PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Determina un polinomio P( ) de segundo grado sabiendo que P() = P() = y P( ) d= MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. El polinomio que queremos hallar será de la forma: P( ) = a + b+ c - P() = c= - P() = a+ b+ = a+ b= - a b a ( ) 8 a + b+ d= + + = + b+ = Resolviendo el sistema sale que: 5 5 P ( ) = +

3 Sea f : R R la función definida por: f ( ) = e. Esboza el recinto limitado por la curva y= f ( ), los ejes coordenados y la recta =. Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. A= e d= e + e = u

4 Sea Ln( ) el logaritmo neperiano de y sea f : D R la función definida por f ( ) = ( Ln( )) a) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos R para los que eiste f ( ). b) Usa el cambio de variable t = Ln( ) para calcular una primitiva de f. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Ln( ) sólo eiste para >, por tanto, el dominio de f ( ) = ( Ln( )) puesto que es un cociente, aparte de considerar los números > hemos de quitar aquellos que anulan el denominador que en nuestro caso es =, ya que Ln () =. Luego el dominio pedido es (,) (, ). b) Hacemos el cambio t= Ln( ) dt= d d= dt dt ( Ln( )) t t Ln( ) d= = t dt= = + C

5 + + Calcula d MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: d= ( + ) d+ d= + + d Calculamos las raíces del denominador: = = ; = Descomponemos en fracciones simples: + 5 A B A( + ) + B( ) = + = + ( )( + ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. Con lo cual: = = A A= = 6= B B= + + d= + + d+ d= + + ln( ) ln( + ) + C +

6 a) Determina la función f : R R sabiendo que f '( ) = 6 y que su valor mínimo es. b) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de infleión de su gráfica. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Los posibles máimos o mínimos son las soluciones de la ecuación: f '( ) = 6 = = ; = El mínimo está en =, ya que f ''() = 6 = 5 6= 8> f ( ) = ( 6 ) d= + C Como f () = + C= C= Luego, la función es: f ( ) = + b) Calculamos los puntos de infleión igualando la segunda derivada a cero. f '' ( ) = 6 = = ; = = f ( ) = y f ( ) = f '( ) ( ) y= f '( ) = = 6+ 9 f ( ) = y f ( ) = f '( ) ( ) y+ = 8( ) y= f '( ) = 8

7 Sea f : R R la función definida por f ( ) =. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia su derivabilidad en =. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La gráfica de f ( ) = es: b) Abrimos la función: + si f ( ) = = si > Como la función es continua en =, estudiamos la derivabilidad en =. f + si < '( ) = si > f f '( ) = + f '( ) f '( ) + '( ) = No derivable c) 6 A= ( + ) d= + = + = u

8 Sea Ln( ) el logaritmo neperiano de. Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas de las funciones y= e y= Ln( ). Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) El recinto es: b) Calculamos el área. e A= + ( ln ) d= + ln = e u e [ ]

9 Esboza el recinto limitado por la gráfica de la parábola y = ( ), la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa =, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la recta tangente a la parábola y= ( ) = + 6. La ecuación de la recta tangente será: y f ( ) = f '( ) ( ) = f ( ) = y+ = ( ) y= + f '( ) = Calculamos el área. 7 A= ( + 6) d+ ( ) d= = u

10 + Calcula una primitiva de la función f definida por f ( ) = para y. + MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: = + = d d d d Calculamos las raíces del denominador: + = = ; = Descomponemos en fracciones simples: 6+ 6 A B A( + ) + B( ) = + = + + ( )( + ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. Con lo cual: = = A A= = = B B= d = + d + d = + ln( ) + ln( + ) + C + + +

11 =. Consideremos F( ) f ( t) dt a) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta: i) F( α ) = ii) F '( α ) = iii) F es creciente en (, α ) (,α) b) Calcula F () siendo f ( t) = t+ MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO OPCIÓN A. a) α i) F( α ) = f ( t) dt porque nos daría el área encerrada por la función f ( ), el eje OX entre = y =α. ' α ii) F '( ) = f ( t) dt = f ( ), según el teorema fundamental del calculo integral, luego F '( α ) = f ( α ) y según la gráfica se observa que f ( α ) =. iii) F es creciente en (, α ) si y solo si F '( ) > en (, α ), pero F '( ) = f ( ) que es mayor que cero en (, α ), luego F ( ) es creciente en dicho intervalo. b) Si hacemos el cambio t+ = dt= d d dt= = d= = t+ t+ F() = dt= t+ = t+

12 Calcula + d MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: d d d d = ( + ) + = + + Calculamos las raíces del denominador: = = ; = Descomponemos en fracciones simples: 9+ 7 A B A( ) + B( + ) = + = + ( + )( ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. = = A A= 5 = 5= B B= Con lo cual: ( ) d= + d+ d= + + d= 5 5 = + + d+ d= + + ln( + ) + ln( ) + Por lo tanto, la integral que nos piden valdrá: + 5 d= + + ln( + ) + ln( ) = ln() + ln( ) ln() + ln( ) = ln