INTEGRALES Curso , 2 tal que f(c) = k? ), para algún punto [a, b].

Transcripción

1 INTEGRALES Curso 9-.- ) Enuncir el Teorem del vlor medio integrl y dr un interpretción del mismo. Cundo f(), cómo puede interpretrse geométricmente? cos si [-, ] ) Se f () = 4 + sen si (, ] ) Hllr I = f () d. ) Hllr el vlor de k tl que I = k ) Eiste lgún punto c del intervlo, tl que f(c) = k? ) Contrdice esto el Teorem del vlor medio integrl? 4 ) Se f un función integrle y continu en [, ]. Eiste un punto [, ] tl que f () d = f ( )( ) vlor promedio de l función ( ). El teorem estlece que l integrl puede representrse por un f multiplicdo por l longitud del intervlo. Cundo f(), el áre encerrd por l función y el eje de sciss en ese intervlo coincide con el áre de un rectángulo de se [, ] y ltur f ( ), pr lgún punto [, ]. ) ) Hllr I = f () d. c I = os d + ( 4 + sen ) d = [ sen] + [ 4 cos ] = ( + ) ( + ) ) I = ( + ) = k k =.64 cos c si [-, ] ) f(c) k, pr culquier c,, pues f (c) =, luego, 4 + sen si (, ] [,] si [-, ] f (c). [ ] 5 si (, ] 4, 4 ) No contrdice esto el Teorem del vlor medio integrl, pues l no ser f continu en, no se verificn ls hipótesis del teorem: lim f () cos = lim f () = 4 + sen = 5 = +.- Clculr ls derivds de ls siguientes funciones: ) F() t = e dt ) G()= ln sen cost dt. U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

2 ) Se G() = f(t)dt G'() = f() siendo f un función continu en [,] t Considermos l función continu en R: f(t) = e y g()=, h()=ln funciones derivles. Entonces: g() ln t t t t t ln ln F() = e dt = e dt + e dt = e dt e dt = h() = f(t)dt f(t)dt = G(g()) G(h()) Derivndo: ( ) F'() = G'(g())g'() G'()h'() = f(g())g'() f(h())h'() = f( ) f ln = ( ) ( ln) = e - e ) G '() = cos sen( ) + sen cos( ).- Dd l función f() = + #: < < > y > #: + -, cuy gráfic es l de l figur, se pide: ) Clculr el áre encerrd por f(), = - y el eje Y. ) Clculr el áre encerrd por f(), y el eje X en [, ). c) Estudir l convergenci de f () d. d) Estudir l convergenci de f () d. ) LN() d = + #: U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

3 < < y < #4: + - ) ATAN LN() #5: d = d = #6: ( - ) < < < y < #7: + - ( - ) < < < y < #8: + - U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

4 c) d = #9: + - d) d #: + - d = d + d + #: d = Clculr - e d Al ser e un función pr tenemos que e d = e d - result d=dz y con los límites de integrción igules y que = y =. Por tnto, z -z -z e d = e d e dz= e dz= e z dz= - = Γ = z con el cmio de vrile =z 5.- ) Clculr β, y Γ. p q β (p, q) = sen cos d, luego β (, ) = d = =, demás U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 4

5 Γ( ) Γ( ) ( ) Γ(p) Γ(q) Γ β (p,q) = y result (, ) β = = = Γ = Γ (p + q) Γ ( + ) Γ() 5 ) Hllr p y q pr que sen t cos tdt = β(p,q) y clculr β(p,q)= p q 5 sen t cos t dt sen t cos tdt = β(,) 5 sen t cos tdt. ( ) Γ( ) Γ!! = = = Γ() 5 4! Un depósito esférico de 5 m de rdio está l,6 % de su cpcidd Cuál es l profundidd del gu? Considermos un circunferenci de centro O(,) y de rdio r=5 y despejmos en función de y: + y = 5 = 5 y y como el volumen de un esfer de rdio r=5 es V = r = 5 = result el volumen del gu: Vgu =, 6 = 6. Plntemos el volumen ocupdo por el gu como un integrl: gu h ( ) h V = dy = 5 y dy = 5 5 h y = (5 y )dy = 5y = 5 h 5. h 5 = 5h + = 6 h 75h 4 = cuy ecución tiene como ríz h = enter h=- quedndo ( h + )( h h 7) = cuy únic solo fctile h = ± 6 es h=- m que d lugr un profundidd de --(-5) = m. 7.- Siendo que el áre de un elipse de semiejes y es, hllr el volumen interior l y z elipsoide + + =. c U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 5

6 ( ) V = A d El áre de l sección A() es el áre de l elipse, cuyos semiejes dependen del punto de intersección Y Al cortr con el plno perpendiculr l eje OX, y z y z + = + = c c Z c X Semiejes: y c A() = c c = Por consiguiente, teniendo en cuent los limites sore el eje X: V = A( ) d = c d = c = Dd l curv pln y =(-) / (cisoide), se pide: ) Longitud del rco de curv pr [, ] ) Áre de l región comprendid entre l cisoide y su síntot. c) Volumen que engendr l región comprendid entre l cisoide y su síntot l girr lrededor del eje de sciss. d) Áre de l superficie de revolución. c u ) Longitud = L= + y' d + d= - LN( ) u #: U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 6

