 3x 3 = 3x 3/2, por lo que habría que dividir denominador y numerador entre x 3/2 : 3x 3 +3x 2x x 3/2 3x+3 x 3/2 = 8. Indeterminación. 3x 3 x 3 + 3x x 3 2x x 3/2 3x x 3/2 + 3 x 3/2 = x 2 2 x /2 3 x /2 + 3 x 3/2 = 3 0 = Este caso se resuelve igual que en el caso de los ites tendiendo a un punto. Sólo hay que considerar un caso especial, cuando se tenga una diferencia de radicales: 2x 3 + x 4x 3 + = Se opera multiplicando y dividiendo por el conjugado: 2x 3 + x ( 4x 3 + = 2x 3 + x ) 4x 3 2x x + 4x 3 + 2x 3 + x + 4x 3 + = 2x 3 + x + = 2x 3 + x + 4x 3 +

14 9 INDETERMINACIÓN. 4 Llegados a este punto, el truco de multiplicar y dividir por el conjugado, nos ha llevado a conseguir una indeterminación : 9. Indeterminación. 2x 3 + x + 2x 3 + x + 4x 3 + = 2x 3 +x+ x 3 2 2x 3 +x+ = 4x = x 3 Esta indeterminación se resuelve de forma similar a como se hacía en los ites tendiendo a un punto. 0. Continuidad en un punto. Definición: Se dice que una función es continua en un punto de abscisa x 0 cuando se cumple que: = f(x 0 ) x x 0 Esta definición implica tres condiciones: ❶ La función tiene que estar definida en x 0. Es decir, existe f(x 0 ). ❷ Existe el ite x x 0 f(x). ❸ El ite anterior coincide con el valor de la función. Definición: Cuando una función es discontinua en x 0 pero existe el ite se dice que la discontinuidad es evitable. Por ejemplo: Calcular a para que f(x) sea continua en 2. Solución: Se calcula el x 2 f(x): Por lo tanto a =. f(x) = f(x) x x 0 { x 3 2x 2 3x+6 x 2 x 2 si x 2 a si x = 2 x 3 2x 2 3x + 6 x 2 x 2 = 0 x 2 0 = (x + 2)(x 2 3) x 2 (x + 2)(x ) = x 2 3 x 2 x =

15 TEOREMA DE BOLZANO. 5. Teorema de Bolzano. Teorema de los ceros o de Bolzano: Si f es continua en [a, b] R y el signo de f(a) signo de f(b), entonces existe un número s (a, b) tal que f(s) = 0. Teorema de los valores intermedios: Si f es continua en [a, b] R y k es un número comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe un número s (a, b) tal que f(s) = k. El teorema de Bolzano es muy útil a la hora de calcular las soluciones de una ecuación. Por ejemplo: Probar que x 5 3x 2 + = 0 tiene alguna solución, y localizarla. Solución: f(x) = x 5 3x 2 + = 0 Tanteando, se encuentra que f(0) = 9970 y f( 0) = Como los polinomios son funciones continuas, por el teorema de Bolzano, existe un número s entre 0 y 0 tal que f(s) = 0. Acotando, se llega a que x = 0,599.