n p(a ) = n p(a ) = n k Nº de casos favorables de A Nº de casos posibles de E p(a) = Capítulo PROBABILIDAD 1. Introducción

Transcripción

1 Capítulo VII PROBABILIDAD 1. Itroduccó Se dcaba e el capítulo ateror que cuado u expermeto aleatoro se repte u gra úmero de veces, los posbles resultados tede a presetarse u úmero muy parecdo de veces, lo cual dca que la frecueca de aparcó de cada resultado tede a establzarse. El cocepto o dea que geeralmete se tee del térmo probabldad es adqurdo de forma tutva, sedo sufcete para maejarlo e la vda correte. Nos teresa ahora la medda umérca de la posbldad de que ocurra u suceso A cuado se realza el expermeto aleatoro. A esta medda la llamaremos probabldad del suceso A y la represetaremos por. La probabldad es ua medda sobre la escala 0 a 1 de tal forma que: Al suceso mposble le correspode el valor 0 Al suceso seguro le correspode el valor 1 El resto de sucesos tedrá ua probabldad compredda etre 0 y 1 El cocepto de probabldad o es úco, pues se puede cosderar desde dsttos putos de vsta: El puto de vsta objetvo Defcó clásca o a pror Defcó frecuetsta o a posteror El puto de vsta subjetvo 2. Defcó Clásca de la Probabldad Sea u expermeto aleatoro cuyo correspodete espaco muestral E está formado por u úmero fto de posbles resultados dsttos y co la msma probabldad de ocurrr {e 1, e 2,..., e }. S 1 resultados costtuye el subcojuto o suceso A 1, 2 resultados costtuye el subcojuto o suceso A 2 y, e geeral, k resultados costtuye el subcojuto o suceso A k de tal forma que: k = Las probabldades de los sucesos A 1, A 1,..., A so: p(a ) = 1 1 p(a ) = p(a ) = k k es decr, que la probabldad de cualquer suceso A es gual al cocete etre el úmero de casos favorables que tegra el suceso A y el úmero Regla de Laplace para E ftos = Nº de casos favorables de A Nº de casos posbles de E Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

2 de casos posbles del espaco muestral E. Para que se pueda aplcar la regla de Laplace es ecesaro que todos los sucesos elemetales sea equprobables, es decr: p(e 1 ) = p(e 2 ) =... = p(e ) y por tato p(e )=1/ =1,2,..., Sedo A={e 1, e 2,..., e k } el suceso formado por k sucesos elemetales sedo k tedremos: k = p(e j ) = = j=1 Nº casos favorables Nº casos posbles La probabldad verfca las sguetes codcoes: La probabldad de cualquer suceso es sempre u úmero o egatvo etre 0 y 1 =, 0 La probabldad del suceso seguro E vale 1 La probabldad del suceso mposble es 0 La probabldad de la uó de varos sucesos compatbles o excluyetes A 1, A 1,..., A r es gual a la suma de probabldades de cada uo de ellos p(e) = = 1 p( ) = 0 =0 p(a... A ) = p(a ) + p(a ) p(a ) 1 r 1 2 r Esta defcó clásca de probabldad fue ua de las prmeras que se dero (1900) y se atrbuye a Laplace; també se cooce co el ombre de probabldad a pror pues, para calcularla, es ecesaro coocer, ates de realzar el expermeto aleatoro, el espaco muestral y el úmero de resultados o sucesos elemetales que etra a formar parte del suceso. La aplcacó de la defcó clásca de probabldad puede presetar dfcultades de aplcacó cuado el espaco muestral es fto o cuado los posbles resultados de u expermeto o so equprobables. Ej: E u proceso de fabrcacó de pezas puede haber alguas defectuosas y s queremos determar la probabldad de que ua peza sea defectuosa o podemos utlzar la defcó clásca pues ecestaríamos coocer prevamete el resultado del proceso de fabrcacó. Para resolver estos casos, se hace ua extesó de la defcó de probabldad, de maera que se pueda aplcar co meos restrccoes, llegado así a la defcó frecuetsta de probabldad. 3. Defcó Frecuetsta de la Probabldad La defcó frecuetsta cosste e defr la probabldad como el límte cuado tede a fto de la proporcó o frecueca relatva del suceso. Sea u expermeto aleatoro cuyo espaco muestral es E Sea A cualquer suceso perteecete a E S repetmos veces el expermeto e las msmas (A) Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

3 Codcoes, la frecueca relatva del suceso A será: Cuado el úmero de repetcoes se hace muy grade la frecueca relatva coverge haca u valor que llamaremos probabldad del suceso A. = lm (A) Es mposble llegar a este límte, ya que o podemos repetr el expermeto u úmero fto de veces, pero s podemos repetrlo muchas veces y observar como las frecuecas relatvas tede a establzarse. Esta defcó frecuetsta de la probabldad se llama també probabldad a posteror ya que sólo podemos dar la probabldad de u suceso después de repetr y observar u gra úmero de veces el expermeto aleatoro correspodete. Alguos autores las llama probabldades teórcas. 4. Defcó Subjetva de la Probabldad Tato la defcó clásca como la frecuetsta se basa e las repetcoes del expermeto aleatoro; pero exste muchos expermetos que o se puede repetr bajo las msmas codcoes y por tato o puede aplcarse la terpretacó objetva de la probabldad. E esos casos es ecesaro acudr a u puto de vsta alteratvo, que o depeda de las repetcoes, so que cosdere la probabldad como u cocepto subjetvo que exprese el grado de creeca o cofaza dvdual sobre la posbldad de que el suceso ocurra. Se trata por tato de u juco persoal o dvdual y es posble por tato que, dferetes observadores tega dsttos grados de creeca sobre los posbles resultados, gualmete váldos. 5. Defcó Axomátca de la Probabldad La defcó axomátca de la probabldad es quzás la más smple de todas las defcoes y la meos cotrovertda ya que está basada e u cojuto de axomas que establece los requstos mímos para dar ua defcó de probabldad. La vetaja de esta defcó es que permte u desarrollo rguroso y matemátco de la probabldad. Fue troducda por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadístcos y matemátcos e geeral. Defcó Dado el espaco muestral E y la α-algebra A=P(E) dremos que ua fucó p: A [ 0,1 ] es ua probabldad s satsface los sguetes axomas de Kolmogorov: 0 para cualquer suceso A A=P(A) p(e) = 1 Dada ua sucesó umerable de sucesos compatbles A 1, A 2,... A, se verfca que Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

4 p(a1 A 2...) =p U A = =1 A la fucó p: A [ 0,1 ] A p = se deoma probabldad del suceso A. La tera (E, A, p) formada por el espaco muestral E, la α-algebra A=P(E) y la probabldad p se deoma espaco probablístco. 6. Teoremas Elemetales o Cosecuecas de los Axomas Los sguetes resultados se deduce drectamete de los axomas de probabldad. Teorema I La probabldad del suceso mposble es ula p( ) = 0 S para cualquer suceso A resulta que =0 dremos que A es el suceso ulo, pero esto o mplca que A= S para cualquer suceso A resulta que =1 dremos que A es el suceso cas seguro, pero esto o mplca que A=E Teorema II Para cualquer suceso A A=P(A) se verfca que: La probabldad de su suceso complemetaro es = 1 - Teorema III La probabldad P es moótoa o decrecete, es decr: A,B A=P(A) co A B p(b) y además p(b - A) = p(b) - Teorema IV Para cualquer suceso A A=P(A) se verfca que: 1 Teorema V Para dos sucesos cualesquera A,B A=P(A) se verfca que: p( A B ) = + p(b) - p( A B ) Esta propedad es geeralzable a sucesos: Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

