Ejercicio 7: Hallar las coordenadas del punto B sabiendo que M es el punto medio del segmento [AB], A(7,8), M(3,-2).

Transcripción

1 Geometría Analítica Investiga 1- Qué significa geometría analítica? Cómo surge? Quién es considerado el padre de la geometría analítica? Por qué? Qué otros matemáticos puedes encontrar en su historia?

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3 Punto medio de un segmento Investiga 2- Demuestra la fórmula analítica para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de los extremos de dicho segmento. Ejercicio 6: a) Hallar las coordenadas del punto medio M de [AB], si A(-1, 5) y B(2,3). b) Idem si A(2,-3) y B(2, 5). Ejercicio 7: Hallar las coordenadas del punto B sabiendo que M es el punto medio del segmento [AB], A(7,8), M(3,-2). Ejercicio 8: Sea ABCD un cuadrilátero. Si A(-3,2), B(-2,5), C(3,5) y D(-3,2), mostrar que ABCD es un paralelogramo. (Recuerda que en un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.) Ejercicio 9: Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P(2,5), Q(4,2), R(1,1). Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo. Distancia entre dos puntos Ejercicio 10: Determina la distancia entre dos puntos A y B del eje horizontal cuyas abscisas son respectivamente: a) 5 y 2. b) 5 y -2. c) xa y xb (halla una fórmula).

4 Ejercicio 11: Observa la figura 1. El teorema de Pitágoras asegura que: AC BC AB Observa la figura 2. Dados los puntos A(xA, ya) y B(xB, yb), deduce una fórmula para calcular la distancia entre A y B. Ejercicio 12: Sean: A(-3, 2), B(-3, 7), C(1, 2), D(-2, -1), E(5, -6). a) Represéntalos en un sistema de ejes cartesianos. b) Halla: d(a, B), d(a, C), d(b, C), d(d, E) y d(c, D). Ejercicio 13: ABCD es un trapecio birrectángulo (AB Ox) tal que: A(1, 2), C(7, 2), d(a, B) = ½d(D, C). a) Halla las coordenadas de B y D. b) Calcula el perímetro de ABCD. Ejercicio 14: Demuestra que los puntos: A(1, 1), B(5, 4) y C(8, 0) son vértices de un triángulo isósceles. Es equilátero? Es rectángulo? Ejercicio 15: Demuestra que los puntos: A(2, 2), B(5, 3) y C( 8, 4) son vértices de un triángulo rectángulo. Ejercicio 16: Dado A(3, 2), halla la ordenada del punto B sabiendo que la abscisa de B es 6 y d(a, B) = 5.

5 Ecuación de la Recta Las siguientes expresiones algebraicas tienen como representación gráfica una recta: f(x) = 3x 2 y = -5x + 3 2x + 4y 3 = 0 La primera la usaremos habitualmente cuando trabajemos con funciones polinómicas. En esta unidad utilizaremos las otras dos expresiones. Podemos pasar de una a otra fácilmente: f(x) = 3x 2 representa la misma recta que y = 3x 2. Mediante sencillos procedimientos podemos transformar esta expresión en -3x + y + 2 = 0. De igual manera 2x + 4y 3 = 0 se transforma en Diremos que y = mx + n es la ecuación explícita de la recta (no es válida para rectas verticales). n es la ordenada en el origen de la recta. m es el coeficiente angular o pendiente de la recta. Diremos que ax + by + c = 0, con a y b no simultáneamente nulos es la ecuación general de la recta. Ejercicio 17: Ejercicio 18: Sean las rectas: r: 2x + y 2 = 0, t: 4x 3y 24 = 0. a) Analiza si es verdadero o falso, justificando: 1) La ordenada en el origen de r es 2. 2) La pendiente de r es -2. 3) La ordenada en el origen de t es -8. 4) La pendiente de t es 4. b) Halla las coordenadas del punto de corte de r y t. c) Investiga si los siguientes puntos pertenecen a r: A(0,-2), B(-1, 3), C(2,-2).

6 Ejercicio 19: Dada la ecuación y = mx + n, determina la ordenada en el origen y la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) A( 1, 5) y B(2, 7). b) A(1, 4) y B(2, 8). c) A( 1, 5) y B(2, 5). Ejercicio 20: Dibuja la recta que pasa por los puntos A(2, 5) y B(2, 7). Cuál es la abscisa de un punto cualquiera de esta recta? Ejercicio 21: Dada la ecuación y = mx + n, determina la ordenada en el origen y grafica la recta que pasa por el punto: a) A( 1, 5) y tiene pendiente 2. b) A(1, 4) y tiene pendiente -3. c) A( 1, 3) y tiene pendiente 2. Ejercicio 22: Dada la recta r: y = 3x 19 y el punto A(5, 1), halla las coordenadas de los puntos de la recta cuya distancia a A es 5. Sean dos rectas r: y = m x + n, r : y = m x + n. Se cumple: r r m = m. Sean dos rectas r: y = m x + n, r : y = m x + n. Se cumple: r r m.m = -1 Ejercicio 23: Se consideran las rectas: r: 5x y + 7 = 0 s: 2x 4y + 3 = 0 t: 6x 12y + 1 = 0 v: y = 5x-1 w: x + 2y + 5 = 0 a) De estas 5 rectas hay 4 que determinan un paralelogramo, cuáles son? b) En la lista, hay rectas perpendiculares entre sí? c) Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r.

7 Ejercicio 24: Sea r: y = 2x + 1 a) Halla la ecuación de t / t r por A( 4, 5). b) Halla la ecuación de s / s r y su ordenada en el origen es 7. c) Halla la ecuación de w/ w r por el Origen. d) Grafica r, s, t y w en un mismo par de ejes. Ejercicio 25: a) Sean las rectas r: 3x 5y 30 = 0, s: -6x + 10y 15 = 0. Grafica r y s. Halla sus pendientes. b) Sean dos rectas r: ax + by + c = 0 y s: a x + b y + c = 0 tales que r s. Deduce que ab = a b. c) Sean p: 2x 3y 5 = 0 y q: 6x ky + 7 = 0. Usando la propiedad deducida en la parte b), determina k para que sea p q. Ejercicio 26: a) Halla la ecuación de la recta r, de coeficiente angular -4 y que pasa por el punto A(3/2, -5). b) Halla la ecuación de la recta s, sabiendo que su punto de corte con Oy es B(0, 3) y que pasa por C(-2, -1). c) Halla la ecuación de la recta t, paralela a s, por A, y la de la recta w, perpendicular a r por B. d) Halla las coordenadas de la intersección de t y w. (Basado en material del grupo AMIES).