(b) V ar X directamente usando la definición. (d) V ar X usando la fórmula abreviada.

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María Isabel Salinas Vera
hace 6 años
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1 Ejercicios y Problemas adicionales. Capítulo II 1. La función de masa de probabilidad de X= número de defectos importantes en un elestrodoméstico seleccionado al azar, de un cierto tipo, es x Calcule lo siguiente: f X (x) (a) E X (b) V ar X directamente usando la definición. (c) La desviación estándar de X. (d) V ar X usando la fórmula abreviada. 2. Un instructor de un grupo de escritura técnica ha solicitado que cierto reporte sea entregado a la semana siguiente, agregando la restricción de que cualquier reporte que rebase cuatro páginas será rechazado. Sea Y = número de páginas del reporte de cierto estudiante seleccionado al azar, y supongamos que la fmp es: y f Y (y) (a) Calcule E Y. (b) Suponga que el instructor tarde Y minutos calificando un trabajo que consiste en Y páginas. Cuál es la cantidad esperada de tiempo empleada en calificar un trabajo seleccionado al azar? 3. Usando los datos del problema último anterior, calcule V ar Y y σ Y. A continuación determine la probabilidad de que Y se encuentre dentro de de 1 DS (desviación estándar) de su valor medio. 4. Un distribuidor de aparatos electrodomésticos vende tres modelos diferentes de congeladores verticales con capacidad de 13.5, 15.9, y 19.1 pies cúbicos de espa- 1 Prof. Magister Osmar Vera

2 cio de almacenaje, respectivamente. Sea X = cantidad de espacio de almacenaje comprado por el siguiente cliente que va a comprar un congelador. Supongamos que X tiene la siguiente fmp: x f X (x) (a) Calcule E X; E X 2 ; V ar X. (b) Si el precio de un congelador que tiene una capacidad de X pies cúbicos es 25X 8.5, cuál es el precio esperado pagado por el siguiente cliente que va a comprar un congelador? (c) Cuál es la varianza del precio 25X 8.5 pagado por el siguiente cliente? (d) Suponga que mientras la capacidad nominal de un congelador es X, la capacidad real es h(x) = X 0, 1 X 2. Cuál es la capacidad real esperada del congelador comprado por el siguiente comprador?. 5. Sea una una variable aleatoria con distribución Bernoulli. Una tal X toma sólo dos valores 0 y 1, con probabilidades 1 p y p respectivamente. (a) Calcule E X 2. (b) Demuestre que V ar X = p(1 p). (c) Calcule E X Suponga que el número de plantas de un tipo particular que se encuentra en una región rectangular (llamada cuadrante por los ecologistas) de cieta región geográfica es una va. X con fmp: f X (x) = c x = 1, 2, 3,... x 3 Es E X finita?. Justifique su respuesta (esta es otra distribución a la que los expertos en estadística llamarían de cola gruesa o pesada). 2 Prof. Magister Osmar Vera

3 7. Los n candidatos para un trabajo has sido clasificados como 1, 2, 3,..., n. Sea X = grado de un candidato seleccionado al azar, de modo que X tiene una fmp dada por: f X (x) = 1 n x = 1, 2, 3,..., n (ésta recibe el nombre de Distribución discreta uniforme). Calcule E X y V ar X mediante la fórmula abreviada. (Necesitará recordar aquí a que es igual: n i=1 i y la n i=1 i2 ). 8. Qué relación hay entre V ar X y V ar( X). Ejemplifique y luego demuestre. 9. Demuestre que V ar(ax + b) = a 2 σ 2 X. 10. Suponga que E X = 5 y E[X(X 1)]= Cuál es (a) E X 2?. (b) V ar X?. (c) la relación general entre las cantidades E X, E[X(X 1)] y V ar X?. 11. Escriba una regla general para E(X c) donde c es una constante. Qué pasa cuando se hace c = µ, el valor esperado de X?. 12. Un resultado muy importante que recibe el nombre de Desigualdad de Chebyshev establece que para cualquier distribución de probabilidades de una va. X y cualquier número k que sea por lo menos 1, P ( X µ kσ) 1/k 2. En otras palabras, la probabilidad de que el valor de X se encuentre por lo menos k DS de su media es cuanto menos 1/k 2. (a) Cuál es el valor de la cota superior para k = 2? k = 3? k = 4? k = 5? k = 10?. 3 Prof. Magister Osmar Vera

