MATEMÁTICAS UNIDAD 3 GRADO 8º. factorización

Transcripción

1 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero MATEMÁTICAS UNIDAD 3 GRADO 8º factorización 1

2 2 Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Reconoce la formación de los casos principales de factorización a partir de los productos notables identificando la forma correcta de lograr factorizarlos a partir de la reversibilidad de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. INDICADORES DE LOGRO: Reconoce los principales casos de factorización. Factoriza polinomios por el método de factor común. Factoriza polinomios por el método de factor común por agrupación. Factoriza binomios y trinomios cuadrados. Factoriza diferencias de cuadrados. Factoriza la suma y la diferencia de cubos 2

3 3 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO FACTORIZACIÓN Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas factores de ella, la determinación de estas cantidades es llamada factorización. Factorizar significa convertir en factores una expresión algebraica dada. Existen varios casos de factorización que se encuentran cotidianamente cuando se trabajan los algoritmos (procedimientos) matemáticos. Factor común: Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente. Ejemplo 1: Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a., luego: 3a² - 6ab = 3a(a - 2b). Recuérdese que como no hay signo entre el 3a y el paréntesis, asumimos que es un producto. 3

4 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo 2: 5a²bx³ - 15abx² - 20b³x² Los términos 5a²bx³, 15abx², 20b³x² tienen un factor común 5bx², por lo tanto: = 5bx²(a²x - 3a - 4b²). Procedimiento para factorizar una expresión algebraica: PASO 1: Extrae todos los monomios que sean comunes a todos los términos. PASO 2: Agrupa todos los términos por parejas y extrae los monomios comunes de cada par de términos. PASO 3: Agrupa todos los términos con la finalidad de hacer aparecer productos notables como los mencionados en. PASO 4: Escribe la expresión algebraica original bajo la forma de un producto de factores. TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD 4

5 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 1) a² + ab = 2) b + b² = 3) x² + x = 4) 3a³ - a² = 5) x³ - 4x = 6) 5m² + 15m³= 7) ab bc = 8) x²y + x²z = 9) 2b²x + 6bx² = 10) 8m² - 12mn = 11) 9a³x² - 18ax³= 12) 15c³d² + 60c²d³ = 5

6 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero 13) 35m²n³ - 70m³ = 14) abc + abc² = 15) 24a²xy² - 36x²y= SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Factor común por agrupación: Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser arreglados en grupos que tengan un factor común. Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - ab Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también. (x² - ax) + (bx ab) = x(x - a) + b(x - a) Aquí encontramos otro factor común (x-a) por lo que esto es igual a (x - a)(x + b) 6

7 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo 2: factorizar 6x² - 9ax + 4bx - 6ab 6x² - 9ax + 4bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (4bx - 6ab) = 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a) = (2x - 3a)(3x + 2b) Ejemplo 3: factorizar 12a² - 4ab - 3ax² + bx² 12a² - 4ab - 3ax² + bx² = (12a² - 4ab) - (3ax² + bx²) = 4a(3a - b) - x²(3a - b) = (3a - b)(4a - x²) TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 1) a² +ab + ax + bx = 2)am bm + an bn = 3) ax 2bx 2ay + 4by = 7

8 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero 4) a²x² - 3bx² + a²y² - 3by² = 5) 3m 2n 2nx + 3mx= 6) x² - a² + x a²x = 7) 4x³ - 1 x² + 4x= 8) x + x² - xy² - y² = 9) 3abx² - 2y² - 2x² + 3aby² = 10) 3c b² + 2b²x 6cx = 11) 4m³x 4m²b + 3ab 3amx = 12) 6bx + 3b x = 13) 3x³ - 9bx² - x + 3b= 14) 2b²x 5b²y + 15ay 6ax = 8

9 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO Expresiones trinomiales Observemos los siguientes productos resueltos utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. (x + 5)(x + 3) = x² +3x+5x+ 15= x² + 8x + 15 (x - 5)(x - 3) = x² - 8x + 15 (x + 5)(x - 3) = x² + 2x - 15 (x - 5)(x + 3) = x² - 2x 15 Nos proponemos considerar el problema inverso. Examinando estos resultados tenemos: i) El primer término de ambos factores es x ii) El producto de los segundos términos de los dos factores es igual al tercer término del trinomio. iii) La suma algebraica de los segundos términos de los dos factores es igual al coeficiente de x en el trinomio. Ejemplo 1: factorizar x² + 11x + 24 x² + 11x + 24 = 9

