FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. Preguntas de dominios y curvas de nivel

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1 FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES Prguntas d dominios curvas d nivl Dtrmina l dominio d las uncions: a) (, ) b) (, sin + + En cada caso indica dos puntos qu no san dl dominio a) No stá dinida cuando 0 { (, ) R 0 } c) (, ) + D Todo l plano mnos l j OY: los puntos d la orma (0, No son dl dominio los puntos (0, ) (0, ), por jmplo b) No stá dinida cuando : {(, ) R } D Todo l plano mnos la rcta : los puntos d la orma (, ) No son dl dominio los puntos (, ) (, ), por jmplo c) No stá dinida cuando + 0 Todo l plano mnos los puntos d la parábola + No son dl dominio los puntos (0, ) (, ), por jmplo + : D {(, ) R } + Dada la unción (, ), halla: a) (, 0), (, 0), (, ) (, ) b) Cuál s la cuación d la curva d nivl d la unción dada? Y la cuación d la curva d nivl d sa misma cuación? c) Cuál s la cuación d la curva d nivl qu pasa por l punto (, )? Y la cuación d la curva d nivl qu pasa por l punto (, )? 0/ 0 0/ 0 / / a) (, 0) ; (, 0) (, ) ; (, ) b) Si 0 0 (Son los puntos dl j OX) Si c) En l punto (, ) la unción alcanza l nivl (,) ; Por tanto, La curva d nivl s la rcta En l punto (, ) la unción alcanza l nivl (, ) ; Por tanto, La curva d nivl s la rcta

2 Dada la unción (, ) +, halla: a) (, ), (, 6) (, 6) b) Cuál s la cuación d la curva d nivl d la unción dada? c) Cuál s la cuación d la curva d nivl qu pasa por l punto (, 0)? d) Para la misma unción scrib la cuación d las curvas d nivl, a) (, ) ; (, 6) ; (, 6) + 6+ ( ) 6 + b) La cuación d la curva d nivl s: + + S trata d la parábola d la igura adjunta + c) Como (, 0), la cuación d la curva d nivl qu pasa + por l punto (, 0) s: d) La curva d nivl s: La curva d nivl s: La curva d nivl s: (J) Dada (, s vriica: a) Su dominio d dinición son los puntos (, tals qu + b) La curva d nivl son los puntos d la circunrncia + c) Ninguna d las antriors Su dominio d dinición son los puntos (, tals qu > 0 + < La curva d nivl s (, + La rspusta s b) (J09) El dominio d dinición d la unción (, vin dado por: a) Los puntos intriors d rontra d la circunrncia cntrada n l orign radio b) El smiplano 0

3 c) El conjunto {(,, } D R Db cumplirs qu 0 + rontra d la circunrncia d radio La rspusta s a), qu son los puntos intriors d 6 (J08) La curva d nivl d la unción (, p pasa por l punto (0, ): a) si p b) si p 7 c) Dicha curva d nivl no pasa por l punto (0, ) para ningún valor d p La curva d nivl s p por pasar por (0, ), p 0 9 p 9 6 p ± La rspusta s a) Drivadas parcials 7 Calcula las drivadas parcials d la unción n l punto (, π/) Cuál s su módulo? (, ) sin ; halla l vctor gradint (, ) sin ; (, ) cos (, ) ( sin, cos En (, π/): (, π / ) ( sin( π/ ), cos( π / ) ) (, 0) Su módulo s : (, π / ) Calcula las drivadas parcials d la unción ( ) (, ) Halla l vctor gradint n l punto (, ) Cuál s su módulo? (, ) ( ) + + ; (, ) ( + + (, ( + +, ( + + / ( ) En (, ): (,) (+ ) +, (+ ) +, (,) + 9 Calcula las drivadas d primr sgundo ordn dl campo (, + + Halla su gradint su hssiana n l punto (0, 0) (, ) + ; (, ) (0,0) ( 0, 0) (, ) 6 ; (, ) ; 0 (, ) ; (, ) H ( )(0,0)

4 0 Dada la unción l punto (0, 0) Drivadas parcials: + ) (, Halla su gradint n l punto (, 0) su hssiana n + ) (, (, 0) / ; Gradint: (, 0) (, 0) Drivadas sgundas: + ) + ) (, + ; ( ) (, + ; Hssiana: 0 H( )(0,0) 0 (, + ) (, (, 0) 0 ; + ) (, ; + ) + + ) (J09) El gradint d la unción (, sin +, n l punto (, 0), val: + a) (, 0) (, ) b) (, 0) (, ) c) (, 0) + (, sin + (n (, 0)) + (, cos ( + ) (n (, 0)) Por tanto, (, 0) (, ) La rspusta s a) Drivadas dirccionals Halla la drivada dirccional dl campo (, ( sgún la dircción dl vctor u (, ), n l punto (, ) La drivada dirccional d un campo scalar (,, ) n l punto (a, b), sgún la dircción dl vctor u ( u, u), qu pud dnotars como (( a, b), u ), val: (( a, b ), u ) ( a, b ) ( u, u ) producto scalar dl vctor gradint por l vctor u Si l vctor no us unitario ha qu tomar l unitario corrspondint con l mismo sntido En st caso, (, ) (, (, ( (, ) ( 6, ) El vctor unitario n la dircción d u u (, ) s: (, ), u + Por tanto, la drivada dirccional pdida val: 9 ((,),(,)) ( 6, ),