5 +1 p UA = p(a ) - p(a A j ) + p(a A j A k ) +...+(-1) p I A =1 =1 < j < j<k Teorema VI Para dos sucesos cualesquera A,B A=P(A) se verfca que: p( A B ) + p(b) Esta propedad es geeralzable a sucesos: p U A p(a ) =1 =1 Teorema VII Dada ua sucesó crecete de sucesos A 1, A 2,..., A (abrevadamete represetado por { A }) se verfca que: lm p(a ) = p( lm A ) = p U =1 A Teorema VIII Dada ua sucesó decrecete de sucesos A 1, A 2,..., A (abrevadamete represetado por { A }) se verfca que: lm p(a ) = p( lm A ) = p I =1 A = 1 7. Probabldad Codcoada Hasta ahora hemos troducdo el cocepto de probabldad cosderado que la úca formacó sobre el expermeto era el espaco muestral. S embargo hay stuacoes e las que se corpora formacó suplemetara respecto de u suceso relacoado co el expermeto aleatoro, cambado su probabldad de ocurreca. El hecho de troducr más formacó, como puede ser la ocurreca de otro suceso, coduce a que determados sucesos o puede haber ocurrdo, varado el espaco de resultados y cambado sus probabldades. Defcó Dado u espaco probablístco (E, A, p) asocado a u expermeto aleatoro. Sea A u suceso tal que A A= y 0 Sea B u suceso tal que B A= Se defe la probabldad codcoada de B dado A o probabldad de B codcoada a A como: p(b / A) = p(a B) La probabldad codcoada cumple los tres axomas de Kolmogorov: p(a B) B A = P(E) p(b / A) = 0 p(a E) p(e / A) = = 1 Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

6 Sea { A } ua sucesó de sucesos dsjutos dos a dos, etoces: p U A/A = p(a/a) =1 =1 Regla de Multplcacó de Probabldades o Probabldad Compuesta Partedo de la defcó de la probabldad codcoada p(b/a) podemos escrbr: p(a B) = p(b / A) 8. Teorema de la Probabldad Compuesta o Producto 1 Sea sucesos A 1, A 2,..., A A=P(A) y tales que p I A > 0. Se verfca que: p(a A... A ) = p(a ) p(a / A ) p(a / A A )... p(a / A... A ) =1 9. Teorema de la Probabldad Total Sea sucesos dsjutos A 1, A 2,..., A A=P(A) tales que p( A )>0 =1,2,..., y tales que forma u sstema completo de sucesos. Para cualquer suceso B A=P(A) cuyas probabldades codcoadas so coocdas p( B/A ), se verfca que: p( B) = p(a ) p(b / A ) =1 10. Teorema de Bayes Sea sucesos dsjutos A 1, A 2,..., A A=P(A) tales que p( A )>0 =1,2,..., y tales que forma u sstema completo de sucesos. Para cualquer suceso B A=P(A) se verfca que: p( A / B)= =1 p(a ) p(b / A ) p(a ) p(b / A ) y aplcado el teorema de la probabldad total: p(a ) p(b / A ) p( A / B)= p(b) Sstema completo de sucesos A 1, A 2,..., A Las probabldades p( A )>0 =1,2,..., Las probabldades p( B/A )>0 =1,2,..., Se deoma hpótess Se deoma probabldades a pror ya que so las que se asga calmete al los sucesos A Se deoma verosmltudes del suceso B admtedo la hpótess A Las verosmltudes p( B/A ) os permte modfcar uestro grado de creeca orgal p( A ) obteedo la probabldad a posteror p( A / B ). Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz

7 El teorema de Bayes, además de ser ua aplcacó de las probabldades codcoadas, es fudametal para el desarrollo de la estadístca bayesaa, la cual utlza la terpretacó subjetva de la probabldad. 11. Idepedeca de Sucesos Teedo e cueta la defcó de la probabldad del suceso B codcoada a A se puede decr: Cuado p( B/A ) > P( B ) etoces el suceso A favorece al B Cuado p( B/A ) < P( B ) etoces el suceso A desfavorece al B Cuado p( B/A ) = P( B ) etoces la ocurreca de A o tee gú efecto sobre la de B Dremos que dos sucesos A y B so depedetes s se verfca ua cualquera de las sguetes codcoes equvaletes: p( B / A)= p( B) s P( A )>0 p( A / B) = p( B) s P( B )>0 p( A B) = p( B) Podemos decr por tato que s el suceso B es depedete del suceso A, etoces el suceso A també es depedete del suceso B, lo que equvale a decr que ambos sucesos so mutuamete depedetes. La depedeca de sucesos puede extederse a más de dos sucesos: p( A B C) = p( B) p( C) Además, se cumple el sguete teorema: S A y B so dos sucesos depedetes, etoces també lo so los sucesos A y B A y B A y B Maual de Estadístca de Davd Ruz Muñoz