Printed with FinePrint purchase at
|
|
- Carmelo Mendoza Blanco
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Prited with FiePrit - purchse t CÁLCULO INTEGRAL IINTEGRAL DEFIINIIDA Hemos visto que, por el cálculo diferecil o proceso de derivció, es posile defiir co precisió l rect tgete u curv e u puto. Veremos quí que es posile defiir co precisió el áre de u regió pl utilizdo el cocepto de Itegrl Defiid. Si ie estos dos prolems, l rect tgete u curv e u puto y el áre de u figur pl, se resuelve por procesos idepedietes, mos está viculdos. Est viculció se mifiest e el Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl, que relcio el cocepto de Derivd co el de Itegrl Defiid, coceptos que form el úcleo del Cálculo Diferecil e Itegrl. E geometrí elemetl se deduce fórmuls pr clculr el áre de cierts figurs (triágulos, rectágulos, círculos, etc.), pero si refleiomos u poco, veremos que rr vez se d u defiició ceptle del áre. A veces, se defie el áre de u regió como el úmero de cudrdos de ldo uidd que ce e l regió. Esto es clro si l regió es u rectágulo: E este rectágulo ce 8 cudrditos cuyo ldo es l uidd, y todos semos que el áre del mismo es A se ltur 8 Pero si cosidermos que l regió es el círculo de rdio r : Semos que su áre es A π. r π. π Pero o qued clro e soluto el sigificdo de que π cudrdos ce e est regió E el cso geerl, si cosidermos u regió R como l de l siguiete figur: Vemos que o sólo es complicdo clculr su áre, sio que demás es dificultoso dr u defiició de áre Aálisis Mtemático I - Pági
2 Prited with FiePrit - purchse t Pr defiir e form precis el áre, trtemos e pricipio el prolem de clculr el áre de l regió pl R, limitd por u fució cotiu y positiv ƒ, el eje y ls verticles y : Dividmos el itervlo cerrdo [, ] e suitervlos de igul logitud. Si l logitud del itervlo [, ] es igul - etoces l logitud de cd suitervlo será - >. De mer que los etremos de estos suitervlos so:, +, +, +, +,..., A los suitervlos [, ], [, ],..., [ -, ], co y los podemos simolizr más revemete co [ i-, i ] dode i. Ahor tomemos e cd suitervlo [ i-, i ], i, u puto muestr i culquier y formemos el rectágulo cuy se es el itervlito y cuy ltur es f ( i ), o se l imge de i : Como el áre de cd rectágulo es el producto de ( se ) y f ( i ) ( ltur ), se ve que l sum de ls áres de todos los rectágulos os d u medid proimd del áre de l regió R. Est sum se puede epresr usdo l otció sigm: f ( i ). f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) () i Pr revir simolicemos l sum () co R i f ( ).. i Aálisis Mtemático I - Pági
3 Prited with FiePrit - purchse t Por ejemplo, si l ctidd de suitervlos es,() qued i áres de los rectágulos que qued defiidos. R f ( i ). f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( ). y ést simoliz l sum de ls Ahor oservemos ls siguietes figurs e ls que se represet los rectágulos de proimció y e cd u se tom u vlor de distito: Usdo el progrm GeoGer podemos visulizr e form diámic este tipo de gráficos y l vez coocer el vlor de l sum () pr distitos vlores de. Si cosidermos l fució f ( ) e el itervlo cerrdo [, ] se puede oservr que, medid que icremetmos l ctidd de itervlitos, ls sums se v proimdo l vlor /. Es decir, ituimos que medid que tommos cd vez más grde, ls proimcioes correspodietes del áre de R, so cd vez mejores. Dicho de otr mer, ituimos que el ite de ls sums, cudo tiede, será el vlor ecto del áre de l regió R: Defiició: El áre de l regió R delimitd por l gráfic de u fució cotiu y positiv ƒ, el eje, y, es el ite de l sum de ls áres de los rectágulos de proimció: Áre de R R [ f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) ] Como ƒ es cotiu y es costte, este ite siempre eiste. Ejemplo: Usdo est defiició, clculemos el áre de l regió ecerrd por l gráfic de f ( ), el eje, y. Semos que ƒ es cotiu y positiv e el itervlo cerrdo [, ]. Aálisis Mtemático I - Pági