5 (J09) Sa (, + + sin Su drivada dirccional sgún l vctor v (, ) n l punto (, 0), val: a) b) c) Ninguna d las antriors, su valor s: Gradint: (, + cos (, + cos Vctor unitario n l sntido d v s (, 0) (, ) v v, Drivada dirccional: ((,0), v(,) ) (, ), La rspusta s c): / (J07) La drivada dirccional d (,, n l punto (, ), n la dircción dl vctor v (, ), val: a) 6 / 0 b) 8 / 9 c) Ninguna d las antriors 6 Gradint n (, ) ( 6, ) Un vctor unitario n l sntido d v (, ) s, La drivada dirccional s: ((,), v(, )) ( 6, ), La rspusta s b) (S08) La drivada dirccional d (,, n l punto (, ), n la dircción l vctor (, ) val: a) 0 b) c) Ninguna d las antriors / / / ( ) / /, [n (, )] Lugo, ((,), v) 0 La rspusta s b) 6 (J) El drivada dirccional d (, ) n l punto P(, ), sgún l vctor PM, dond M (, ) s: a) 0 b) c)

6 6 0 (, ) 7 (, ) Admás PM (, ) (, ) PM Entoncs, 8 ((, ), PM ) (, ) PM (7, ), La rspusta s b) 7 (J) El campo (, (, n l punto (, ), tin como dircción d máimo crciminto la dl vctor: a) (, 6) b) (-, ) c) (, ) La dircción d máimo crciminto d un campo, n un punto dado, s la dl vctor gradint n s punto (El crciminto s positivo n l sntido dl gradint; s ngativo n sntido contrario) El gradint d (, ( s: ( ) (, ) (, ( (,) (, 6) La rspusta s a) (También valdría la d cualquir vctor proporcional, por j (, )) 8 (J) La dircción d crciminto nulo dl campo (, n l punto (, ) s la dl vctor: a) (, ) b) (, ) c) (0, ) (, ) ; (, ) ( ) ; (,) ; (, ) 0 (, ) (, 0) La dircción d crciminto nulo s la d la curva d nivl n s punto, s dcir la dircción prpndicular al gradint (, 0), sa s la dl vctor (0, ), ntr otros Rcuérds qu dos vctors son prpndiculars cuando su producto scalar val 0 Para obtnr un vctor prpndicular a otro dado basta con cambiar d ordn sus componnts l signo d una d llas Esto s, si v ( a, b), un vctor prpndicular a él srá w ( b, a) La rspusta s c) 9 (S09) El máimo valor d la drivada dirccional dl campo (, p n l punto (0, ) s : a) Si p b) Sólo si p c) Si p Rcuérds qu la drivada dirccional val: (( a, b), u) ( a, b) ( u, u ) ( a, b) ( u, u) cosα, sindo α l ángulo qu dtrminan ambos vctors Como l vctor u s unitario, s dduc qu (( a, b), u ) ( a, b) cosα, qu srá máima si α 0º, sindo s valor máimo l módulo dl gradint En st caso: (, p ; (, p Grad (0, ) (p, )

7 7 El valor máimo d la drivada dirccional srá: ( ) 0, p + Si l valor máimo d la drivada dirccional s p + 9 p ± La rspusta s a) 0 (J0) La drivada dirccional d (, n l punto (, ) s nula n la + dircción dl vctor: a) (, ) b) (, ) c) Ninguna d las antriors Nunca s nula + (, (, ) ; (, (, ) ( + ) ( + ) El vctor gradint s:, La dircción d crciminto nulo s la prpndicular al gradint Esa dircción s la dl vctor (, ) Obsérvs qu La rspusta s b) (J) La drivada dirccional dl campo (,, n l punto P(, 0), sgún + la dircción dl vctor v (, ), s: a) b) c) 0 + ( + ( ) ; (, 0) ( + ) ( + ) ( + ) Vctor unitario n la dircción d v (, ), 9 La drivada dirccional s:,, La rspusta s a), (, p sgún la dircción dl vctor (, ), n l punto (, ), val : a) Si p b) Si p /9 c) Ninguna d las antriors El valor d p (, p( ) ( ), (, p( ) ( Grad(, ) (p, 6p) Vctor unitario n la dircción d (, ) (, ) 9 p Drivada dirccional: ((,),(, ) ) p(, 6) (, ) (J0) La drivada dirccional dl campo ( )

8 8 9 p Si p /9 La rspusta s b) (J) La drivada dirccional dl campo (, ( + n l punto (, ) sgún la dircción dl vctor v (, ) val: a) / b) c) Ninguna d las antriors, su valor s: + Sol + ( + ; ( + (, ) (, ) Vctor unitario n la dircción d v ( /, / ) La drivada dirccional s: (, ) / (, / ) La rspusta s c) + (J) Dado l campo scalar (, s pid: a) (0,7 puntos) Halla rprsnta la curva d nivl b) (0,7 puntos) El punto n l qu sa curva d nivl tin pndint cro c) ( puntos) Halla la dircción d crciminto máimo dl campo n l punto (, 0) Cuánto val s crciminto máimo? + 0 a) La curva d nivl cumpl qu (, S trata d una parábola, qu pud trazars dando algunos valors Es la d la igura adjunta b) El crciminto d la curva d nivl vin dtrminado por l valor d su drivada + 0 El punto pdido s (, ) c) La dircción d crciminto máimo s la dl vctor gradint + + (, ) ;,, 0, ( ) ( ( ) ( ) + El valor d s crciminto máimo s (, 0) 7