4 (b) Hagamos que X tenga tres valores posibles { 1, 0, 1}; con probabilidades 1, 8 y 1, respectivamente. Cuál es P ( X µ 3σ), y cómo se compara con la cota correspondiente obtenida por la desigualdad de Chebyshev?. (c) De una distribución para la que P ( X µ 5σ)= La fda de la duración X de tiempo prestado, como se describió en el ejercicio (2.10) es: F X (x) = 0 x < 0 x x < 2 1 x 2 Utilice ésta para calcular lo siguiente: (a) P (X 1) (b) P (0, 5 X 1) (c) P (X > 0, 5) (d) La duración mediana de tiempo para préstamo de libros µ [resolver la ecuación: 0,5 = F ( µ)] (e) F (x) para obtener la función de densidad f(x). (f) Calcule E X, V ar X y σ X. (g) Si la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(x) = X 2 cuando la duración del préstamo es X, calcule el cobro esperado. 14. El artículo Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutantas (Water Reserch, 1984, pp ) sugiere la distribución uniforme del intervalo (7.5,20) como un modelo para la profundidad (cm) de la capa de bioturbación del sedimento de cierta región. (a) Cuál es son la media y la varianza de profundidad?. (b) Cuál es la fda de profundidad? 4 Prof. Magister Osmar Vera

5 (c) Cuál es la probabiliad de que la profundidad observada sea a lo suma 10?. Entre 10 y 15?. (d) Cuál es la probabilidad de que la profundidad observada se encuentre dentro de 1 DS del valor medio?, y dentro de 2 DS?. 15. Considere la fdp de X = peso real de apoyo dado en el ejercicio (a) Obtenga y grafique la fda de X. (b) De la gráfica de f(x), cuál es µ (c) Calcule E X y V ar X. 16. Suponga que X tiene distribución uniforme en el intervalo (a,b). (a) Obtenga una expresión para el (100p)avo percentil, y haga una interpretanción geométrica del mismo. (Si p es un número entre 0 y 1. (El (100p)avo percentil de la distribución de una va. X contínua, denotado por η(p), está definido por p = F (η(p)) = η(p) (b) Calcule E X, V ar X y σ X. (c) Para n entero positivo, determine E X n. f X(x) dx). 17. Un ecologista desea marcar una región circular de muestreo de 10 m de radio. Sin embargo, el radio de la región resultante es en realidad una va. R con fdp 3 f R (r) = [1 (10 4 r)2 ] 9 r 11 Cuál es el área esperada de la región circular resultante? 18. Suponga que X tiene la fdp de Pareto introducida en el ejercicio f X (x, k, θ) = k θ k x k+1 x θ 0 x < θ 5 Prof. Magister Osmar Vera

6 (a) Si k > 1, calcule E X. (b) Qué se puede decir acerca de E X cuando k = 14?. (c) Si k > 2, demuestre que V ar X = kθ 2 (k 1) 2 (k 2) 1. (d) Si k = 2, qué se puede decir acerca de V ar X? (e) Qué condiciones para k son necesarias para asegurar que E X n sea finita?. 19. Suponga que la va. X sólo puede asumir los valores -1 y 1 cada uno con probabilidad 1 2. Encuentre (a) La función generadora de momentos de X. (b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen. 20. Una v.a. tiene función de densidad dada por: 2e 2x x 0 f X (x) = (a) La función generadora de momentos de X. (b) Los primeros cuatro momentos alrededor del origen. 21. Sea M X (t) la función generadora de momentos de X, y se define S(t) = ln(m X (t)). Muestre que d dt S(t) t=0= E X y d 2 dt 2 S(t) t=0= V ar X. 6 Prof. Magister Osmar Vera

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