10 10 Franklin Eduardo Pérez Quintero El segundo término de los factores debe ser tal que su producto sea +24 y su suma +11. Es claro que ellos deben ser +8 y + 3, luego x² + 11x + 24 = (x + 8)(x + 3) Ejemplo 2: factorizar x² - 10x + 24 El segundo término de los factores debe ser de tal modo que su producto sea +24 y su suma -10. De ahí que ambos números deben ser negativos, y es fácil ver que los números son -6 y -4, algunas veces o empezando con este juego de adivinar cuales número son, se hace algo complicado, en ese caso se deben sacar los factores del número 24 y ver cuales nos dan como resultado de su suma el valor -10, luego x² - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4) Ejemplo 3: factorizar x² - 18x + 81 = (x - 9)(x - 9) = (x - 9)² Ejemplo 4: factorizar x + 10x² + 25 = (x² + 5)(x² + 5) = (x² + 5)² 10

11 11 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 1) a² - 2ab + b² = 2) a² + 2ab + b² = 3) x² - 2x + 1 = 4) y y² = 5) x² - 10x + 25= 6) x² + 7x + 10 = 7) x² - 5x + 6 = 8) x² + 3x 10 = 11

12 12 Franklin Eduardo Pérez Quintero 9) x² + x 2 = 10) x² + 4x + 3 = 11) m² + 5m 14 = 12) y² - 9y + 20 = 13) x² - 6 x = 14) x² - 9x + 8 = 15) c² + 5c 14 = 16) x² - 3x + 2 = 17) b² + 7b + 6 = 18) y² - 4y + 3 = 19) 12 8n + n² = 12

13 13 Franklin Eduardo Pérez Quintero SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO TRINOMIO ax² + bx + c De acuerdo a lo visto tenemos los siguientes resultados (3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8 (3x - 2)(x - 4) = 3x² - 14x + 8 (3x + 2)(x - 4) = 3x² - 10x - 8 (3x - 2)(x+ 4)= 3x² + 10x - 8 El problema inverso presenta mayor dificultad que los casos que hemos considerado. Antes de establecer un método general examinaremos en detalle dos de las identidades vistas arriba. Consideremos el resultado de (3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8. El primer término es el resultado del producto de 3x y x El tercer término + 8 es el resultado de +2 por +4 El término central es el resultado de sumar los productos de3x y -4 y de x y 2. Procedimiento para encontrar la factorización del trinomio ax² + bx + c Lo realizaremos a través del siguiente ejemplo 13

14 14 Franklin Eduardo Pérez Quintero 7x² - 19x 6 Multiplicamos el trinomio por 7/7 La multiplicación debe expresar el resultado del término con x² y del término sin x, solamente el término con x sólo se expresará el producto sin realizarlo Ahora se intercambian los valores del término que sólo se expresó Dado que esta expresión es equivalente con Corresponde a una expresión del caso ax² + bx + c, luego El primer paréntesis tiene factor común 7, entonces Simplificando por 7 (x - 3)(7x + 2) que es el resultado Ejemplo 2 factorizar14x² + 29x

15 15 Franklin Eduardo Pérez Quintero Multiplicamos por 14/14 Cambiamos el orden del término central Factorizamos usando el caso III Sacando factor común en ambos paréntesis Simplificando (2x + 5)(7x - 3) TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 15

16 16 Franklin Eduardo Pérez Quintero 1) 2x² + 3x 2 = 2) 3x² - 5x 2 = 3) 6x² + 7x + 2 = 4) 5x² + 13x 6 = 5) 6x² - 6 5x= 6) 12x² - x 6 = 7) 4x² + 15x + 9 = 8) x + 10x² = 9) 12m² - 13m 35 = 10) 20y² + y 1 = 11) 8x² - 14x 15= 16

17 17 Franklin Eduardo Pérez Quintero 12) 7x² - 44x 35 = 13) 16m + 15m²- 15 = 14) 2x² + 5x + 2 = 15) 12x² - 7x 12 = SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO La Diferencia de dos cuadrados Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad (a + b)(a - b) = a² + ab ab - b² = a² - b² Un resultado que puede ser verbalmente expresado como El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrados. Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las dos cantidades. Ejemplo 1 17

18 18 Franklin Eduardo Pérez Quintero 25x² -16y² = (5x + 4y)(5x - 4y) Ejemplo c² = (1+ 7c)(1-7c) Ejemplo 3 329² - 171² = ( )( ) = 500x158 = TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 1) x² - y² = 2) a² - 1 = 3) a² - 4 = 18

19 19 Franklin Eduardo Pérez Quintero 4) 9 b² = 5) 1 4m² = 6) 16 n² = 7) 1 y² = 8) 4x² - 9 = 9) 25 36x² = 10) a²b c² = 11) (x+y)² - a²= 12) 4 (a + 1) ² = 13) 9 (m + n)² = 14) (m n)² - 16 = 19

20 20 Franklin Eduardo Pérez Quintero 15) (x y)² - 4z² = Caso especial 1) (x+y)²- a²= 2) 4 - (a + 1)²= 3) 9 - (m + n)² = 4) (m - n)² - 16 = 5) (x - y)² - 4z² = 6) (a + 2b)² - 1 = 7) 1 - (x - 2y)² = 8) (x + 2a)² - 4x² = 9) (a + b)² - (c + d)² = 10) (a - b)² - (c - d)² = 20