4 Prited with FiePrit - purchse t - Dividmos l itervlo cerrdo [, ] e prtes de igul logitud que el cho de los rectágulos es y qued determidos los suitervlos -. O se - [, ], [, ], [, ], [, ]..., [, culquier vlor del suitervlo correspodiete, podemos tomr como putos muestrs etremos derechos de cd suitervlo:,,,,...,. Como l ltur de cd rectágulo es l imge por ƒ de estos putos, ls lturs so: Etoces R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,..., f ( i ). ( ). + ( ). + ( ) ( ). i ( ) ( ) Utilizdo l fórmul pr l sum de los cudrdos de los primeros turles: ]. Como u puto muestr puede ser i los ( + )( + ) 6 L sum qued ( + )( + ) ( + )( + ) R. 6 6 Ahor hgmos: ( + )( + ) R 6 ( + ) ( + ) Y cofirmmos que uestr ituició o flló, el áre descript es /. Oservció importte: Recuérdese que l ltur de u rectágulo siempre es positiv, etoces pr que f ( i ) se l ltur de u rectágulo de proimció, ƒ dee ser positiv e el itervlo [, ]. E otrs plrs: sólo si f(), [,],elite R d el vlor ecto del vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de l fució cotiu ƒ, el eje y ls verticles y.. Ejercicio: Clculr el áre de l regió ecerrd por l gráfic de f ( ), el eje, y, tomdo como puto muestr e cd suitervlo el etremo izquierdo del suitervlo. Cuál es el resultdo?. Porqué?. Aálisis Mtemático I - Pági
5 Prited with FiePrit - purchse t El ite R [ f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) ] que utilizmos pr clculr áre prece e muchs situcioes, icluso cudo l fució o es positiv. El mismo se utiliz pr clculr logitudes de curvs, volúmees de sólidos ( como veremos más delte), cetros de ms, trjo, etc. Es por ello que le dmos u defiició especil: Defiició: Si ƒ es u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, ], dividimos el itervlo - [, ] e suitervlos de igul cho. Hcemos que,,,..., -, se los putos etemos de estos suitervlos y elegimos,,,, como los putos muestrs e estos suitervlos, de modo que i se ecuetre e el i-ésimo suitervlo [ i-, i ]. Etoces l Itegrl Defiid de ƒ, desde hst, se defie como f() d i i f ( ). y diremos que ƒ es itegrle sore el itervlo cerrdo [, ]. Oservció : Como ƒ es cotiu, este ite siempre eiste y d el mismo vlor idepedietemete de cómo se elij los putos muestr i. Oservció : Se puede pror que el ite de l defiició terior eiste tmié si l fució es cotd y tiee u úmero fiito de discotiuiddes e [, ]. O se que eiste l Itegrl Defiid ƒ() d pr tles fucioes. Si los putos de discotiuidd so t,t,t,..., t -,t tles que < t <t <t <...<t - <t < l itegrl es igul t ƒ() d t ƒ() d + ƒ() d + t t ƒ() d ƒ() d t Oservció : L itegrl defiid ƒ() d, es u úmero rel, positivo, egtivo ó cero. Oservció : Si comprmos l defiició de Itegrl Defiid co l defiició de áre dds, sólo e el cso e que ƒ() e [, ], ls sums R f ( i ). so proimcioes del vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de l fució cotiu ƒ, el eje y ls verticles y, y l Itegrl Defiid d el vlor ecto de este áre. i Not: El símolo se llm sigo de itegrl y fue itroducido por Leiiz. Es u S lrgd y fue elegid pues l itegrl es u ite de sums. E el símolo ƒ () d, ƒ () se lo llm itegrdo, y so los etremos iferior y superior de itegrció y se deomi vrile de itegrció. El símolo d crece de sigificdo isldmete. Oservció 5 : L Itegrl Defiid es u úmero que o depede de. Por ello: Aálisis Mtemático I - Pági 5
6 Prited with FiePrit - purchse t ƒ(z) dz... Es decir, depede sólo del itegrdo ƒ() y de los e- ƒ() d ƒ(t) dt tremos y. Oservció 6 : L sum f ( i ). se deomi sum de Riem, e hoor l mtemático i lemá Berhrd Riem quie se dee l defiició dd de Itegrl Defiid. Riem fue el primero e desviculr l mism de su iterpretció geométric como áre. De mer que l Itegrl Defiid es u cocepto mtemático ddo por el ite i i f ( ). y áre es su sigificdo o iterpretció geométric ( co ls codicioes meciods e l oservció ). Al itroducir el cocepto de Itegrl Defiid, hemos supuesto que <. Ampliemos este cocepto co ls siguietes defiicioes: Defiició : Si y ƒ es u fució co perteeciete su domiio, f()d. Defiició : Si < y ƒ es itegrle sore el [, ], se defie f() d - f()d. Por ejemplo: d - d, dode hemos usdo el resultdo del ejercicio. Ejemplo: Usemos l defiició de Itegrl Defiid pr clculr ( Dividmos l itervlo cerrdo [, ] e prtes de igul logitud - 6)d - - de m- er que qued determidos los suitervlos [, - [, ]. Podemos tomr como puto muestr i ], [, ], [, ], [, ]..., l etremo de l derech de cd suitervlo, co lo cul:,, 6, 9,,...,. E geerl i i Etoces ( - 6)d f ( i ). i i i i 6. 7i 8i i 8 5 i i i i i i f ( ). 7i 8i i i Aálisis Mtemático I - Pági 6
7 Prited with FiePrit - purchse t Ahor usemos ls fórmuls: i i ( + ) Sum de los primeros turles i i ( + ) Sum de los cuos de los primeros turles Etoces el ite qued: ( - 6)d 8 ( + ) 5 ( + ) 8 ) + 8 ( + ) ( + ) Est itegrl o se puede iterpretr como el vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de f() - 6, el eje, etre y, porque est fució o es positiv e todo el itervlo [, ], sio que tom vlores tto positivos como egtivos llí. E todo cso se puede decir que es l difereci ( áre de A - áre de A ), siedo A y A como se muestr e l figur: Propieddes de l Itegrl Defiid Ates dijimos que tto ls fucioes cotius e u [, ], como ls fucioes cotds y cotius slvo e u úmero fiito de putos del [, ] so itegrles sore este itervlo. Ls siguietes propieddes se refiere tods ells. P ) Se,, c dode < c <. ƒ es itegrle sore [, ] si, y sólo si, ƒ es itegrle sore [, c] y sore [c, ]. E este cso ƒ() d c ƒ() d + ƒ() d c Aálisis Mtemático I - Pági 7
8 Prited with FiePrit - purchse t P ) Si ƒ y g so fucioes itegrles sore [, ], etoces ƒ ± g es itegrle sore [, ] y demás: [ ƒ() d ± g() ] d ƒ() d ± g() d P ) Si ƒ es itegrle sore [, ] y c culquier, etoces c ƒ es itegrle sore [, ] y demás: E prticulr - ƒ() d - c ƒ() d c ƒ() d. ƒ() d Ejemplo: 5 d 5 d 5.(/) 5/ P, P y P vle tmié si. P ) Si ƒ es itegrle sore [, ], etoces ƒ es itegrle sore culquier [c, d] tl que [c, d] [, ]. P 5 ) Si ƒ es itegrle sore [, ], etoces ƒ() d ƒ() d P 6 ) Se ƒ y g itegrles sore [, ] tles que ƒ() g() e [, ], etoces ƒ() d g() d (e prticulr: si ƒ() e [, ] ƒ() d ) P 7 ) Si ƒ es itegrle sore [, ] y m ƒ() M [, ], etoces m ( - ) ƒ() d M ( - ). E prticulr: m y M puede ser ífimo y supremo de ƒ e [, ]. Además si ƒ es cotiu, m y M puede ser el míimo y el máimo de ƒ e [, ]. Otr defiició de Itegrl Defiid De l defiició de Itegrl Defiid f() d de Riem i f ( i ). cudo tiede, tiede. i i f ( ). se desprede que e l sum Hy situcioes e que es más propido sudividir l itervlo cerrdo [, ] e suitervlos de distit logitud. Si desigmos co,,,,..., ls logitudes de estos suitervlos, deemos segurros que, e el proceso del ite, ests logitudes tied. Esto se cosi- Aálisis Mtemático I - Pági 8
Sucesiones de funciones
Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci
Más detallesLa integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región
APÍTULO L itegrl.5 efiició de l itegrl. Sums de Riem.5. Aproimció del áre de u regió E est secció precismos lgus ides epuests previmete, co respecto l problem de ecotrr el áre de l regió bjo l gráfic de
Más detallesIntegral Definida. Aplicaciones
Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
Más detallesAlgunas funciones elementales
Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes
Más detallesCálculo integral de funciones de una variable: integral definida
Cálculo itegrl de fucioes de u vrible: itegrl defiid BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhbreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimeez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ
Más detallesUNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD. LA INTEGRAL DEFINIDA Propósitos: Itroducir el cocepto de itegrl defiid como u fució-áre pr costruir su sigificdo. Relcior los coceptos de derivd e itegrl e l formulció del teorem Fudmetl del Cálculo.
Más detallesTema 7: Series Funcionales
I.T.Telecomuiccioes Curso 99/ Tem 7: Series Fucioles Al estudir el teorem de Tylor se oservó l posiilidd de epresr u fució f ifiitmete derivle como u sum ifiit de fucioes moomiles, lgo sí como u poliomio
Más detallesDefinición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x)
FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició: Llmmos fució epoecil u fució que se epres de l form: f = = co > 0 ( ), dode f ( ) : R R > 0 Ates de trbjr específicmete, co ls fucioes epoeciles, recordemos lguos coceptos
Más detallesLa integral de Riemann
Cpítulo 6 L itegrl de Riem Vmos dr u defiició precis de l itegrl de u fució defiid e u itervlo. Este tiee que ser u itervlo cerrdo y cotdo, es decir [,b] co < b R, y l defiició que dremos de itegrl solo
Más detallesMatemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:
Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l
Más detallesSucesiones de números reales
Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5
Más detallesCapítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.
Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos
Más detallesCALCULO integral. sucesiones y series de funciones
DR. ANTONIO RIVERA FIGUEROA INVESTIGADOR DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA CINVESTAV DEL IPN CALCULO itegrl. sucesioes series de fucioes PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 04 GRUPO EDITORIAL PATRIA ifo
Más detallesEnteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.
Tem 1: Números Reles 1.0 Símbolos Mtemáticos Distito Aproximdo Meor o igul Myor o igul Uió Itersecció Cojuto vcío Existe No existe Perteece No perteece Subcojuto Implic Equivlete 1.1 Cojuto de los úmeros
Más detallesTema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...
Más detallesUnidad 12: DERIVADAS
Uidd : DERIVADAS Si u ctidd o egtiv uer t pequeñ que resultr meor que culquier otr dd, ciertmete o podrí ser sio cero. A quiees pregut qué es u ctidd iiitmete pequeñ e mtemátics, osotros respodemos que
Más detallesPOTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.
POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,
Más detallesFÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)
FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes
Más detallesCálculo II (0252) TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. Semestre
Cálculo II (5) Semestre - TEMA INTEGRAL DEFINIDA Semestre - José Luis Quitero Myo INTRODUCCIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) - TEMA Itegrl Defiid Pág.: de 5 José Luis Quitero.. INTRODUCCIÓN El clculr
Más detallesIntegral de Riemann. Tema Sumas inferiores y superiores Particiones de un intervalo Sumas inferiores y superiores
4 Mtemátis I : Cálulo itegrl e IR Tem 3 Itegrl de Riem 3. Sums iferiores y superiores 3.. Prtiioes de u itervlo Defiiió 26.- Se llm prtiió de u itervlo errdo [, ] ulquier ojuto fiito de putos P = {,,...,
Más detallesEL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*
EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detalles( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m
Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede
Más detallesMatemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 3º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Simplificar la fracción, si es posible N = 50
Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.0 INTRODUCCIÓN º 1.0.1 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS º RACIONALES(Q)???????? NO RACIONALES NATURALES(N) 0 ; ; ; 81...
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
. Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.
Más detallesProgresiones aritméticas y geométricas
Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto
Más detallesTEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES
Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hbitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució
Más detalles1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n
. SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (6 Problems.- Estudir el crácter de ls series:! 0 b + si >0, segú vlores de. 0.- Clculr cos α sbiedo que x x e 0! 0! 3.- Estudir l serie de térmio geerl. π se.- Cosidermos
Más detallesUNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
CAPITULO 4: CÁLCULO INTEGRAL 4.. Primitivs e itegrció idefiid UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Hst este istte hemos resuelto el prolem: dd u fució, hllr sui derivd. E muchs pliccioes importtes prece el prolem
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria
Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes
Más detallesFracción generatriz de un decimal. Denominador :1 seguido de tantos 0 como cifras decimales haya 1000 = 7 8
º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- NÚMEROS- PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- FRACCIONES Y DECIMALES Opercioes comids co frccioes Pr relizr vris opercioes se reliz primero los prétesis y se
Más detallesFUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES.
PRODUCTOS NOTABLES. Productos Notbles: So poliomios que se obtiee de l multiplicció etre dos o más poliomios que posee crcterístics especiles o expresioes prticulres, cumple cierts regls fijs; es decir,
Más detallesREALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES
Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució
Más detallesPotencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de
Más detallesGuía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Auilir: Igcio Domigo Trujillo Silv Uiversidd de Chile Guí ejercicios resueltos Sumtori y Biomio de Newto Solució: ) Como o depede de j, es costte l sumtori. b) c) d) Auilir: Igcio Domigo Trujillo Silv
Más detallesLiceo Marta Donoso Espejo Raíces para Terceros
. Ríces cudrds y cúics Liceo Mrt Dooso Espejo Ríces pr Terceros Coeceos el estudio de ls ríces hciédoos l siguiete pregut: Si el áre de u cudrdo es 64 c 2, cuál es l edid de su ldo? Pr respoder esto deeos
Más detallesGuía de trabajos Teórico- Práctico Nº 6. Los dos problemas del cálculo
Mtemátic pr CPN- UNSE- Guí de trbjos Teórico- Práctico Nº 6 Los dos problems del cálculo UNIDAD VI: 6. Derivd de u Fució. Ts de cmbio. Derivd de u Fució e u puto: defiició. Iterpretció geométric. 6.. Algebr
Más detallesTema 1: Números reales.
Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto
Más detallesEstructuras Discretas. Unidad 3 Teoría de números
Estructurs Discrets Uidd 3 Teorí de úmeros Coteido. Divisiilidd, Números rimos Teorem fudmetl de l ritmétic. 2. Algoritmo de l divisió Máximo comú divisor y míimo comú múltilo, Algoritmo de Euclides. 3.
Más detalles3. Volumen de un sólido.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos
Más detallesLÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e
www.mtesxrod.et José A. Jiméez Nieto LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN... Aproximció l cocepto de límite. Vmos cercros l cocepto de límite hlldo lguos térmios de distits sucesioes
Más detallesTEMARIO DE MATEMÁTICAS [ ] I.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO I.5. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD
TEMARIO DE MATEMÁTICAS [2017-18] TEMA 29: EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA. I. CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA I.1. PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO I.2. SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES
Más detallesLa Integral Definida
Cpítulo 5 L Itegrl Defiid 5.. Prtició U cojuto fiito de putos P = {x, x, x,, x } es u prtició de [, b] si, y solmete si, = x x x x = b. 5.. Sum Superior y Sum Iferior Se y = f(x), u fució cotiu e [, b].
Más detallesLa integral de Riemann
Prof. Erique Mteus Nieves. Doctordo e Educció Mtemátic. L itegrl de Riem Est itegrl perteece l estudio del Aálisis Mtemático. L itegrl de Riem, es u form de ordr el prolem de l itegrció, otd usulmete de
Más detallesSi quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino
i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto
Más detallesResumen: Límites, Continuidad y Asíntotas
Resue: Líites, Cotiuidd y Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. : *? ** *
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
Más detallesTEMA Nº 1: NÚMEROS REALES
Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS TEMA Nº : NÚMEROS REALES. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES.. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES. NÚMEROS IRRACIONALES.. NÚMEROS REALES.
Más detallesCURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES ISBN: 978-84-69-79-6 Pedro J. López Cello Idice geerl Itroducció. Fucioes reles de vrile rel. Fucioes
Más detalles1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
º ESO - UNIDAD.- POTENCIAS Y RAÍCES OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD.- Clculr potecis de se rciol y epoete etero.- Relizr opercioes co potecis de epoete etero usdo sus propieddes.- Epresr úeros e otció cietífic.-
Más detallesLicenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos
CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que
Más detallesPráctica 6. Calcular la suma de los primeros K números naturales y k k. . 2 Calcular la suma de los cuadrados de los primeros k números
PRÁCTICA SERIES NUMÉRICAS Práctics Mtlb Objetivos Práctic 6 Estudir l covergeci o divergeci de u serie de térmios positivos utilizdo distitos criterios combido ls coclusioes experimetles (el ordedor) co
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES
TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems
Más detalles6. Variable aleatoria continua
6. Vrile letori continu Un diálogo entre C3PO y Hn Solo, en El Imperio Contrtc, cundo el Hlcón Milenrio se dispone entrr en un cmpo de steroides: - C3PO: Señor, l proilidd de sorevivir l pso por el cmpo
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de distribució grtuit y lleg grcis Cieci Mtemátic El myor portl de recursos eductivos tu servicio! Los poliomios de Beroulli y sus pliccioes Pblo De Nápoli versió 0.. Los poliomios de
Más detallesTEMA 3: RADICALES 3.1 DEFINICIÓN. Colegio Mater Salvatoris. Se llama raíz n-ésima de un número a, y se representa n a, a otro nº b tal que b n = a.
Colegio Mter Slvtoris TEMA : RADICALES.1 DEFINICIÓN Se ll ríz -ési de u úero, se represet, otro º tl que. Se l epresió geerl de u ríz -esi es el ídice es el rdicdo c Al síolo lo llos Rdicl c es el coeficiete
Más detallesUnidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios
Mtemátics º Uidd 7: Sucesioes Uidd 7: Sucesioes. Solució los ejercicios Ejercicio Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ),,,,,... 5 6 7 b ) 0,, 8,5,, 5... b 5 6 c ) 0,,,,,,... 5 6 7 c Ejercicio
Más detallesPOTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN. Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación y de la radicación de números reales:
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Recordemos e primer lugr lgus defiicioes y propieddes de l potecició y de l rdicció de úmeros reles: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Poteci de expoete cero : 0 = por defiició,
Más detallesel blog de mate de aida CSII: derivadas
el blo de mte de id CSII: derivds Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiete tbl orece el úmero de cimietos e cd mes lo lro de u ño e u determid poblció: Meses 7 8 Ncimietos 7 8 8 8 7 Pr sber, por ejemplo, cómo vrido
Más detallesRadicación en R - Potencia de exponente racional Matemática
Rdiccio e R Poteci de eoete rciol Mtemátic º Año Cód. 0- P r o f. V e r ó i c F i l o t t i P r o f. M r í d e l L u j á M r t í e z C o r r e c c i ó : P r o f. S i l v i A m i c o z z i Dto. de M t emátic
Más detalles2. Sucesiones, límites y continuidad en R
. Sucesioes, límites y cotiuidd e R. Sucesioes de úmeros reles { } =,,...,,... es u sucesió: cd turl correspode u rel. Mtemáticmete, como u fució sig cd elemeto de u cojuto u úico elemeto de otro: : N
Más detallesEjemplo: 5. Cambio de base: Ejemplo: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo.
III. LOGARITMACION A) Defiició d e l og ri to : Se deoi logrito de u úero l expoete l que h que elevr u úero, lldo se, pr oteer u úero ddo. Siólicete: log x x 0 De l defiició de logrito podeos deducir:
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesTRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES
TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN NUMÉRICA: es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles (o u subcojuto de él) y l imge está icluid e el cojuto de los Reles ( ) SUCESIÓN ARITMÉTICA:
Más detallesECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución
Más detalles5 3 = (5)(5)(5) = 125
Potecició: Es el resultdo que se obtiee l ultiplicr l bse por si is cuts veces lo idique el expoete: = ( )( )( )... BASE = ()()() = POTENCIA EXPONENTE Bse: Es el úero que se ultiplic por si iso. Expoete:
Más detallesGuía Práctica N 12 RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Fuete: PreUiversitrio Pedro de Vldivi Guí Práctic N RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DEFINICIÓN : Si es u etero pr positivo es u rel o egtivo, etoces es el úico rel, o egtivo, tl que = = =, 0 DEFINICIÓN :
Más detallesSucesiones y series de funciones
Cpítulo 10 Sucesioes y series de fucioes Expoemos este tem siguiedo el cpítulo 11 de [Apostol1], completdo co lgus prtes del cpítulo 7 de [Brtle-Sherbert]. E cd cso iremos ddo l refereci decud. 10.1. Sucesioes
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II. Funciones Riemann integrables
- Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Cálculo II Fucioes Riem itegrbles Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur 8 6 F El cálculo de áres de cojutos puede hcerse sbiedo
Más detallesFUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y
CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesCálculo II (0252) TEMA 5 SERIES NUMÉRICAS. Semestre
Cálculo II (05) Semestre -0 TEMA 5 SERIES NUMÉRICAS Semestre -0 José Luis Quitero Julio 0 Deprtmeto de Mtemátic Aplicd U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) José Luis Quitero Ls ots presetds cotiució tiee
Más detallesLas reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González
Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo,
Más detallesTEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:
TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol
Más detallesPotencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de
Más detallesAPUNTES DOCENTES ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS. Ing. Edgar Vargas Ruiz
APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS RUIZ Ig. Edgr Vrgs Ruiz II- UNIDAD LA INTEGRAL El álisis mtemático está costituido por dos grdes rms: El Cálculo Diferecil y El
Más detalles1.3.6 Fracciones y porcentaje
Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir:
Más detallesEnteros (Z) Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero
www.clseslcrt.co Clsificció de Núeros Reles Te.- Núeros Reles Reles R Rcioles Q Irrcioles Ι Eteros Z Nturles N Negtivos Deciles Exctos Frcciorios Deciles Periódicos Puros Deciles Periódicos Mixtos Rcioles
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesAnillos de Newton Fundamento
Aillos de Newto Fudmeto Los illos de Newto so producidos por itererecis cudo dos hces de luz, procedetes de l mism uete, recorre cmios ópticos dieretes. Eiste distitos modos de logrr este eómeo, el que
Más detallesECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ojetivos: Defiir ecució de segudo grdo. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo propieddes de l iguldd. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo fctorizcioes. Resolver l ecució
Más detallesLOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los
LOS NÚMEROS REALES Los úmeros,, so usdos pr cotr Normlmete se los cooce como el cojuto de los úmeros turles, dicho cojuto se lo deot ormlmete co l letr N, sí N {,,K } Si se sum dos úmeros turles el resultdo
Más detallesEJERCICIOS DE RAÍCES. a b = RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario:
EJERCICIOS DE RAÍCES RECORDAR: Defiició de ríz ésim: x x Equivleci co u poteci de expoete frcciorio: m x Simplificció de rdicles/ídice comú: Propieddes de ls ríces: x m/ b b b p m p b m m ( ) m Itroducir/extrer
Más detallesz 2 16 z Por tanto concluimos que log 3 2 z 5 Por tanto concluimos que z 2 Por tanto concluimos que log log 3 z 2 log a p p que resulta evidente
UNIDAD.- LOGARIMOS. APLICACIONES (tem del libro). LOGARIMO DE UN NÚMERO Cosideremos l ecució: 8. Como vemos l icógit está e el epoete, lo que l hce diferete todos los tipos vistos hst hor. es el epoete
Más detallesA. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS PROPIEDADES.
CAPÍTULO X. INTEGRACIÓN DEFINIDA SECCIONES A. Defiició de fució itegrble. Primers propieddes. B. Teorems fudmetles del cálculo itegrl. C. Ejercicios propuestos. A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INTEGRABLE. PRIMERAS
Más detalles16/11/2015. Tema 1: Números reales REALES. Racionales (Q) Irracionales (I) Naturales (N) REALES (I) (Q) (Z) (N)
rrcioles () //0 Te : úeros reles úeros reles (rcioles e irrcioles) Aproxició de úeros reles L rect rel Vlor soluto tervlo y seirrects Potecis de expoete etero otció cietífic dicles Potecis de expoete frcciorio
Más detallesI.E.S Padre Juan Ruíz Aritmética Hinojosa del Duque
I.E.S Pdre Ju Ruíz Aritméti Hiojos del Duque PROPIEDADES DE LA ARITMÉTICA Y ERRORES MÁS COMUNES NÚMEROS ENTEROS Elimir prétesis: Del mismo sigo, sle + De distito sigo, sle + (+) = + ( ) = + + ( ) = (+)
Más detallesINTEGRACION NUMERICA Método se Simpson
cerque@gmil.com Ojetivos: Geerles Específicos Oservcioes Prelimires Clculo de Áres El método de Simpso Desrrollo del modelo de Simpso Ejemplos Progrm e diferetes legujes L jerrquí de clses INTEGRACION
Más detallesUniversidad Alonso de Ojeda Facultad de Ciencias Administrativas Unidad Curricular: Matemática II FÓRMULAS ARITMÉTICAS
Uiversidd Aloso de Ojed Fcultd de Ciecis Admiistrtivs Uidd Curriculr: Mtemátic II FÓRMULAS ARITMÉTICAS PARA FRACCIONES Número mixto Pr psr de úmero mixto frcció impropi, se dej el mismo deomidor y el umerdor
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesTema 1. Números Reales. Intervalos y Radicales
Tem. Números Reles. Itervlos y Rdicles. El cojuto de úmeros reles.... Cojutos de l rect rel. Itervlos y etoros..... Opercioes co cojutos, uió e itersecció..... Notció cietífic.... Potecis y Rdicles...
Más detallesTEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL
Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y
Más detallesSupertriangular Subtriangular Diagonal Unidad
MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesPROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE
UNIDAD PROCEO INFINITO Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos Explorr diversos problems que ivolucre procesos ifiitos trvés de l mipulció tbulr, gráfic y simbólic pr propicir u cercmieto l cocepto de límite
Más detallesEXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS:
Mtemátic II do Mgisterio IFD Celoes XPRSIÓN DCIMAL D LOS NÚMROS RACIONALS ABSOLUTOS: Vmos clsificr los úmeros rcioles solutos e dos cojutos disjutos D y D P ( D D φ ). P D Q D P Se / el represette cóico
Más detallesUNEFA C.I.N.U. Matemáticas
RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el
Más detallesCI31A - Mecánica de Fluidos FUERZAS DE PRESIÓN
CI31A - Mecánic de Fluidos FUERZAS DE PRESIÓN Prof. Aldo Tmurrino Tvntzis HIDROSTÁTICA Si ls prt ículs de fluido no están en movimiento no hy fuerzs tngenciles ctundo sore ells. Consideremos un volumen
Más detallesPágina 1 de 17
LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN: El presete mteril fue desrrolldo pr ser utilizdo como putes de clse, pr el curso cálculo diferecil e itegrl, o se pretede ser muy rigurosos co el desrrollo de l teorí
Más detalles