Taller 4 Ecuaciones Diofánticas Lineales Profesor Manuel O Ryan

Transcripción

1 Taller 4 Ecuaciones Diofánticas Lineales Profesor Manuel O Ryan En general una Ecuación Diofántica es una ecuación polinomial en una o más variables para la que buscamos soluciones en los números enteros, Z, más general soluciones en los números racionales Q. Por ejemplo, en una variable e grao a lo más 2: Ecuación Solución 2 x + 1 = 3 x = 1 en Z 2 x + 2 = 3 x = 1/ 2 en Q, no hay solución en los enteros 3x 2 = 12 Tiene os soluciones enteras x = 2, x = 2 2x 2 + x 1 = 0 Tiene una solución entera x = 1 y otra racional x = 1/ ± 3 x + x + 1 = 0 Soluciones x =. No tiene soluciones racionales (menos enteras) 2 En este taller consieraremos Ecuaciones Diofánticas lineales en os variables, esto es: Notación: Ecuaciones en os variables que pueen ser escritas como: ax + by = n, one a, b y n son números enteros. Para este tipo e ecuaciones ebemos encontrar soluciones en los números enteros. Esto es números s, t Z tal que al reemplazar x por s e y por t se satisface la ecuación. Ejemplo 1: Consierar la ecuación x + 2 y = 5. Claramente x = 1, y = 2 es una solución; x = 5, y = 0 otra; x = 7, y = 1 otra solución. Trata e encontrar otras cuatro soluciones. Ejemplo 2: Consierar la ecuación 3 x + 5y = 1. Tenemos que x = 2, y = 1 es una solución. Encuentra otras soluciones. Cuántas soluciones, con x e y enteros es posible encontrar?. Como motivación para este tipo e problemas consieremos la siguiente situación. Ejemplo 3: Un robot se puee mover hacia aelante o hacia atrás con pasos largos o pasos cortos e 130 cm. o 50 cm. Hay una combinación e pasos (pasos hacia aelante y hacia atrás) e moo que su posición final (espués e una cantia finita e pasos) sea 10 centímetros más aelante que su punto e partia? Instituto e Matemática y Física 1

2 Solución. La pregunta puee escribirse como: Encontrar soluciones en los números enteros e la ecuación 130 x + 50y = 10. Aquí los valores positivos e x o y representarán pasos hacia aelante y valores negativos hacia atrás. Una solución es: x = 2, y = 5. Encuentra otras soluciones. Cuántas soluciones es posible encontrar? Estas ecuaciones aparecen incluso en Tomografía Computarizaa, ver: Journal of X-Ray Science an Technology 10 (2001) Ejemplo 4: Un hombre va a una tiena e ropa y compra 12 camisas, unas negras y otras azules, por $ Si las camisas negras valen $1500 más que las azules y ha comprao el mínimo posible e estas últimas, cuántas camisas ha comprao e caa color? Solución. En este problema no solo ebemos encontrar soluciones enteras (no se puee comprar 3/5 e camisa) si no que la cantia ebe ser positiva, esto es ebemos encontrar soluciones en los números naturales. Soluciones a qué ecuación?: Sea x la cantia e camisas negras compraas. Entonces 12 x es la cantia e camisas azules compraas. Si y es el precio e una camisa azul entonces y es el valor e una camisa negra. Llegamos así a la ecuación: x ( y ) + (12 x) y = 15000, que es equivalente a: 1500 x + 12y = Observemos que 1500, 12 y son toos ivisibles por 12. Diviieno la ecuación por 12 obtenemos 125 x + y = Dao que y es un precio, ebemos tener que y 0 y por lo tanto x es a lo más 10. Para x = 10 se obtiene la solución x = 10, y =0. El siguiente valor posible es x = 9 con lo que y = 125. En este caso tenemos 9 camisas negras y 3 camisas azules. Cuáles son toas las posibles soluciones?. Observación. No toas estas ecuaciones tienen soluciones en los números enteros. Por ejemplo 3 x + 6y = 5 es imposible que tenga soluciones en los enteros, ya que 5 no es un múltiplo entero e 3. Por otra parte claramente hay soluciones en los números racionales. Se pueen emostrar los siguientes Teoremas: Teorema 1 Una ecuación lineal iofántica e la forma ax + by = n tiene solución entera s, t si y sólo si el máximo común ivisor e a y b es un ivisor e n. Aemás, si enotamos al máximo común ivisor e a y b, notación = MCD( a, b), se tiene que una solución particular e icha ecuación puee obtenerse e la siguiente forma: n n s 0 = α t 0 = β one = α a + β b. Recorar que el máximo común ivisor (MCD) e a, b en Z es el mayor entero Z que ivie tanto a a como a b. En cualquier caso el máximo común ivisor e os números es Instituto e Matemática y Física 2

