A 4. En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.

Transcripción

1 9. Encuentre el determinante de A. Encuentre el determinante de A 8 9 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.. x x 8. x x 8 x x x x 9. x x 8. x 8x x x x x. x x. x x x 8x 8 9x x. x x x. x x x x x x x x x x x x x x x. x x. x x x x x x x x 9 x x x x x. x x x 8. x x x x x x 8x x x x x 9x x x x 9. La inversa de una matriz Para algunas matrices se puede identificar otra matriz denominada matriz inversa multiplicativa, o más simplemente, la inversa. La relación entre una matriz A y su inversa (representada por A ) es que el producto de A y A, en cualquier orden, da como resultado la matriz identidad, es decir: AA A A I (9.8) La inversa es similar al recíproco en el álgebra de los números reales. Multiplicar una cantidad b por su recíproco /b da como resultado un producto igual a. En el álgebra matricial, multiplicar una matriz por su inversa da como resultado la matriz identidad.

2 9. La inversa de una matriz 9 Observaciones importantes acerca de la inversa I Para que una matriz A tenga una inversa, ésta debe ser cuadrada. II La inversa de A también será cuadrada y tendrá la misma dimensión que A. III No todas las matrices cuadradas tienen una inversa. Una matriz cuadrada tendrá una inversa siempre y cuando todas las filas o columnas sean linealmente independientes; es decir, ninguna fila (o columna) es una combinación lineal (múltiplo) de las filas (o columnas) restantes. Si cualquiera de las filas (o columnas) es linealmente dependiente [son combinaciones lineales (múltiplos) de otras filas (columnas)], la matriz no tendrá una inversa. Si una matriz tiene una inversa, se dice que es una matriz no singular. Si una matriz no tiene una inversa, se dice que es una matriz singular. Ejemplo Puede verificarse que la matriz B, que se presenta a continuación, es la inversa de la matriz A al calcular los productos AB y BA. A B AB BA Ya que ambos productos dan como resultado una matriz identidad ( ), puede decirse que la matriz B es la inversa de A, o sea: B A De modo similar, puede afirmarse el equivalente de que A es la inversa de B, es decir: A B Determinación de la inversa Hay varios métodos para determinar la inversa de una matriz. Un método se basa en el procedimiento de eliminación gaussiana estudiado en la sección.. Desarrolle el procedimiento general usando un ejemplo. Si le confunde el procedimiento de Gauss, es aconsejable que vuelva a leer la sección..

3 98 Ejemplo Regresemos a la matriz A del último ejemplo. Si hay otra matriz B que sea la inversa de A, ésta tendrá un orden de ( ). Establézcanse los elementos de B como sigue. B b b b b Si A B, AB I o bien b b b b Si se multiplica en el lado izquierdo de la ecuación, el resultado es b b b b b b b b Para que estas dos matrices sean iguales, sus respectivos elementos deben ser iguales entre sí; esto es, b b b b b b b b (9.9) (9.) (9.) (9.) Para determinar los valores de b y b se necesitan resolver las ecuaciones (9.9) y (9.) simultáneamente. De igual manera, para determinar b y b se deben resolver las ecuaciones (9.) y (9.). Transformación gaussiana Figura 9. Transformación gaussiana. b b b Transformación por separado b b b b b Transformación junta Si se debieran resolver estos sistemas en forma individual por el método de eliminación de Gauss, las transformaciones procederían como se ilustra en la figura 9.. Para cada sistema se realizarían operaciones de fila para transformar el arreglo de coeficientes en una matriz identidad ( ). Dado que ambos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes en el lado izquierdo, las mismas ope-

4 9. La inversa de una matriz 99 raciones de fila se usarán para resolver ambos sistemas. Se puede mejorar el proceso aumentando las constantes del lado derecho para el primer sistema con las del segundo sistema de ecuaciones, como se muestra a continuación: Al hacer esto, las operaciones de fila necesitan ser realizadas sólo una vez. Después de transformar la matriz de los coeficientes en el lado izquierdo en una matriz identidad ( ), la primera columna de valores en el lado derecho contendría la solución para el primer sistema de ecuaciones (b y b ) y la segunda columna la solución para el segundo sistema de ecuaciones (b y b ). Las matrices transformadas tendrían esta apariencia b b b b y la matriz ( ) a la derecha de la línea vertical es la matriz B, o la inversa de A. Procedimiento de reducción de Gauss Para determinar la inversa de una matriz A (m m): I Aumente la matriz A con una matriz identidad (m m), dando como resultado (A I ) II Realice operaciones de fila en toda la matriz aumentada para transformar A en una matriz identidad (m m). La matriz resultante tendrá la forma (I A ) donde A se puede leer a la derecha de la línea vertical. Ejemplo Continuando con el último ejemplo, puede encontrarse A mediante los pasos siguientes: (multiplique la fila por )

5 (multiplique la fila por y súmelo a la fila ) (multiplique la fila por ) (multiplique la fila por y súmelo a la fila ) La inversa de A es: A como se indicó en el ejemplo. NOTA Si la matriz es singular (no tiene inversa), no será posible transformar A en una matriz identidad. Ejemplo 8 Considere la matriz B Nótese la dependencia lineal entre las filas y. La fila es un múltiplo () de la fila. Con base en el análisis anterior, puede anticiparse que B no tendrá una inversa. Pruebe esta hipótesis al aplicar el procedimiento de Gauss. (multiplique la fila por ) (multiplique la fila por y súmelo a la fila ) (multiplique la fila por y súmelo a la fila )