7 ( ) ) Áre = A= f()d= d = u c) Volumen = V= f ( ) ( ) d = d = f + f d ( ) d) Áre de l superficie = ( ) ( ) ( - ) + #8: d 5 ATAN #9: u 9.- ) Clculr el áre interior l circunferenci de centro el origen y rdio y eterior l curv r = cos α. ) Dd l curv r = 4 cos(α). Clculr: ) Dominio de r ) El áre limitd por l curv dd (Eplicr los límites de integrción) ) #9: r = COS(α) #: r = #: COS(α) < r < Sen r = f( α) y = α α, α y tl que <g( α)<f( α) en[ α, α ], entonces el áre comprendid entre ms curvs es: Buscmos los vlores de α que hce: #: r = COS(α) = #: SOLVE(r = COS(α) =, α, Rel) r g( ) dos curvs continus en [ ] = α α α α S (f ( ) g ( )) d α U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 7

8 #4:(α = ) (α = - ) (α = ) (α = ) y por otr prte #5: r = COS(α) = #6: SOLVE(r = COS(α) =, α, Rel) #7: α = r = α = - r = α = r = Aplicndo l fgórmul nterior y multiplicndo por 4 deido l simetrí: / 4 #8: ( - (COS(α) ) ) dα 5 #9: 8 ) ) Dominio de r Resolvemos l inecución 4cos(α) cos(α) = α = rc cos α = / + k α = /4 + / k 5 7 Son positivos en,,, Dominio de r =,,, ) Áre limitd por l curv dd. ª form. Integrndo cd prte del Dominio: /4 #: (4 COS( α)) dα = 5 /8 #: (4 COS( α)) dα = 5 /8 #: (4 COS( α)) dα = 5 /8 Áre = 4 ª Form El áre pedid const de 4 prtes igules, es decir /4 #4: (4 COS( α)) dα = Áre totl = 4* = 4 u. U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 8

9 t t( t ).- ) Hllr el áre del lzo de l estrofoide, + t + t t( t ) t ) Clculr l superficie generd por un lzo de l estrofoide, l girr + t + t lrededor del eje de sciss. t( t ) t c) Hllr l longitud del lzo de l estrofoide, + t + t t t( t ) d) Clculr el volumen de un lzo de l estrofoide, + t + t l girr lrededor del eje de simetrí. ) - t t ( - t ) #:, + t + t - t t ( - t ) #4: SOLVE =, =, [t] + t + t #5: [t = -, t = ] - t t ( - t ) #6: SOLVE =, =, [t] + t + t U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 9

10 #7: [t = ] d - t #8: dt + t 4 t - #9: (t + ) t ( - t ) 4 t #: - dt + t (t + ) 4 - #: ) t ( - t ) t - #8:, + t + t t t ( ) ( ()) () () y t t + y t dt Otenemos los puntos de intersección con el eje de sciss t ( - t ) #9: SOLVE, t + t #: t = - t = t = t - #: SOLVE, t + t #: t = - t = d t ( - t ) t - #6:, dt + t + t U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

11 4 t + 4 t - 4 t #7: -, (t + ) (t + ) 4 t + 4 t - 4 t #8: - + (t + ) (t + ) 4 (t - ) t + 4 t - 4 t #9: t (t + ) (t + ) - 4 (t - ) t + 4 t - 4 t #: - + dt + t (t + ) (t + ) 4 4 (t + 6 t + ) (t + 6 t + ) #: 4 dt - dt (t + ) t + #: c) t L= ' (t) + y' (t)dt t t ( - t ) - t #:, + t + t Buscmos el punto de cruce o punto dole, en este cso el (,): t ( - t ) #4: SOLVE, t, Rel + t #5: t = - t = t = U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

12 - t #6: SOLVE, t, Rel + t #7: t = - t = d t ( - t ) - t #8:, dt + t + t 4 t + 4 t - 4 t #9: -, - (t + ) (t + ) 4 t + 4 t - 4 t #: dt (t + ) (t + ) - 4 (t + 6 t + ) #: dt t + #: d) t - t (t - ) #:, + t + t Ovimente el eje de simetrí es el eje de sciss U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

13 Buscmos los puntos de intersección con el eje de sciss t - #: SOLVE, t, Rel + t #: t = - t = t (t - ) #4: SOLVE, t, Rel + t #5: t = - t = t = t - #6: = - t + t - #7: SOLVE = -, t, Rel t + #8: t = t V = y (t)'(t)dt t d t - #9: dt + t 4 t #: (t + ) t ( - t ) 4 t #: dt + t (t + ) 4 #: LN() - u U. D. de Mtemátics de l E.T.S.I. en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí