Determinantes. Definiciones básicas sobre determinantes. José de Jesús Angel Angel.

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1 Determinantes Definiciones básicas sobre determinantes wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel MathCon c

2 Contenido 1 Determinantes 2 11 Propiedades de determinantes 4 2 Inversa por determinantes 7 3 Regla de Cramer 10

3 1 Determinantes El determinante de una matriz A, es una función del conjunto de matrices cuadradas M n a los reales, Det(A : M n R Se puede escribir como Det(A o como A Definimos primero los determinantes para matrices de orden 2 ( a11 a Definición 1 Sea A = 12 a 21 a 22, entonces su determinate es det(a = A = a 11 a 22 a 12 a 21 Ejercicios:

4 1 Determinantes 3 ( Sea A = 3 4 ( Sea A = 2 1 ( Sea A = 2 2 ( Sea A = 2 2 ( a b 5 Sea A = ra rb, entonces A = 4 6 = 2, entonces A = 1 ( 2 = 3, entonces A = 10 6 = 4, entonces A = 2 2 = 0, entonces A = rab rab = 0 Observación: En una matriz 2 2, si una fila o columna es múltiplo de la otra, entonces el determinante es cero Definición 2 Sea A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det(a = A = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33, su determinate es a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Ejercicios: 1 A = , el determinate es A = = 0 2(2 + 3(1 = = 1 2 A = , el determinate es A = = 1( ( ( 2 6 = = 13

5 11 Propiedades de determinantes 4 Observación: Un determinante 3 3, se puede calcular en base a cualquier fila o columna La regla anterior toma como base la primera fila, para tomar como base otra fila o columna, debemos de asignar un signo ±, en función de la entrada, a la entrada a ij le asignamos el signo ( 1 i+j, es decir si la suma i + j es par el signo es +, si i + j es impar, el signo es Determinante en base a la primera columna: a A = a 22 a a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 21 a 12 a 33 + a 21 a 13 a 32 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 Determinante en base a la segunda columna: a A = a 21 a a 31 a 33 + a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 = a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 22 a 11 a 33 a 22 a 13 a 31 a 32 a 11 a 23 + a 32 a 13 a Propiedades de determinantes 1 A = A T 2 Si B se obtiene de A, intercambiando dos filas(columnas, entonces B = A 3 Si dos filas (columnas de A, son iguales, entonces A = 0 4 Si una fila (columna tiene solo ceros, entonces A = 0 5 Si B se obtiene de A, multiplicando una fila (columna de A por una constante r, entonces B = r A 6 Si B se obtiene de A, cambiando la fila (columna F i = rf j + F i, entonces B = A 7 AB = A B 8 A 1 = 1 A Ejercicios: 1 Calcular los siguientes determinantes: a

6 11 Propiedades de determinantes 5 b c d e Si A = 2, B = 3, calcular A 1 B, A T B 1, AB 3 Si A es una matriz n n, y c R, entonces mostrar que ca = c n A 4 Demuestre que si AB = 0, entonces A = 0, o B = 0 5 Demuestre que si en una matriz A en cada fila y en cada columna solo un elemento no es cero, entonces A = 0 6 Demuestre que si A = A 1, entonces A = ±1 7 Si A es una matriz no singular, y A 2 = A, entonces A = 1 8 Si P es una matriz no singular, y B = P AP 1, entonces A = B a 1 a 2 a 3 9 Si A = b 1 b 2 b 3 = 3, calcular c 1 c 2 c 3 a 1 + 2b 1 3c 1 a 2 + 2b 2 3c 2 a 3 + 2b 3 3c 3 a b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