21 21 Franklin Eduardo Pérez Quintero 11) (x + 1)² - 16x² = 12) 64m² - (m - 2n)²= 13) (a - 2b)² - (x + y)² = 14) (x + 1)² - 4x² = 15) 36x² - (a + 3x)²= SEMBREMOS UN POCO DE CONOCIMIENTO LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS Si dividimos a³+b³ por a +b el cociente es a² - ab + b² ; y si dividimos a³ - b³ por a - b el cociente es a² + ab + b², por lo tanto tenemos las siguientes identidades: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales aparece una suma o una diferencia de cubos. 21

22 22 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²) Ejemplo 2: factorizar 64a³ + 1 = (4a)³ + 1 = (2a + 1)(4a² - 2a + 1) TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los últimos ejemplos realizados. 1) 1 + a³= 2) 1 - a³ = 3) x³ + y³= 4) m³ - n³ = 5) a³ - 1 = 22

23 23 Franklin Eduardo Pérez Quintero 6) y³ + 1 = 7) y³ - 1 = 8) 8x³ - 1 = 9) 1-8x³ = 10) x³ - 27 = 11) a³ + 27 = 12) 8x³ + 27 = 13) 27a³ - b³ = 14) 64 + a = 15) a³ = 16) 1-216m³ = 23

24 24 Franklin Eduardo Pérez Quintero 17) 8a³ - 27b = 18) x b = 19) 8x³ - 27y³ = 20) n³ = Recolectemos lo aprendido En los siguientes ejercicios debes interpretar cual es el caso de factorización utilizado y resolverlo según lo estudiado en la presente unidad. 1) a³ + a² + a = 2) 4x² - 8x + 2 = 3) 15y³ + 20y² - 5y = 4) a³ - a²x + ax² = 5) 2a²x + 2ax² - 3ax = 6) x³ + 5x 2 7x= 7) 14x²y² - 28 x³ + 56x= 24

25 25 Franklin Eduardo Pérez Quintero 8) 34ax² + 51ay² - 68ay² = 9) 96 48mn² + 144n³ = 10) x x² + x³ - x= 11)2x²y + 2xz² + y²z² + xy³= 12) 6m 9n + 21nx 14mx = 13) 1 + a + 3ab + 3b = 14) 4am³ - 12amn m² + 3n = 15) 20ax 5bx 2by + 8ay = 16) a³ + a² + a + 1 = 17) 2bm 2bn + 2b m + n 1 = 18) 3mx 2by 2bx 6m + 3my + 4b = 19) a³+ a² + a x² + a²x² = 20) y + z² - 2ax 2az² = 21) x² + 10x + 21 = 22) x² + 7x 18 = 23) m² - 12m + 11= 24) x² - 7x 30 = 25) n² + 6n 16 = 26) 20 + x² - 21x = 27) y² + y 30 = 28) 28 + x² - 11x= 29) n² - 6n 40 = 25

26 26 Franklin Eduardo Pérez Quintero 30) x² - 5x 36 = 31) x² + 8x 180= 32) m² - 20m 300 = 33) x² + x 132= 34) m² - 2m 168 = 35) c² + 24c + 135= 36) m² - 41m + 135= 37) 9x² + 10x + 1 = 38) 20n² - 9n 20= 39) 21x² + 11x 2 = 40) m m² = 41) 15x² - 8x 12 = 42) 9x² + 37x + 4 = 43) 44n + 20n² - 15 = 44) 14m²- 31m 10 = 45) 2x² + 29x + 90 = 46) 20x² - 7x 40 = 47) 4n² + n 33= 48) 30x²+ 13x 10 = 49) 1 (x 2y)² = 50) (x + 2y)² - 4x² = 26

27 27 Franklin Eduardo Pérez Quintero 51) (a + b)² - (c + d) ² = 52) (x + 1)² - 16x² = 53) 64m² - (m-2n)²= 54) a² + 2ab + b² - x² = 55) x² - 2xy + y² - m² = 56) m² + 2mn + n² - 1= 57) x² -2x + 1 b² = 58) n² + 6n + 9 c² = 59) a²+ x²+ 2ax 4 = 60) x² + 4y² - 4xy 1 = 61) a² - 6ay + 9y² - 4x² = 62) 4x² + 25y² xy = 63) 1 a² + 2ax x² = 64) 64a³ = 65) a³b³ - x = 66) ª = 67) x - 8y = 68) x = 69) 27m³ + 64n = 70) 343x³ + 512y = 71) x³y - 216y = 27

28 28 Franklin Eduardo Pérez Quintero 72) a³b³x³ + 1 = 73) x + y = 28