3 al menos 1. Es un resultao que el máximo común ivisor entre os números siempre se puee representar e la forma = α a + β b ciertos α, β Z. Teorema 2 Si s 0, t 0 Z es una solución particular e la ecuación ax + by = n entonces toas las soluciones enteras s, t e la ecuación son e la misma forma: b a s = s0 + m t = t0 m con m Z one como antes = MCD( a, b). Ejercicio 1 Usano los teoremas anteriores escribir toas las soluciones e los ejemplos: 1, 2, 3. Comprobar lo icho en el párrafo anterior al enunciao el Teorema 1, usano el mismo Teorema. Observar que en el ejercicio se necesita representar, el máximo común ivisor, como combinación e los coeficientes e la ecuación. Too el problema con este tipo e ecuaciones se reuce a calcular el máximo común ivisor entre os números enteros. Ejercicio 2 Determinar si las siguientes ecuaciones tienen o no soluciones enteras, explique: a) 2 x + 48y b) 12 x + 48y c) 129 x + 48y ) 117 x + 55y = 1 Como se observa en estos ejercicios, calcular el MCD para número pequeños es bastante simple y solo se requiere poer factorizarlos. Pero tratemos e calcular el MCD entre números granes, por ejemplo entre y o entre 3551 y Poemos pasarnos toa la tare (o más incluso) buscano los factores e estos!!!! En vez e factorizar los números usaremos el: Algoritmo e Euclies: Supongamos que a y b son números enteros con b 0. Entonces existen enteros q, r únicos tal que: a = qb + r, one 0 r < b r se llama el resto y q se llama el cuociente. Por ejemplo: a = 15, a = 15, b = 6 b = 7 15 = 2 15 = q = 2, q = 2, r = 3 r = 1 a = 25, b = 5 a = -10,b a = 3, b = 8 25 = = ( 3) = q = 5, r = 0 q = 3, r = 2 q = 0, r = 3 Instituto e Matemática y Física 3

4 Observación Funamental: Si a = qb + r entonces MCD ( a, b) =MCD ( b, r). Ejemplos: a) 15 = y MCD(15,6) = 3 = MCD(6,3) b) 10 = ( 2) y MCD(-10,6) = 2 = MCD(6,2) Como usamos este resultao?. Veamos un ejemplo: Calculemos MCD(117,55), que usamos en el ejercicio 2 (4). Tenemos que 117 = , así que MCD(117,55) = MCD(55,7). Observamos que 55 = , por lo tanto MCD(55,7) = MCD(7,6). Como 7 = , por lo tanto MCD(6,1) = 1. Así concluimos que MCD(55,7) = 1. Vemos entonces que usano el algoritmo e Euclies repetiamente poemos calcular el MCD entre os enteros. Escribamos este hecho e manera formal: Algoritmo e Euclies para calcular MCD entre os números enteros a y b. Paso 1: Renombrar a y b e moo que a b. Paso 2: Escribir a = qb + r, con 0 r < b. Paso 3: Si r = 0, entonces b es ivisor e a (o a es un múltiplo e b ) y así MCD( a, b) = b. Si r 0 entonces MCD ( a, b) = ( a, b) = MCD ( b, r). Paso 4: Ir a paso 2 para calcular MCD ( b, r). Ejemplo 5: Calcular MCD(481, 1053). Definimos a = 1053 y b 81. Tenemos MCD(481,1053) = MCD(1053, 481) = entonces MCD (1053,481) = MCD(481,91) 481 = entonces MCD (481,91) = MCD(91,26) 91 = entonces MCD (91,26) = MCD(26,13) 26 = entonces MCD (26,13) = 13 Por lo tanto MCD(481,1053) = 13. Instituto e Matemática y Física 4

5 Ejercicio 3 Usano el algoritmo e Euclies calcule el MCD para los siguientes pares e números: 427, , , 6279 Usano el algoritmo e Euclies eciamos si tiene solución y si es posible entonces resolvamos la ecuación iofántica: 1053x + 481y = 13. Por el Algoritmo e Euclies tenemos (calculao arriba): a) 1053 = b) 481 = c) 91 = ) 26 = De la penúltima iguala hacia arriba tenemos: 13 = por iguala (c) = 91 3( ) por iguala (b) = = 16( ) por iguala (a) = 16 (1053) 35 (481) Por lo tanto una solución es x = 16, y = 35. Comprueba este hecho!!! Hacieno uso el MCD e estos os números vemos que la ecuación 1053x+481y=14 no tiene solución, pues 14 no es un múltiplo e 13. Ya que si la hubiera, poríamos factorizar 13 el lao izquiero e la ecuación, esto es tenríamos 13(37x+81y)=14. Ejercicios 4: a) Encuentre solución (en los números enteros) e 129x+48y=4 o explique por que no existe. b) Encuentre solución (en los números enteros) e 117x+55y=1 o explique por que no existe. c) Encuentre solución (en los números enteros) e 427x+616y=7. ) Encuentre solución (en los números enteros) e 6279x+7826y=91. Usano el Teorema 2, escriba toas las soluciones e las ultimas os ecuaciones e la lista anterior. Ejercicios 5 Hace algunos años con $500 se poían comprar varias cosas. Por ejemplo Miguel compró plátanos y manzanas gastano $563. Si un plátano costaba $13 y una manzana $7. Que posibles combinaciones e plátanos y manzanas poría haber aquirio Miguel? (OJO en este caso hay que buscar soluciones con números no cero ni negativas.) Instituto e Matemática y Física 5

6 Ejercicios 6 En la misma época que el ejercicio anterior, una persona retira e su cuenta bancaria cierta cantia e pesos, igamos x y cierta cantia e centavos, igamos y. Pero el cajero en el banco le entrega y pesos y x centavos. La persona espués e gastar 5 centavos se a cuenta que ahora tiene el oble e la cantia solicitaa en el banco. Cuál es la cantia e inero que solicitó en el banco?. Ejercicios 7 Seguimos en la misma época. Un agricultor compra 100 animales. Entre los animales se incluyen al menos una vaca, un chancho y un pollo. Si una vaca cuesta $10, un chancho cuesta $3 y un pollo $0,50. Si pagó en total $100, cuántos animales e caa uno compró el agricultor? Instituto e Matemática y Física 6