7 11 Propiedades de determinantes 6 b c b 1 2b 2 b 3 3a 1 6a 2 3a 3 c 1 2c 2 c 3 a 2 2a 2 a 3 b 2 + a 2 2b 1 + 2a 1 b 3 + a 3 c 2 2c 1 c 3 10 Calcular el siguiente determinante: 11 Calcular el siguiente determinante: 12 Calcular el siguiente determinante: 13 Calcular el siguiente determinante: 14 Calcular el siguiente determinante: a 1 + b 1 a 1 + b 2 a 1 + b 3 a 2 + b 1 a 2 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + b 1 a 3 + b 2 a 3 + b x x x + 1 x + 1 x x x x x + 2 x x x x x + 3 x x x x x + 4 x + 1 x x x x x + 1/2 x x x x x + 1/3 x x x x x + 1/4 x + 1 x x x x x x + a x x x x x x + a 2 x x x x x x + a 3 x x x x x x + a 4

8 2 Inversa por determinantes Sea A una matriz n n, y A = 0, entonces A 1 = 1 A (Adj(A = 1 A A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn La matriz adjunta Adj(A de A = (a ij es la matriz transpuesta de la matriz de cofactores A ij, donde A ij = ( 1 i+j M ij, y M ij es el menor de a ij, que se obtiene de A al eliminar la fila i y la columna j Ejercicios:

9 2 Inversa por determinantes 8 1 Sea A =, Ahora calculemos a los cofactores, donde cada M ij se obtiene de eliminar la fila i y la columna j M 11 = M 12 = M 21 = M 31 = M 22 = M 32 = M 13 = M 23 = M 33 = Por lo tanto, los cofactores quedan como: A 11 = ( A 21 = ( A 31 = ( A 12 = ( A 22 = ( A 32 = ( A 13 = ( A 23 = ( A 33 = ( O sea: Por lo tanto la matriz adjunta es: A 11 = 8 A 12 = 4 A 13 = 1 A 21 = 2 A 22 = 2 A 23 = 1 A 31 = 4 A 32 = 2 A 33 = 1 Adj(A =

10 2 Inversa por determinantes 9 Por otra parte el determinante puede ser calculado por cualquier fila o columna (se recomienda por aquella que tenga la mayor cantidad de ceros, por ejemplo por la primera fila, tenemos: A = = = 2 Finalmente la matriz inversa es: A 1 = 1 2 Adj(A = Encontrar las inversas de las siguientes matrices 1 ( cos α sin α sin α cos α A = A = A = /2 1/2 1/2

11 3 Regla de Cramer Dado un sistema de ecuaciones lineales n n: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3 a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b m Entonces la regla de Cramer nos permite encontrar las soluciones x i, directamente por la fórmula: x i = A i A, donde A i es la matriz que reemplaza a la columna i-ésima de A por los términos constantes b i

12 3 Regla de Cramer 11 Ejercicios: 1 Sea el siguiente SEL: Entonces por la regla de Cramer, tenemos: 2x + y + z = 6 3x + 2y 2z = 2 x + y + 2z = x = y = z = = 22 5 = 26 5 = 12 5 Resolver los siguientes SEL usando la regla de Cramer 1 2 2x + 4y + 6z = 2 x + 2z = 0 2x + 3y z = 5 2x + y + z = 6 3x + 2y 2z = 2 x + y + 2z = 4

13 3 Regla de Cramer 12 3 x + y + z 2z = 4 2y + z + 3z = 4 2x + y z + 2z = 5 x y + z = 4 Observación 1 El sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y sólo si el determinate es diferente de cero Ahora tenemos las siguientes equivalencias: 1 El determinante de A es diferente de cero 2 A es no singular 3 Existe la matriz inversa A 1 4 La matriz es equivalente por OE a la matriz Identidad 5 El sistema homogéneo Ax = 0 tiene como única solución a la trivial 6 El sistema Ax = b, tiene una única solución 7 Baja la transformación lineal Ax, la imagen inversa de cualquier vector b, en no vacía y consiste de un solo elemento Es decir Ax es sobre 8 Bajo la transformación lineal Ax la imagen inversa del cero, es no vacía, y consiste únicamente de x = 0