6 9. La inversa de una matriz (multiplique la fila por ) (multiplique la fila por y súmelo a la fila ) En este punto se hace imposible generar un en la tercera columna de la fila. Se podría poner un en esta posición al sumar un múltiplo de la fila o a la fila. Con todo, esto daría como resultado valores no cero en las columnas o de la fila. Inténtelo si necesita convencerse. Nuestra conclusión es que B no tiene inversa. Obtención de la inversa usando cofactores (opcional) Otro método para determinar la inversa de una matriz consiste en utilizar la matriz de cofactores. El método de cofactores El procedimiento de cofactores para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A es el siguiente: I Determine la matriz de cofactores A c para la matriz A. II Determine la matriz adjunta A j que es la transpuesta de A c : III A j A T c La inversa de A se encuentra al multiplicar la matriz adjunta por el recíproco del determinante de A, o sea A Aj (9.) Nótese en la ecuación (9.) que cuando el determinante de A,, es igual a cero, el cálculo de la inversa no está definido. Por lo tanto, si, la matriz no tiene inversa. Ejemplo 9 Determínese la inversa de la matriz A La matriz de cofactores A c es A c

7 La matriz adjunta correspondiente es A j El determinante de A es Por consiguiente, ()( ) ( )() A Ejemplo Para determinar la inversa de la matriz ( ) B la matriz de cofactores B c es B c La matriz adjunta B j es la transpuesta de B c, es decir: B jc Verifique que el determinante de B es igual a. Por lo tanto, B NOTA ( Un elemento potencial para ahorrar tiempo!) En el paso del método de cofactores, haga una pausa después de identificar una fila o columna de cofactores y calcucule. Si, ya acabó! La inversa no existe. Si, proceda para encontrar los cofactores restantes.

8 9. La inversa de una matriz La inversa y los sistemas de ecuaciones En la sección 9. se estudia la representación matricial de los sistemas de ecuaciones. Se puede utilizar la inversa de una matriz para determinar el conjunto solución para un sistema de ecuaciones. Dado un sistema de ecuaciones de la forma A B, donde A es una matriz cuadrada que contiene los coeficientes de las variables, ambos lados de la ecuación matricial se pueden multiplicar por A, dando como resultado A A A B (9.) Ya que A A I, puede reformularse la ecuación (9.) como I A B o bien A B (9.) Es decir, el vector solución para el sistema de ecuaciones se puede encontrar al multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes A por el vector de las constantes del lado derecho B. Si A no existe, las ecuaciones (más específicamente, la matriz de coeficientes) son linealmente dependientes y no hay ninguna solución o hay una infinidad de soluciones. Ejemplo Considere el sistema de ecuaciones: x x x x Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial así: o A B x x Para resolver este sistema de ecuaciones por el método de la inversa, debe determinarse A.En forma conveniente, A es la matriz que se analiza en el ejemplo 9 y A se ha calculado. Por lo tanto, el vector solución se calcula así: A B La solución para el sistema de ecuaciones es x y x.

9 Ejemplo Considere el sistema de ecuaciones: x x x x x x x La matriz de coeficientes es: A y una vez más ya se ha estudiado convenientemente este ejemplo (véase el ejemplo ). Se calcula el vector solución como o x, x y x. El procedimiento de la inversa para resolver sistemas de ecuaciones, cuando se compara con los métodos analizados en el capítulo (método de eliminación-sustitución y método de eliminación de Gauss), es menos discriminante. Los procedimientos del capítulo dan señales claras y directas para cada tipo de conjunto solución (única, infinidad, ninguna solución). El procedimiento de la inversa no distingue entre ningún conjunto solución y un conjunto solución infinito. Si el determinante de A no es igual a cero, hay una solución única. Si, sólo se puede establecer que ya sea que no hay solución o que hay un número infinito de soluciones. Sección 9. Ejercicios de seguimiento Determine la inversa de las siguientes matrices, si es que existe, usando el procedimiento gaussiano

10 9. La inversa de una matriz Determine la inversa de las siguientes matrices utilizando el método de la matriz de cofactores Utilizando los resultados de los ejercicios a, determine la solución para los sistemas de ecuaciones de los ejercicios a, respectivamente (si existe alguna).. x x. x x x x x x. x x. x 8x 8 x x x x. x x 8. x x x x 9 x x 9. x x. x x x x x x x x x x x x. x x. x x x x x 9x. x x x. x x x x x x 9 x x x x x x x x x. x x. x x x x x x. x x x 8. x x x x x x x x 9x x x x x x

11 9. x x. x x x x x x 9. x x. x x x x x x. x x x. x x x x x x x x x x x 8 x x x. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma A B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices Cuál era el sistema de ecuaciones original? Cuál es el conjunto solución?. Se puede encontrar la solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma A B mediante la multiplicación matricial.. 8 Cuál era el sistema de ecuaciones original? Cuál es el conjunto solución?. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma A B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices Cuál era el sistema de ecuaciones original? Cuál es el conjunto solución? 8. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma A B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices 8 Cuál era el sistema de ecuaciones original? Cuál es el conjunto solución? 9. Aplicaciones selectas Esta sección proporciona algunas ilustraciones de aplicaciones del álgebra matricial. A diferencia de muchas otras aplicaciones de matemáticas, no hay fórmulas o planteamientos establecidos para resolver todas las aplicaciones de las matrices. Cada aplicación es de alguna manera única. Encontrará que se puede requerir cierto nivel de ensayo y error al trabajar con la lógica subyacente en una aplicación. Aunque se pueden utilizar muchas aplicaciones, el autor recomienda que considere las sugerencias siguientes cuando trabaje con una aplicación.